Approche m´ecanique

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Equations de bilan

Il est a priori intuitif que les transitoires soient d’autant plus rapides que le nombre de Reynolds est petit, en effet, la viscosit´e joue un rˆole particuli`erement important dans ce r´egime, via la dissipation. Celle ci est d’autant plus importante que le nombre de Reynolds est petit. De mani`ere g´en´erale, on sait qu’un certain nombre de quantit´es (´energie cin´etique, cisaillement) v´erifie des bilans globaux `a l’´echelle de l’´ecoulement tout entier. On a des ´equation d’´evolution du type :

df

dt = g + 1 Rh .

Le terme g est un terme de production li´e `a l’advection, le terme h est un terme provenant de la contrainte visqueuse et pouvant jouer le rˆole de production ou de dissipation de la grandeur. A l’´equilibre, on a compensation en moyene des termes g et h. Ainsi, de mani`ere explicite, pour E = 1/2R dV ~v2 _{et S}±

x =

R

dS(∂yvx)(y = ±1), on a les relations :

∂tE = − Z dxdydzvxvy − 1 R Z dxdydz(∂jvi)(∂jvi) (5.2) ∂tSx± = − Z dxdz ∂_y2(vxvy)
(±1) + 1 R Z dxdz ∂_y3vx
(±1) (5.3)

On retrouve les termes de production et de dissipation. Les termes de production, `a cause de l’anisotropie de l’´ecoulement d´ependent de la contrainte de Reynolds vxvy, qu’on peut relier loca-

lement au lift-up. Le terme visqueux, qui joue un rˆole de dissipation pour l’´energie a lui aussi une expression claire. On comprend que lors d’une trempe, le nombre de Reynolds est brutalement chang´e. L’´equilibre approximatif (au sens thermodynamique) entre advection et dissipation est bris´e et on a un transitoire vers un nouvel ´equilibre, domin´e au temps courts (d´efinis ci-dessus) par le terme en 1/R. Le terme de production va lui aussi ´evoluer (sur une ´echelle de temps plus longue), de mani`ere moins explicite (car faisant intervenir le d´etail local de l’´ecoulement). Les deux vont se r´eajuster sur la fin du transitoire pour atteindre le voisinage d’un nouvel ´equilibre correspondant au nouveau nombre de Reynolds. Il s’agit bien sˆur d’un ´equilibre en terme de quantit´es moyennes (´energie, fraction turbulente, cisaillement, etc.) qui ne pr´ejuge pas de l’absence d’´equilibre de la bande.

On peut comprendre tr`es qualitativement le comportement de l’´energie `a l’aide de quelque ap- proximations. On a d’abord exactement, d’apr`es Parseval :

E = X kx,kz,ny X i | ˆvikx,kz,ny| 2 _, Z dxdydz (∂jvi)(∂jvi) = X i (X kx,kz Z dy (k2_x+ k_z2+ ∂_y2_{)| ˆ}vikx,kz(y)| 2₎

On fait ensuite un certain nombre d’approximation (fortes ou faibles) dans l’´equation d’´evolution de l’´energie :

– Le d´ebut de la dynamique est uniquement dˆu au terme visqueux (forte) – On suppose que E est principalement domin´e par vx

– On suppose que le spectre est tr`es piqu´e autour du mode principal (en kx, kz) des streaks (faible),

– on exprime la d´ependance en y dans le terme visqueux de mani`ere modale : on r´eduit la d´ependance en y `a quelque modes, et on suppose que l’effet de ∂2

y peut se r´esumer `a la multi-

plication par une constante k2

y (forte) . On a alors E ∼ |ˆvx|2 et ∂tE ≃ −2 k2 x+ kz2+ ky2 R E (5.4)

Ce qui donne un comportement exponentiel avec un temps caract´eristique τ ≃ R/(k2

x+ k2z+ k2y) ≃

R/(k2

z + k2y). Les tailles caract´eristiques en z et y ´etant de l’ordre de 2 `a 4, les nombres d’onde sont

d’ordre 1 et on a, de mani`ere un peu brutale, τ ∼ R. La confrontation avec l’exp´erience donne un r´esultat mitig´e (figure 5.4 (b,d)). On peut comprendre l’ordre de grandeur et la tendance croissante de τ avec R, mais on ne peut pas plaquer exactement notre description aux donn´ees. C’est une cons´equence de la limite de nos approximations.

En ce qui concerne la formation de trous, on suspecte qu’on a plutˆot une excursion locale de l’´ecoulement, qui peut se faire sentir sur les deux termes des bilans. C’est le d´etail local qui va d´ecider de la relaxation vers un ´etat de cohabitation laminaire-turbulent ou vers le laminaire. Cela est plus l’objet de la section suivante.

Discussion locale

On se place `a l’´echelle d’un ou deux streaks (et des vortex voisins) dans la direction z et `a l’´echelle d’un ou deux vortex longitudinaux dans la direction x. On peut dans la plupart des cas limiter l’´echelle locale `a la moiti´e y > 0 ou y < 0 de l’´ecoulement. On fait bien la distinction entre les m´ecanismes locaux et ceux impliquant le voisinage plus ou moins ´eloign´e, soit par “diffusion”, contamination par contact, soit par advection par les ´ecoulements moyens. On s´epare la discussion en trois parties distinctes. On commence par une description et interpr´etation commune de la formation du comportement des trempes et des formations de trous. On pr´esente ensuite les buts et possibilit´es `a long terme. Finalement, on reprendra la description dans le cadre des diff´erents mod`eles et m´ethodes de mod´elisation de l’´ecoulement. Le but est de proposer des approches permettant d’explorer plus en d´etail la relaminarisation et de justifier plus pr´ecis´ement nos affirmations. On reste tr`es pr`es de la litt´erature.

On ´etudie en parall`ele les trempes et apparitions de trous pr`es de Rg car elles ont une dynamique

commune, mˆeme si elles ne conduisent pas forcement au mˆeme r´esultat. On essaie de s´eparer la dy- namique en ´etapes distinctes pour en simplifier l’approche. On a d’abord une partie d’ajustement et d’´eloignement de la condition initiale qui est relativement lent, qui correspond `a la premi`ere phase des statistiques. Dans le cas des trempes, il s’agit d’un ajustement au nouveau nombre de Reynolds, par un processus quasi-d´eterministe auquel on a en bonne approximation une condition finale pour chaque condition initiale. Ce processus est relativement lent, il dure au moins un cycle du processus auto-entretenu, qui est de l’ordre de 100h/U. Les effets non locaux, de contamination par les voisins (perturbations advect´ees etc.) sont en partie responsables de la dispersion. Dans le cas de la formation d’un trou dans une bande, il s’agit d’abord un ´eloignement relativement lent, sur les mˆemes ´echelles de temps, de la situation “moyenne”, provoqu´e par une raison ou une autre (une excursion un peu trop ´eloign´ee de la dynamique chaotique locale par exemple). Une fois cette ´etape pass´ee, on peut

assister `a deux situations dans le cas de la trempe : un d´eclin visqueux vers le pseudo-laminaire (ou laminaire) ou non, qui vont d´ependre entre autre de l’´etat final de la “premi`ere ´etape”. Ensuite, la cr´eation ou non d’un trou va d´ependre du voisinage (de taille lx ∼ 20, lz ∼ 10) imm´ediat : le vrai

trou se forme si le voisinage chute de la mˆeme mani`ere. La corr´elation “entre streaks” et de mani`ere g´en´erale, entre zones voisines, peut ˆetre l’effet du hasard, ou renforc´ee par les processus de contami- nation/diffusion/advection (deux zones affaiblies de s’excitant pas mutuellement). Une fois les trous form´es, on doit prendre en compte des effets `a plus long terme et plus longue port´ee. C’est en parti- culier le cas des trempes : une fois les trous form´es, avec une trace d’obliquit´e, l’´ecoulement `a grande ´echelle se met en place et a tendance `a renforcer ladite obliquit´e via l’advection des perturbations (§ 3). Dans le cas de la formation d’un trou dans une bande ou dans un spot [91], cet ´ecoulement peut venir refermer le trou en r´eexcitant la partie pseudo-laminaire. S’il y a un germe isol´e (deux trous se forment dans la bande) son propre ´ecoulement grande ´echelle peut stimuler sa croissance comme celle d’un spot. La brisure de sym´etrie de ce germe stimule une croissance de type bande, et cela peut ´eventuellement se faire dans l’orientation oppos´ee `a celle de la bande initiale.

On a ´evoqu´e ici un certain nombre de processus. Le probl`eme ouvert est de r´eussir `a d´ecrire quanti- tativement leur hydrodynamique (instabilit´es, interactions lin´eaires, non-lin´eaires entre composantes de ~v ou ~ω). Il paraˆıt illusoire, en l’´etat d’obtenir une solution compl`ete du probl`eme avant d’avoir r´eussi `a avoir des solutions partielles. En l’occurrence, il s’agit d’obtenir des descriptions claires, `a un ordre ou un autre (lin´eaire, mod`ele r´eduit non-lin´eaire, DNS simplifi´ee) des processus locaux d’´echec de la turbulence, du processus auto-entretenu, et du retour vers le laminaire. Pour chaque approche de mod´elisation, on cherche `a d´ecoupler les probl`emes pour mieux les comprendre et les recoupler ensuite : en l’occurrence, il paraˆıt plus pertinent de commence `a d´ecrire une dynamique isol´ee (en terme de contamination) avant de d´ecrire la dynamique pour laquelle les processus dus au voisinage sont mod´elis´es, avant de d´ecrire la vraie dynamique.

On commence par des approches purement lin´eaires ou faiblement non lin´eaires “processus par processus”. On se base sur les descriptions des instabilit´es de cisaillement (en y comme en z) qu’on retrouve dans l’´ecoulement [81, 101] et des processus qui les entourent (de type r´eg´en´eration des streaks par les vortex, excitation de la vorticit´e ωx par ωy [49, 90, 101]). Si on prend comme point

de d´epart les instabilit´es. Pour les trempes comme les trous dans les bandes, on peut extensivement ´etudier l’instabilit´e en fonction du nombre de Reynolds et des param`etres de contrˆole des profils, qui correspondent en pratique `a l’amplitude et au cisaillement [81]. Comme on s’y attend, la zone d’instabilit´e se r´etracte avec le nombre de Reynolds. Un ´ecoulement “de base” ou “de fond” sera d’autant moins instable et donnera une r´eaction croissant d’autant moins vite que le nombre de Reynolds sera faible, d’une part. D’autre part, la possibilit´e de tomber sur un ´ecoulement de base stable et de conduire `a une fin de cycle sera d’autant plus importante. En ce qui concerne l’interaction entre vorticit´e et la formation des streaks par ωx, ces ´etapes sont relativement sensible `a la diffusion

visqueuse [101] : si le nombre de Reynolds est trop bas, ou le vortex de base pas assez intense, il peut ˆetre totalement diffus´e avant de r´etablir un streak suffisamment intense et cisaill´e.

D’un point de vue totalement non lin´eaire ou cyclique, il s’agit d’aller explorer la fa¸con dont l’´ecoulement peut passer du turbulent vers le laminaire, et comment ce passage est facilit´e par la baisse du nombre de Reynolds. La question de la fronti`ere laminaire-turbulent est g´en´eralement centr´ee sur la transition laminaire vers turbulent [27, 64] : la fa¸con la plus simple pour atteindre la turbulence et le “chemin” pris par le syst`eme. On s’int´eresse plus `a la proximit´e du “point col” du

“cycle limite”, et `a la possibilit´e qu’`a le syst`eme de venir le visiter.

Ces approches permettent d’obtenir une compr´ehension qualitative du comportement local de l’´ecoulement. Les mod`eles simples [101] et les mod`eles sur r´eseaux [8] paraissent avoir la mˆeme structure en ce qui concerne l’´evolution locale (chaos `a faible nombre de degr´es de libert´es remplac´es par une application chaotique). Il faut de plus comprendre les processus de contamination par le voisin et d’excitation par les perturbations charri´ees par l’´ecoulement `a grande ´echelle pr´esents dans ces mod`eles de mani`ere plus ad hoc. En pratique, en dessous de Rt, l’´ecoulement est sous auto-

perfusion et la turbulence continue `a pouvoir exister grˆace `a la structure en bandes [70].