Conduction dans la semelle

La représentation associée à la semelle du dissipateur est basée sur une configuration 2D, où le caloduc sera représenté comme une zone rectangulaire à température uniforme. Cette complexité géométrique sera gérée en 2D dans un premier temps pour faciliter l’établissement du modèle, puisqu’avec une telle configuration géométrique, il faudra effectuer le raccordement de trois blocs entre eux, comme on peut le voir sur la Figure 66.

La semelle est définie comme un bloc d’aluminium, au sein de laquelle on insère une zone isotherme de température TCAL qui représente le caloduc. La prise en compte du comportement du caloduc, par

modélisation du changement d’état du fluide caloporteur ne sera pas prise en compte. Les faces latérales et les parties supérieures de la semelle sont considérées isolées thermiquement. La face inférieure de la semelle est considérée isolée, sauf au niveau de la zone de la source de chaleur, où la densité de flux est considérée uniforme. La configuration définie, au sein de laquelle on établira la résolution de l’équation de la chaleur en régime permanent est donnée par la Figure 66.

Figure 66: Schéma représentatif de la semelle d’un dissipateur traversée par un caloduc, en deux dimensions.

Comme dans le cas du modèle développé en section 2.2.4.2 du chapitre 2, ce modèle donne la température en tout point de la configuration présentée Figure 66, sans avoir à résoudre l’intégralité du champ de température. L’expression de la différence de température globale entre la température en chaque point de la semelle et la température de l’air ambiant ΔT(x,z) est obtenue à partir des températures des blocs A, B et C. En fonction de la position à la surface de la semelle, on choisira l’une ou l’autre de ces températures pour décrire le comportement global du système. Ces relations sont données par l’équation (52).

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La conductivité du bloc A est donnée par λA en W/mK. TCAL est la température du caloduc en K. Les

coordonnées de chaque point de la semelle sont données par (x, z) en m. TA(x,z) est la température en

tout point du bloc A, TB(x,z) est la température en tout point du bloc B, TC(x,z) est la température en tout

point du bloc C. Les valeurs propres des blocs A, B et C sont données respectivement par ωn, μm, et σl.

Ces valeurs propres sont solution des fonctions propres de chaque solution (TA(x,z), TB(x,z), TC(x,z)).

Ces fonctions propres sont obtenues lors de la résolution analytique, à partir des conditions limites définies. Le détail de l’obtention de ces valeurs propres est détaillé en Annexe E.

Les coefficients A0, A1, An, Bm, Cl seront déterminé en raccordant mathématiquement les blocs A, B et

C. Le détail du modèle est présenté en Annexe E. Il est donc, comme en section 1.2.4.2 du chapitre 2, nécessaire de passer par une résolution numérique des jeux d’équations obtenus à partir des conditions de raccordements mathématiques. La difficulté pour l’approche analytique réside ici aussi dans la différence de taille des différents blocs que dans la différence de matériau. En effet, le découpage crée trois blocs de tailles différentes. Ce raccordement entraine l’apparition d’un certain nombre d’équations couplées notamment entre les coefficients de Fourier d’indices différents. Ceux-ci sont alors solutions d’un système linéaire de grande dimension. C’est la résolution numérique de ce jeu d’équations couplées qui permet d’obtenir les coefficients du modèle.

Ce raccordement mathématique des différents blocs se fera pour z=Z1, en considérant une continuité de

flux et de température aux interfaces entre les blocs, comme on peut le voir décrit en équation (53).

Où λA, λB , λC sont respectivement les conductivité thermiques des blocs A, B et C, en W/mK.

A partir de la solution mathématique proposée en équation (52), il est possible d’obtenir le champ de température présenté Figure 67. Les conductivités des trois blocs sont identiques, et égales à 237W/mK. Le bloc A mesure 0,1 m de large et 0,035m de haut. Les blocs B et C sont identiques et mesurent 0,005m de haut et 0,035m de large chacun. La source est centrée, elle mesure 0,01m de large et dissipe une densité de puissance de 105 _W/m2_{. Le caloduc est considéré à 90°C.}

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Figure 67: Cartographie de température en régime permanent au sein de la configuration présentée Figure 66.

4.2.2.3 Limitations

Ce modèle présente toutefois des limitations, liées à la complexité géométrique de la configuration décrite et à l’établissement du modèle analytique, comme pour le modèle en 2D développé au chapitre 2. La température du caloduc n’est pas totalement imposée à la surface du bloc A, entre les points X1 et

X4, pour z=Z1. Ceci peut se voir Figure 68, où l’écart de température TA(x,Z1)-TCAL est représenté. Comme

on peut le voir, au niveau des raccords entre les blocs, pour X1=0,035m et X4=0,065m, l’écart de

température est négatif. Ceci entraine des discontinuités dans la représentation de la température sur l’intégralité de la semelle en z=Z1. Toutefois, ces discontinuités ne perturbent pas la valeur de la

température de la source de chaleur en z=0. Les dimensions utilisées pour effectuer la courbe Figure 68 sont celles utilisées pour représenter le profil de température Figure 67.

Figure 68:Evolution de la différence de température TA(x,Z1)-TCAL en fonction de la position suivant la largeur de la semelle, pour une source de 0,01m centrée.

Le modèle analytique développé possède également des limites liées à la convergence numérique des sommes de série de Fourier qui le constituent, notamment au niveau de la zone de raccordement entre les blocs, pour z=Z1. Ces divergences sont liées à certains jeux de paramètres géométriques qui

deviennent très grands quand le nombre de termes dans la série est grand, couplé au fait les coefficients de Fourier définissent, dans la plupart de cas résolus, des séries alternées. En effet, ces solutions analytiques sont exprimées à partir de cosinus et de sinus hyperboliques, qui deviennent très grands pour certaines dimensions des blocs A, B et C. Ces derniers divergent si leur terme est grand et ces termes dépendant des valeurs propres et de la longueur considérée suivant z. Plus la valeur propre est petite, et plus la longueur, ou la largeur, est grande, plus la divergence est importante. En effet, les blocs n’étant pas de taille similaire, les échelles de définition des valeurs propres sont différentes. Les valeurs propres des blocs B et C sont celles qui possèdent les plus petites échelles. Cette divergence apparait en premier à la jonction entre les deux blocs, en z=H1, puisque c’est là que la longueur suivant z est la plus grande

pour les blocs B et C. Le fait que deux blocs soient à considérer, soit deux raccords à prendre en compte pour le bloc A, complexifie encore les choses puisque les blocs B et C peuvent ne pas avoir la même largeur même s’ils possèdent la même longueur. Il faut donc composer entre les largeurs des blocs A, B et C ainsi que la hauteur des blocs A et des blocs B et C.

On se retrouve donc à retrancher des termes très grands dont la somme algébrique doit faire précisément des valeurs proches de zéro ce qui introduit une erreur numérique importante. De nouveau, un travail d’optimisation de la solution mathématique reste à considérer pour pallier ces problèmes de divergences qui limitent la précision de la solution dans certains cas critiques amplifiés par des rapports d’aspect importants de l’objet.

4.2.3 Modèle thermique de l’ailette