Echange thermique dans l’ailette

La représentation mathématique associée au modèle d’ailettes sera basée sur une configuration 3D, d’un pavé de métal plein traversé par un caloduc auquel on associe différentes conditions limites. Plutôt que de faire un modèle incluant le découpage du volume qui sera toujours délicat du point de de la résolution analytique en multipliant le jeu de coefficients de Fourier, nous avons choisi de nous placer sur un domaine parallélépipédique plein sur lequel on vient imposer la température du caloduc dans la profondeur de l’ailette via les conditions aux limites de températures uniformes sur les faces supérieures et inférieures. Les faces latérales de l’ailette sont isolées thermiquement, la face inférieure et la face supérieure sont identiques. On contourne ainsi la complexité de la description géométrique associée à un ou plusieurs caloducs traversant et il est ainsi beaucoup plus facile de résoudre l’équation de la chaleur sur une telle configuration. La question de l’équivalence de ce modèle avec un modèle prenant en compte un contact à travers une surface traversante sera discuté dans le chapitre.

La représentation de l’échange convectif avec l’ambiant se fait par une condition limite en flux. Le caloduc est une zone isotherme, il faudrait donc le représenter par une condition limite en température. Or, définir sur une même surface deux conditions limites différentes n’est pas possible du point de vue de la résolution analytique (conditions aux limites mixtes). Nous avons donc choisi de représenter la face supérieure (et inférieure) de l’ailette par une condition en flux. Cette surface est découpée en deux zones. Une zone d’échange avec l’air ambiant, défini par la température TAMB et le coefficient d’échange

hAMB. Une zone décrivant la présence du caloduc et définie par une température TCAL et un coefficient

d’échange convectif hCAL. Une telle représentation permet de s’assurer que la température du caloduc

soit bien imposée sur la surface définie, en prenant une valeur de coefficient d’échange hCAL tres grande.

Au vu de la symétrie du problème, on peut découper la semelle en deux, et considérer une semelle d’épaisseur EA/2, dont la face inférieure serait isolée thermiquement. Il est alors possible de résoudre

Figure 69: Schéma représentatif d’une ailette traversée par un caloduc, avec ses cotes géométriques. Les échanges convectifs avec l’air ambiant sont représentés, ainsi que l’échange convectif équivalent sur la zone du

caloduc.

Le résultat obtenu lie la température au sein de l’ailette à l’ambiant. Cet écart de température est donné par l’équation (54). A partir de ce modèle, la température en chaque point de l’ailette peut être obtenue.

Où T(x,y,z) est la température en tout point de l’ailette en K, TAMB est la température de l’air ambiant,

A00 est un terme constant de la solution. Les coefficients AN, BM et CN,M sont les coefficients des sommes

de série de Fourier, et dépendent de l’ensemble des paramètres géométriques définis Figure 69, ainsi que des conditions opérationnelles appliquées à l’ailette : conductivité du matériau constituant l’ailette, coefficient d‘échange convectif avec l’air ambiant, et coefficient d’échange convectif représentant le caloduc. λN, δM, βN,M sont les valeurs propres des sommes de séries de Fourier et sont définies de la

même manière qu’en section 2.2.4.2 du chapitre 2 et qu’en section 4.2.2.2 de ce chapitre. Le détail de la résolution mathématique associé au modèle équation (54) est disponible Annexe F.

Résoudre l’équation de la chaleur dans le volume de l’ailette nécessite de spécifier les conditions limites associées à la configuration concernée. De plus, afin de pouvoir résoudre analytiquement ce type de problème, les conditions limites associées à chaque cas de figure traités doivent être homogènes. Si elles ne le sont pas, il faut se ramener à un problème où seul l’une des conditions est non homogène, et superposer les résolutions effectuées. Il y aura donc autant de solutions à superposer que de conditions non homogènes pour obtenir la solution globale du problème décrit [55][56]. Contrairement au modèle présenté section 2.2.4.1 du chapitre 2, obtenir les coefficients AN, BM et CN,M de l’équation (54) n’est pas

immédiat, à cause de la condition limite à la surface de l’ailette. Cette dernière est donnée par l’équation (55). !-<"= >= ?@ B -<"= >= ?@ M -ONY B e~~A d e5L fos< !L x@ L fos•< !L z@G p 5qJ A d ‚NL fos<rNL >@ L fos•<rNL ?@ p NqJ

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Où λAILETTE est la conductivité thermique d’une ailette W/mK.

Ce type de condition n’est pas homogène [55][56]. Pour pouvoir résoudre analytiquement l’équation de la chaleur dans le volume de l’ailette, il est nécessaire d’homogénéiser au maximum les conditions limites associées à la configuration choisie. C’est pourquoi un changement de variable a été effectué, afin de se ramener à une seule condition limite non homogène, donnée par l’équation (56).

Cette équation est toujours non homogène, à cause du terme défini sur la surface du caloduc mais est homogène sur le reste de la surface de l’ailette. Elle fait toutefois intervenir à la fois ΔT(x,y,z) et sa dérivée, ce qui nécessite une résolution numérique. Cette résolution numérique de l’ensemble des équations obtenues à partir des conditions limites du problème permettra d’obtenir la valeur des coefficients AN, BM et CN,M de l’équation (54).

Le profil de température à la surface de l’ailette est illustré en Figure 70. L’ailette mesure 0,1m de large, 0,2m de long et 0,005 m de haut. Le caloduc est représenté par une zone à isotherme à 90°C, avec un coefficient d’échange hCAL de 30000W/m2K. Il mesure 0,04m de long pour 0,02m de large. Il est placé

au centre de l’ailette. L’air ambiant est considéré à 25°C, le coefficient d’échange avec l’air ambiant est fixé à 50W/m2_K.

Figure 70: Cartographie de température en régime permanent au sein de la configuration présentée Figure 69,

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(55)

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Pour déterminer le comportement thermique du dissipateur global, il est nécessaire de faire le lien entre ce modèle d’ailettes et le modèle de semelle, comme on le verra section 4.2.4. Ce couplage passe par une connaissance du flux de chaleur évacué par une ailette.

Ce flux de chaleur est donné par l’équation (57).