4.2 Analyse en ´echelle
4.2.2 Analyse fractale en imagerie couleur
Figure 4.5 : ´Echelle optimale d’observation en fonction de l’amplitude efficace du bruit gaussien pr´esent au niveau du r´ecepteur de l’antenne d’un IRM. L’image binaire d’entr´ee S(u,v) porte les niveaux I0 = 0 et diff´erentes valeurs I1 = 0.5, 0.75, 1, 2, 4 en allant de bas en haut. Le seuil de binarisation est fix´e θ = 1. En encart, l’information mutuelle entr´ee-sortie I(S; Y ) en fonction de l’´echelle d’observation p1 pour un niveau de bruit gaussien σN = 3 et I1 = 4, I0 = 0 on a p∗
1= 0.57.
´etapes sont habituellement consid´er´ees s´epar´ement. D’autres crit`eres informationnels pourraient ˆetre propos´es sur la question de l’´echelle optimale d’observation suivant la finalit´e du traitement envisag´e. On pourrait par exemple utiliser comme dans [40] la complexit´e stochastique mini-male [115] en d´etection ou encore l’information au sens de Fisher [60] pour de l’estimation. Pour les sc`enes consid´er´ees, nous avons suppos´e des objets simples occupant une surface bien d´efinie. On pourrait ´egalement poser la question de l’´echelle optimale d’observation sur des sc`enes com-portant des objets aux structures plus complexes avec des propri´et´es d’invariances en ´echelle comme des objets “fractals” [67] qui donnent `a voir les mˆemes structures quelle que soit l’´echelle d’observation. En pratique, pour les objets fractals que l’on rencontre dans la nature cette pro-pri´et´e d’invariance d’´echelle existe uniquement sur une gamme d’´echelle et il serait int´eressant de regarder l`a aussi si une ´echelle optimale d’observation peut exister pour des tˆaches d´efinies de traitement de l’information.
Cette conclusion me permet une transition douce vers les ´etudes [43, 28, 44] (voir [28]) r´ealis´ees dans le cadre de la th`ese de Julien CHAVEAU o`u l’on s’int´eresse `a montrer un point de vue en ´echelle sur l’organisation des histogrammes multicomposantes comme ceux des images couleurs naturelles.
4.2.2 Analyse fractale en imagerie couleur
En traitement d’images, les histogrammes des valeurs des pixels sont utiles `a divers ´egards [136]. Ils peuvent servir par exemple pour la caract´erisation et la correction lors de l’acquisition des images, ou pour des op´erations de segmentations, ou encore pour l’indexation d’images dans des bases de donn´ees. Pour des images en niveau de gris ou monocomposante, l’histogramme est
une structure monodimensionnelle ais´ee `a visualiser et `a manipuler. L’imagerie multicomposante avec les imageries multi-hyperspectrales ou encore en multimodalit´e est en plein d´eveloppement. Les histogrammes des images multicomposantes sont par d´efinition des structures de donn´ees multidimensionnelles qui peuvent montrer des organisations complexes [94]. Pour des images multicomposantes, une approche usuelle en traitement d’image est de consid´erer s´epar´emment les histogrammes marginaux de chaque composante. Ceci m`ene `a des traitements simples mais qui peuvent perdre une part importante de l’information contenue dans la d´ependance entre les composantes. L’histogramme multidimmensionnel contient davantage d’information mais il est plus compliqu´e `a manipuler et on en connaˆıt finalement peu sur la structure multidimmension-nelle de ces histogrammes `a commencer simplement par celles des images couleurs.
Dans les ´etudes [43, 28, 44], nous montrons que les histogrammes des images couleurs ont tendance `a s’organiser selon des r´egularit´es non triviales `a travers les ´echelles de l’espaces col-orim´etrique naturel RGB. L’identification d’invariants ou de r´egularit´es dans des classes donn´ees d’images est un r´esultat utile pour caract´eriser des images ou pour ´elaborer des mod`eles ou en-core pour comprendre des processus li´es `a la vision. Les images naturelles sont connues pour montrer des r´egularit´es `a travers les ´echelles dans leur organisation spatiale. Ceci se traduit par un spectre de fr´equence spatiale qui ´evolue selon une loi de puissance en 1/fα avec f la fr´equence spatiale [22, 58, 135, 134]. De fa¸con ´equivalente une ´evolution en loi de puis-sance sur le spectre de fr´equence est associ´ee `a une ´evolution selon une loi de puispuis-sance de la fonction de corr´elation [134]. Ce type d’invariance en ´echelle a ´et´e rapport´e `a la pr´esence de structures et de d´etails spatiaux `a toutes les ´echelles dans les images naturelles avec des objets `a de multiples tailles, des bords et des occlusions apparaissant sous diff´erents angles [59, 134, 75]. Des r´egularit´es `a travers les ´echelles apparaissent ´egalement dans les structures temporelles de s´equences d’images vid´eo. La dynamique temporelle d’images naturelles montre des ´evolutions en lois de puissance du spectre temporel de puissance [53]. Des objets de tailles tr`es diff´erentes, apparaissant `a diff´erentes profondeurs dans l’image, se d´eplacent `a des vitesses tr`es diff´erentes pour l’observateur ce qui conf`ere des structures invariantes `a travers les ´echelles spatio-temporelles des images. Ces r´esultats montrent que les images naturelles n’´evoluent pas de fa¸con al´eatoirement destructur´ees dans le temps et l’espace. Au contraire, les images dans le temps et l’espace montrent de la corr´elation, des structures de la redondance. Et ces corr´elations apparaissent auto-similaire ou invariantes `a travers les ´echelles, ou aussi fractales selon le temps et l’espace. Dans les ´etudes [43, 28, 44], nous examinons un autres aspect de l’organisation des images naturelles : leur organisation colorim´etrique. Et nous montrons dans [43, 28, 44] que dans le domaine colorim´etrique, les images couleurs naturelles tendent ´egalement `a s’organiser d’une fa¸con que l’on peut qualifier de fractale.
Pour ce faire nous avons consid´er´e des images couleurs o`u chacun des Npix pixels est repr´esent´e par un triplet de composantes (R, G, B), chacune de ces composantes prenant une valeur enti`ere dans [0, Q − 1] (par exemple Q = 28 = 256). L’espace colorim´etrique tridimensionnel des coor-donn´ees (R, G, B) poss`ede donc Q3 cases colorim´etriques ou couleurs distinctes. Les Figs. 4.6 et 4.7 donnent deux exemples d’images naturelles avec leur histogramme couleur tri-dimensionnel dans le cube colorim´etrique RGB. Pour caract´eriser l’organisation des histogrammes colorim´etri-ques `a travers les ´echelles nous avons test´e diff´erentes mesures classicolorim´etri-ques de l’analyse fractale que nous avons appliqu´ees selon un param`etre d’´echelle a :
• La m´ethode des boˆıtes (test´ee dans [44]) donne le nombre N (a) de boˆıtes de taille r n´ecessaires pour couvrir tous les points Pn de l’histogramme tridimmensionel couleur. Cette mesure car-act´erise le support de l’histogramme c’est-`a-dire la r´epartition de la palette des couleurs de l’image dans l’espace colorim´etrique.
• L’“int´egrale de corr´elation” (test´ee dans [28]) fourni le nombre moyen M (a) de voisins situ´es `a l’int´erieur d’une sph`ere de rayon a centr´e en un point de l’histogramme tri-dimensionnel couleur et totalement contenu dans le cube colorim´etrique RGB.
• La mesure de “corr´elation de paires” (test´ee dans [43]) ´evalue le nombre C(a) de paires de points qui sont s´epar´es par une distance ≤ a.
Le trac´e de N (a), M (a) et C(a), en fonction de a dans un diagramme log − log donne une vision de l’organisation en ´echelle de l’histogramme couleur. La m´ethode des boˆıtes caract´erise le support de l’histogramme et les mesures de corr´elation permettent d’appr´ecier la fa¸con dont ce support est rempli. Une invariance en ´echelle est associ´ee `a une loi de puissance des mesures N (a), M (a) et C(a). Parmi les comportements invariant en ´echelle, on qualifie de signature fractale l’existence d’un comportement lin´eaire de pente non enti`ere sur une certaine gamme d’´echelle du diagramme log − log selon a. Comme le montre les ´etudes [43, 28, 44] et la Fig. 4.8, on observe chez les images couleurs la possibilit´e d’une signature fractale dans le diagramme log − log pour les trois mesures N (a), M (a) et C(a).
Figure 4.6 : Images couleurs RGB de taille 256 × 256 pixels et Q = 256 niveaux. L’existence de possibles structures fractales dans la distribution des couleurs au sein des im-ages naturelles est un fait nouveau que les r´esultats pr´eliminaires [43, 44, 28] ont contribu´e `a identifier. D’autres analyses et observations sur de larges banques d’images naturelles seraient n´ecessaires pour confirmer l’existence de propri´et´es colorim´etriques fractales et pour appr´ecier leurs conditions d’existences et leurs possibles origines. Des hypoth`eses pour tenter d’expliquer l’origine de ces organisations fractales peuvent ˆetre propos´ees selon deux directions (possiblement reli´ees). L’organisation fractale des couleurs peut ˆetre reli´ee aux propri´et´es des sc`enes naturelles qui peuvent typiquement contenir de nombreuses structures et des objets de taille et de couleurs vari´ees sous diff´erents angles et diff´erentes conditions d’´eclairage. Ces ingr´edients peuvent mener `a l’existence dans des sc`enes naturelles, de plusieurs couleurs chacune affect´ees par de multiples facteurs de “modulation” qui construisent une organisation fractale des couleurs. Selon cette interpr´etation, la structure fractale de la distribution des couleurs aurait des origines communes avec d’autres propri´et´es fractales trouv´ees au niveau de l’organisation spatiale des images
na-Figure 4.7 : Histogramme tri-dimensionel couleur dans le cube colorim´etrique RGB [0, 255]3 pour l’image Flowers de la Fig. 4.6 pr´esent´e sous deux angles de vue diff´erents.
Figure 4.8 : Analyse en ´echelle de l’organisation de l’histograme couleur de l’image “Flowers” de la Fig. 4.7. De gauche `a droite: mesures N (a), M (a), C(a). Le nombre est la pente de la droite (en pointill´es) ajust´ee manuellement pour coller aux mesures (en trait plein) sur la gamme d’´echelle a la plus grande.
turelles. Dans une autre direction, l’organisation fractale des couleurs dans les sc`enes naturelles pourrait ˆetre reli´ee aux propri´et´es de codage de notre syst`eme visuel. ´Etant donn´e les propri´et´es statistiques spectrales de la lumi`ere naturelle, le syst`eme visuel pourrait avoir ´evolu´e dans ses capacit´es de codage afin de permettre une repr´esentation multi´echelle du spectre visible. Aux grandes ´echelles colorim´etriques, on trouve des domaines tr`es ´eloign´es dans le spectre visible. Aux petites ´echelles, on a des couleurs qui sont proches comme dans le cas d’ombres port´ees qui cr´eent autour d’une couleur donn´ee de subtils d´egrad´es. Il y a aussi des ´echelles interm´ediaires comme par exemple toutes les diff´erences de verts et de marrons qui peuvent exister dans une forˆet ou dans un paysage en ext´erieur ; et encore d’autres ´echelles. Pour permettre une discrim-ination efficace de ces multiples ´echelles, le syst`eme visuel pourrait avoir distribu´e ses capacit´es de codage sur toute les gammes d’´echelle de couleurs contenant de l’information dans la nature. La structure fractale montr´ee dans [43, 44, 28] pourrait ainsi ˆetre une manifestation d’une telle strat´egie de codage par le syst`eme visuel. Afin d’interroger les possibles origines d’une organi-sation fractale des couleurs, un moyen serait de consid´erer des images de synth`ese produites par des techniques de rendu de sophistication croissante : une voie que nous explorons `a l’occasion de la derni`ere ann´ee de th`ese de Julien CHAUVEAU.