Discussion

On s´epare la discussion en deux parties distinctes. La premi`ere et la plus cons´equente revient sur la ph´enom´enologie et l’analyse lin´eaire, et compare le cas de l’´ecoulement de Couette plan aux autres ´ecoulements cisaill´es. On d´ecrit un cycle de maintien de la cohabitation laminaire-turbulent, similaire `a celui propos´e pour l’´ecoulement de Poiseuille dans une conduite. On fait ensuite apparaˆıtre les similarit´es entre le retour vers le laminaire des perturbations, et l’´equilibre de force moyen dans la zone laminaire.

Comparaisons aux autres ´ecoulements et possibilit´e d’un cycle

Les ´ecoulements quasi-bidimensionnel et quasi-unidimensionnel cisaill´es partagent un certain nombre de caract´eristiques et de similarit´es dans la transition et l’organisation de la turbulence. Cela permet de transposer les id´ees d’un ´ecoulement `a un autre, en particulier le cycle propos´e pour l’´ecoulement de Poiseuille dans une conduite, `a l’´ecoulement de Couette plan.

On propose un exemple de cycle dans la figure 3.37 (c). On peut partir du processus d’auto entretien de la turbulence de paroi. Prise de mani`ere isol´ee, c’est la partie la mieux comprise de la turbulence de paroi `a faible nombre de Reynolds. On voit apparaˆıtre dans les DNS que les streaks turbulents composent l’´ecoulement de fond. On montre que la moyenne sur la direction parall`ele `a la bande des contributions des streaks et vortex longitudinaux, donnent l’´ecoulement `a grande ´echelle le long des bandes (§ 3.1.5). Cet ´ecoulement est maintenu en moyenne par des tensions de Reynolds `a expliquer, mais dont on comprend qu’elles sont une cons´equence de la turbulence locale. On s’est concentr´e dans la ph´enom´enologie sur la fl`eche suivante du cycle : sur l’instabilit´e de ces couches cisaill´ees et l’advections des perturbations. DNS et mod`ele montrent que l’instabilit´e, de type Kelvin– Helmholtz est une instabilit´e de l’´ecoulement de fond. La mesure des vitesses d’advection ainsi que le calcul des vitesses de groupe met en ´evidence l’advection des perturbations le long de la bande et leur maintien autour de la zone turbulente. Le calcul des vitesses de groupe permet de mettre en ´evidence la transition convectif/absolu `a l’entr´ee de la zone turbulente, ce qui permet de tracer un parall`ele avec les ´ecoulements spatialement d´evelopp´es , qui pr´esentent une cascade spatiale d’instabilit´es conduisant `a la turbulence. Comme dans le cas de l’´ecoulement de Poiseuille dans une conduite, on s’attend `a ce que ces perturbations advect´es et maintenues dans la zone turbulente viennent exciter en retour le processus auto-entretenu, et aider la turbulence `a exister `a des Reynolds plus faibles que Rt. La difficult´e suppl´ementaire dans notre cas est que l’´ecoulement instable est une cons´equence de

la turbulence, et pas un ´ecoulement laminaire permanent. C’est cette partie qui est pour l’instant la moins comprise dans le cycle. Jusqu’`a pr´esent les tensions de Reynolds ne sont calcul´ees `a partir des petites ´echelles que num´eriquement [6, 51] : on ne dispose pas de relation analytique explicite. L’id´eal serait un lien direct et explicite entre les processus `a petite ´echelle et entre les petites et les grandes ´echelles, qui bouclerait le cycle.

On discute tr`es peu dans cette partie de l’influence du chaos local sur l’instabilit´e, et de la cons´equence de l’instabilit´e sur le d´esordre. L’inverse de l’´epaisseur, bien plus que l’amplitude, est d´efinie en tant que distribution. Cela a un effet sur la tendance qu’on les streaks `a ˆetre instables. L’in- stabilit´e, par sa tendance `a g´en´erer de plus petites ´echelles longitudinales, va contribuer au d´esordre, bien que dans l’ensemble, les ´echelles caract´eristiques sont born´ees inf´erieurement `a environ h par la viscosit´e.

La transition convectif/absolu a ceci d’int´eressant qu’on s’attend `a la retrouver aussi dans l’´ecoulement de Couette plan perturb´e par un fil [4,21]. Des descriptions de type cycle peuvent alors permettre d’ex- pliquer le maintien de la turbulence dans cette configuration `a des nombres de Reynolds relativement bas. La principale diff´erence repose sur l’absence d’advection transverse dans le cas de l’´ecoulement de Couette plan perturb´e par un fil. L’analyse num´erique du syst`eme montre une transition sous critique et un mode instable pr´esentant des vortex longitudinaux [4]. L’´etat stable peut servir de base pour une ´etude similaire `a celle pr´esent´ee dans ce chapitre.

Retour des perturbations vers le laminaire et longueur d’onde

On met ici en ´evidence les similarit´es qui apparaissent dans la zone laminaire entre les ´etudes moyennes et les r´esultats instantan´es. L’´equilibre des forces dans la zone laminaire, bas´ee sur l’ad- vection du profil turbulent par le profil moyen, est en relation avec la longueur d’onde des bandes. On peut poser la question du maintien d’une distance bien d´efinie entre bandes auto-entretenues. La possibilit´e d’une interaction [83] consistant en l’effet des perturbation dissip´ees entre les bandes peut ˆetre envisag´ee.

Chapitre 4

´

Etude num´erique de la bande `a grande

´echelle

Ce chapitre est centr´e sur l’´etude ph´enom´enologique et statistique et sur la mod´elisation de la formation des bandes `a l’´echelle d’une ou de plusieurs longueurs d’onde. On s’appuie sur les r´esultats exp´erimentaux de Prigent et al. [73] et num´eriques de Barkley & Tuckerman [6] ainsi que sur les nˆotres (§ 3.1.1) pour proposer des grandeurs pertinentes pour mesurer la modulation. On s’inspire des approches pr´ec´edentes pour proposer un mod`ele de (Ginzburg–)Landau–Langevin du syst`eme. On exploite le mod`ele en profondeur du point de vue analytique et num´erique. On passe ensuite `a l’´etude num´erique statistique pour le mod`ele `a bas ordre et des DNS, en utilisant le cadre fourni par l’exploitation du mod`ele. On en tirera les param`etres effectifs du mod`ele. On termine par un bilan compar´e des r´esultats.

4.1

D´efinition et mesure des grandeurs pertinentes

Dans le second chapitre, on a d´efinit (§ 2.3.1) des grandeurs turbulentes classiques. Cependant, elles d´ecrivent tr`es partiellement les sp´ecificit´es de la formation de la bande, en particulier la modu- lation en bonne approximation harmonique de la turbulence mise en avant par Prigent et Barkley & Tuckerman [6, 73–75, 96], parce qu’elles ne d´ependent pas de l’organisation spatiale de la coexistence laminaire-turbulente. On se base sur leur approche pour proposer une quantit´e adapt´ee, qualifi´ee de param`etre d’ordre par abus de langage. On d´etaille la question de la moyenne du param`etre d’ordre et du comportement moyenn´e d’ensemble de sa phase. On montre de plus que les fluctuations d’orien- tation et de longueur d’onde s’observent particuli`erement bien grˆace `a cette approche, on propose alors une mesure des temps de r´esidences dans tel ou tel ´etat.