Echelle optimale d’observation

Dans cette partie, je d´eveloppe, `a la mani`ere d’un courte le¸con, l’int´erˆet d’une approche physique de l’information o`u acquisition et traitement sont pens´es conjointement. Pour cela, consid´erons une tˆache informationnelle courante en imagerie qui consiste `a d´egager un objet d’un fond. En l’absence de bruit, l’objet se d´egage parfaitement du fond et l’´echelle optimale d’observation, celle qui permet par exemple d’estimer au mieux la surface de l’objet, est la plus petite ´echelle qui permet de voir enti`erement l’objet. En pr´esence de bruit, la distinction entre fond et objet est perturb´ee. Le sens commun pr´evoit qu’une ´echelle interm´ediaire, ni trop large pour avoir suffisamment de r´esolution, ni trop petite pour que le fond soit suffisamment d´efini, soit `a privil´egier. Les outils issus de la th´eorie statistique de l’information permettent d’apporter une r´eponse quantifi´ee `a ce probl`eme exp´erimental interdisciplinaire.

En th´eorie statistique de l’information [47], un canal de communication est constitu´e d’une source qui d´elivre un message `a un destinataire via un canal perturb´e par du bruit. La capacit´e informationnelle d’un canal de communication est d´efini comme [47], C = max<sub>Pr{S}</sub>I(S; Y ), o`u S est l’entr´ee du canal et Y sa sortie. I(S; Y ) est l’information mutuelle entr´ee–sortie I(S; Y ) = H(Y ) − H(Y | S) avec H(·) l’entropie de Shannon [47]. La capacit´e informationnelle C est la borne sup´erieure sur la quantit´e d’information qui peut ˆetre transmise correctement via le canal informationnel. Le bruit ´etant impos´e, la capacit´e est obtenue en ajustant le seul param`etre libre, la distribution de probabilit´e de l’entr´ee S. La mod´elisation de canaux de communication et le calcul de leur capacit´e informationnelle sont plutˆot classiquement destin´es aux contextes de t´el´ecommunication o`u les signaux transmis sont des signaux monodimmensionnels. Ici, S(u, v) et

Y (u, v) seront des images, o`u (u, v) sont les coordonn´ees spatiales. Nous mod´elisons la situation d’un objet seul sur un fond en choisissant l’image d’entr´ee S(u, v) comme binaire. Notre sc`ene est ainsi constitu´ee d’un objet d´efini par un niveau de gris uniforme I₁et un fond ´egalement uniforme `a I<sub>0</sub>. La densit´e de probabilit´e associ´ee `a S(u, v) est p_S(s) = p₁δ(s−I₁)+p₀δ(s−I₀) o`u p<sub>1</sub> = 1−p<sub>0</sub> est la fraction de pixels `a I₁, c’est-`a-dire la surface relative de l’objet dans l’image S(u, v). Le param`etre cl´e de notre probl`eme est donc p<sub>1</sub> qui repr´esente bien l’´echelle `a laquelle l’objet est observ´e dans l’image. Ainsi, la valeur de p₁ qui permet d’obtenir la capacit´e C d’un canal mod´elisant un imageur, d´efinit une ´echelle optimale `a laquelle on observe le mieux (d’un point de vue informationnel) l’objet sur le fond. La Fig. 4.2 illustre la chaˆıne d’acquisition et de traitement des images que nous consid´erons comme un canal de communication tel qu’on le d´efinit en th´eorie statistique de l’information [47]. Pour illustration, on choisit, pour des raisons m´ethodologiques,

acquisition

traitement

couplage

physique

perturbations

canal destinataire

source

S(u,v) X(u,v) Y(u,v)

Figure 4.2 : Imagerie vue comme un canal de communication. X(u,v) est une image in-term´ediaire correspondant `a l’image produite par la physique sur le capteur avant acquisition et traitement.

de mod´eliser un imageur simple o`u les images en sortie Y (u, v), au niveau du capteur ou bien apr`es traitement, sont binaires Y (u, v) ∈ {0, 1}. Le canal de communication de la Fig. 4.2 est donc ´equivalent au canal binaire de la Fig. 4.3. L’information mutuelle entr´ee–sortie I(S; Y ) peut

S(u,v) Y(u,v) p11 p00 p01 p10 1 0 1 0

Figure 4.3 : Canal binaire.

ˆetre calcul´ee `a partir des entropies H(Y ) = h[p<sub>11</sub>p<sub>1</sub>+(1−p<sub>00</sub>)(1−p<sub>1</sub>)]+h[(1−p<sub>11</sub>)p<sub>1</sub>+p<sub>00</sub>(1−p<sub>1</sub>)] avec la fonction h(u) = −u log<sub>2</sub>(u), et H(Y | S) = (1 − p<sub>1</sub>)[h(p<sub>00</sub>) + h(1 − p<sub>00</sub>)] + p<sub>1</sub>[h(p<sub>11</sub>) + h(1 − p<sub>11</sub>)] o`u p_ij = P r{Y = i | S = I_j}. La d´eriv´ee de I(S; Y ) par rapport `a l’´echelle d’observation p<sub>1</sub> peut ensuite ˆetre calcul´ee, et m`ene `a l’´echelle optimale d’observation p∗

atteint la capacit´e informationnelle C du canal binaire mod´elisant l’imageur. Ainsi, la question d’une ´echelle optimale d’observation d’un objet sur un fond trouve une solution analytique avec l’expression p^∗₁= ^{ap00− 1} a(p₀₀+ p₁₁− 1) ^{, (4.1)} avec a = 1 + exp " ln(2)^{h(p00) + h(1 − p00) − h(p11) − h(1 − p11)} p₀₀+ p₁₁− 1 # . (4.2)

Lorsque l’objet et le fond de la sc`ene `a imager pr´esentent le mˆeme bruit, c’est-`a-dire quand on a p<sub>00</sub>= p<sub>11</sub>, on obtient d’apr`es l’´Eq. (4.1) p∗

1 = 1/2. L’´echelle optimale d’observation est obtenue lorsque le fond repr´esente la mˆeme surface que l’objet. Dans cette situation, le sens commun ´evoqu´e en introduction fonctionne. On rencontre cette situation en pratique lorsque le couplage signal–bruit est additif en pr´esence par exemple de bruit d’origine thermique sur les capteurs. Le sens commun est mis en d´efaut `a p∗

1 6= 1/2, lorsque p₀₀6= p₁₁. Dans ce cas, l’´echelle optimale d’observation, quantifi´ee par l’´Eq. (4.1), revient `a favoriser la surface relative accord´ee `a l’item (objet ou fond) le moins bruit´e. On rencontre ces situations avec les bruits non additifs par exemple en imagerie coh´erente avec le bruit de speckle ou encore en IRM avec du bruit Ricien qui sont commun´ement [65] mod´elis´es comme des bruits multiplicatifs. La mod´elisation de ces contextes applicatifs pluridisciplinaires dans le cadre de notre ´etude est obtenue directement en explicitant le couplage signal–bruit et en introduisant un seuil de binarisation en sortie du canal. Pour illustration, consid´erons l’image interm´ediaire X(u,v) de la Fig. 4.2 comme ´etant l’image module obtenue lors d’une acquisition en IRM. Le bruit dans l’image module en IRM est usuelle-ment mod´elis´e comme un bruit Ricien de densit´e de probabilit´e

p_X|s(x) = ^x σ2 N exp · − ¹ 2σ2 N (x²+ 2s²) ¸ B₀ Ã √ 2sx σ2 N ! , (4.3)

pour x > 0 et p_(X|s)(x) = 0 pour x < 0 avec B₀(z) = ^R₀^2π_2π¹ exp(z cos θ)dθ . On peut ainsi calculer les probabilit´es conditionnelles p_ii du sch´ema de la Fig. 4.3 avec

p₁₁= 1 − F_X|S=I1(θ) , p₀₀= F_X|S=I0(θ) , (4.4) o`u p_ij = 1 − p_ii la fonction de r´epartition F_X|S=Ii(θ) = Q_χ02(λ) µ θ σ_N ¶ , (4.5) avec λ = ^2Ii² σ2 N

et p_ij = 1 − p_ii et la fonction sp´eciale Q_χ02(·) telle que d´efinie dans [92]. Le param`etre σ<sub>N</sub> dans l’´Eq. (4.5) est l’amplitude efficace du bruit gaussien centr´e qui intervient au niveau du r´ecepteur, l`a o`u se produit l’´echantillonnage avant la reconstruction par transform´ee de Fourier de X(u, v). L’amplitude efficace σ<sub>N</sub> du bruit peut ˆetre contrˆol´ee par le r´eglage de la bande passante du r´ecepteur. Plus cette bande passante est petite, plus σ<sub>N</sub> est petit comme le montre le graphe de la Fig. 4.4. Sur la Fig. 4.5, on observe l’´evolution de l’´echelle optimale pour un seuil θ fix´e en fonction de l’amplitude efficace σ<sub>N</sub>. Suivant le niveau de bruit dans la sc`ene, il faut parfois privil´egier la surface accord´ee `a l’objet p∗

1 > 0.5 ou celle occup´ee par le fond p^∗₁ < 0.5. Cela montre que le choix d’une ´echelle d’observation n’est pas un param`etre exp´erimental sans cons´equence d’un point de vue informationnel. Ainsi, une

0.05⁰ 0.1 0.15 0.2 0.25

0.5

1

1.5

2^{x 10}

noise rms amplitude σ_N

bandwidth BW in Hz

Figure 4.4 : Amplitude efficace du bruit σ_N de l’´Eq. (4.3) en fonction de la bande passante de l’antenne r´eceptrice BW . σ_N est estim´e `a partir d’images d’IRM r´ealis´ees avec la collaboration de Florence FRANCONI (ing´enieur de recherche `a l’Universit´e d’Angers) sur un imageur Bruker Avance DRX 7 tesla sur une s´equence d’´echo de spin classique dans un tube vide.

mod´elisation physique de la sc`ene `a imager peut ˆetre utilis´ee pour maximiser la transmission d’information lors du choix du grossissement d’un syst`eme imageur.

En imagerie, la question de l’´echelle d’observation d’une sc`ene est conventionnellement laiss´ee `a l’appr´eciation de l’exp´erimentateur qui a seul la charge du choix du grossissement du syst`eme imageur. De fa¸con souvent d´ecoupl´ee, le traiteur de donn´ees r´ecup`ere les images apr`es acquisi-tion et, `a partir de l`a, cherche `a extraire au mieux les informaacquisi-tions dans la sc`ene. Nous venons de montrer comment la capacit´e informationnelle pouvait ˆetre utilis´ee pour appr´ehender la question exp´erimentale du choix d’une ´echelle d’observation. Pour illustration, nous avons pris des exem-ples simexem-ples d’images binaires perturb´ees par des bruits aux propri´et´es statistiques typiques de l’IRM. De nombreux d´eveloppements possibles apparaissent. Je compte les mener `a bien dans le cadre de la th`ese d’Agn`es DELAHAIES. Ainsi, la partie traitement se r´esumait ici en une simple classification binaire objet/fond. Nous avons montr´e qu’une expression analytique exacte est possible pour l’´echelle optimale d’observation. Il serait toutefois possible `a partir du cadre simplifi´e de ce travail de complexifier le traitement de classification (il suffit alors d’estimer les probabilit´es de transitions dans le canal), le nombre de classes (il suffit alors d’augmenter le nombre d’entr´ees et de sorties au canal), ou encore de consid´erer d’autres types d’imageries en environnement bruit´e (il suffit alors de reconsid´erer la physique au niveau du capteur). Faire varier l’´echelle d’observation revient exp´erimentalement `a faire varier le grossissement du syst`eme imageur. Aux forts grossissements, il est courant que de nouvelles sources de bruit interviennent li´ees `a des aberrations dues au syst`eme imageur (aberration g´eom´etrique en imagerie optique, inhomog´en´eit´e du champ magn´etique en IRM par exemple). Ces bruits li´es au grossissement n’ont pas ´et´e pris en compte ici et des d´eveloppements dans cette direction constituent l`a aussi des perspectives int´eressantes. Dans cette petite le¸con sur la question d’une ´echelle optimale d’observation, nous avons examin´e de fa¸con conjointe des questions li´ees `a l’acquisition et au traitement des donn´ees issues de l’acquisition. C’est une approche originale puisque ces deux

*

Figure 4.5 : ´Echelle optimale d’observation en fonction de l’amplitude efficace du bruit gaussien pr´esent au niveau du r´ecepteur de l’antenne d’un IRM. L’image binaire d’entr´ee S(u,v) porte les niveaux I₀ = 0 et diff´erentes valeurs I₁ = 0.5, 0.75, 1, 2, 4 en allant de bas en haut. Le seuil de binarisation est fix´e θ = 1. En encart, l’information mutuelle entr´ee-sortie I(S; Y ) en fonction de l’´echelle d’observation p₁ pour un niveau de bruit gaussien σ_N = 3 et I₁ = 4, I₀ = 0 on a p∗

1= 0.57.

´etapes sont habituellement consid´er´ees s´epar´ement. D’autres crit`eres informationnels pourraient ˆetre propos´es sur la question de l’´echelle optimale d’observation suivant la finalit´e du traitement envisag´e. On pourrait par exemple utiliser comme dans [40] la complexit´e stochastique mini-male [115] en d´etection ou encore l’information au sens de Fisher [60] pour de l’estimation. Pour les sc`enes consid´er´ees, nous avons suppos´e des objets simples occupant une surface bien d´efinie. On pourrait ´egalement poser la question de l’´echelle optimale d’observation sur des sc`enes com-portant des objets aux structures plus complexes avec des propri´et´es d’invariances en ´echelle comme des objets “fractals” [67] qui donnent `a voir les mˆemes structures quelle que soit l’´echelle d’observation. En pratique, pour les objets fractals que l’on rencontre dans la nature cette pro-pri´et´e d’invariance d’´echelle existe uniquement sur une gamme d’´echelle et il serait int´eressant de regarder l`a aussi si une ´echelle optimale d’observation peut exister pour des tˆaches d´efinies de traitement de l’information.

Cette conclusion me permet une transition douce vers les ´etudes [43, 28, 44] (voir [28]) r´ealis´ees dans le cadre de la th`ese de Julien CHAVEAU o`u l’on s’int´eresse `a montrer un point de vue en ´echelle sur l’organisation des histogrammes multicomposantes comme ceux des images couleurs naturelles.