Non-lin´ earit´ e non convexe

On s’int´eresse `a la description de la structure des chocs associ´es `a des non-lin´earit´es p(v) non-convexes comme celle fournie par El, Hoefer & Shearer [53] dans le cas de l’´equation de KdV modifi´ee pour laquelle p(v) = 4v3 _{que l’on ´ecrit de nouveau avec un param`etre de} dispersion ε

v_t+ 4v3

x+ ε v_xxx= 0 .

Mˆeme si l’´equation de mKdV entre dans la cat´egorie compl`etement int´egrable au mˆeme titre que KdV, on fait le choix de mettre de cˆot´e cette structure et de pr´esenter les dif-f´erences fondamentales entre ces deux ´equations appuy´ees par un ´echantillon de r´esultats num´eriques. Notons en pr´eambule que contrairement `a ce qui se passe pour KdV, pour mKdV le signe de ε alt`ere non seulement l’allure mais aussi la structure des solutions.

La cons´equence imm´ediate de la non-convexit´e de la non-lin´earit´e est que les champs caract´eristiques associ´es au syst`eme sans dispersion ne sont plus vraiment non-lin´eaires. En effet, la vitesse caract´eristique de l’´equation sans dispersion dans le cas de mKdV est

V (v) = 12v2_{, dont la d´eriv´ee s’annule en z´ero. Le syst`eme de Whitham associ´e `a mKdV} h´erite naturellement de cette propri´et´e, au moins dans les r´egimes extrˆemes. Malheu-reusement, la description des chocs dispersifs par les modulations de Whitham n´ecessite l’existence d’une onde de d´etente reliant les deux r´egimes soliton et harmonique. Or, une onde de d´etente ne peut pas exister si le champ caract´eristique associ´e n’est pas vrai-ment non-lin´eaire. Pour observer un choc dispersif au sens classique, les ´etats initiaux u±

de la marche devront v´erifier une condition sp´eciale de convexit´e en plus des conditions d’admissibilit´e du choc dispersif. Pour l’´equation de mKdV, ces conditions s’´ecrivent (93) |u₋| > |u₊| , u−^u+^{> 0 .}

La condition de gauche est la condition d’admissibilit´e du choc dispersif d´eduite de ma-ni`ere analogue au cas de l’´equation de KdV. La condition de droite est la condition de convexit´e puisqu’elle s’´ecrit p_(u−)p_{(u+) > 0.}

La non-convexit´e est aussi `a l’origine de la pr´esence de chocs dits sous-compressifs dans le cas ε < 0. Cette d´enomination en lien avec la dynamique des gaz caract´erise l’existence d’un choc dont la vitesse est subsonique en amont et en aval. Si l’on consid`ere la loi de

conservation

v_t+ 4 v3

x = 0 ,

la vitesse caract´eristique V (v) = 12 v2 _{est un analogue de la vitesse du son d´efinie en} dynamique des gaz. La vitesse des ondes de choc est d´efinie par la condition de Rankine-Hugoniot et s’´ecrit

s = u2

+^{+ u}+^u−^{+ u2}−^,

et les chocs sous compressifs sont caract´eris´es par

s < V (u±^{) .}

Ces chocs sous-compressifs du syst`eme sans dispersion sont associ´es `a l’apparition d’une structure particuli`ere d´enomm´ee kinks dans la litt´erature anglo-saxonnne et qui d´esigne un front d’onde monotone.

Dans le cas ε > 0, il n’existe pas de chocs sous-compressifs mais en revanche, la non-convexit´e de la non-lin´earit´e entraˆıne l’apparition de structures doubles que l’on appelle

chocs dispersifs de contact. La pr´esence de ces chocs dispersifs non standards est ´ ega-lement due `a la perte d’hyperbolicit´e du syst`eme de Whitham associ´e `a mKdV. Cette propri´et´e peut ˆetre d´eduite de l’´ecriture sous forme diagonale du syst`eme de Whitham via ses invariants de Riemann. Elle est aussi observable `a partir de nos r´esultats num´eriques concernant la stabilit´e modulationelle de mKdV sur la figure 2.19. La structure des chocs dispersifs de contact ressemble fortement `a celle d’un choc dispersif classique. La diff´erence fondamentale entre ces deux structures est que dans le cas d’un choc classique, seulement l’un des invariants de Riemann subit une d´etente (r2 ^{dans l’exemple pr´ec´edent) alors que} dans le cas d’un choc dispersif de contact, deux invariants de Riemann subissent une d´ e-tente. C’est encore une fois la non-hyperbolicit´e du syst`eme qui autorise ce type de solution. Les conditions d’apparition de ces structures non-standards correspondent `a des choix particuliers dans la d´efinition de la condition initiale u±^{. Pour une classification compl`ete}

des diff´erentes structures de chocs dispersifs pour l’´equation de mKdV voir les travaux de El, Hoefer & Shearer [53]. On pr´esente ici des exemples correspondants aux diff´erentes structures d´ecrites ci-dessus. Sur la figure 3.20 est repr´esent´ee l’´evolution spatio-temporelle d’une marche r´egularis´ee v´erifiant les conditions d’admissibilit´e (93) par l’´equation de mKdV. On y distingue la cr´eation d’un choc dispersif en amont de la marche ainsi que d’une onde de rar´efaction en aval. La structure de ce choc dit classique est tout `a fait similaire `a celle de l’´equation de KdV en dehors d’une variation de forme de l’enveloppe du choc.

La figure 3.21 pr´esente une onde double kink/choc dispersif pour ε < 0. L’apparition de ce genre de structure est associ´ee aux conditions initiales v´erifiant−u₋ < u+^{< 0. Dans} ce cas, les vitesses d’extensions de la zone de Whitham du choc sont connues (voir [53,§

5.2.1]) et leurs valeurs pour p(v) = 4v3 _sont

s− = 4(u2

−^{+ 2u2}+^{) s}+= 4(6u2

−− 3u²₊) , tandis que la vitesse du kink vaut

sk= 4u2

−^.

La distance entre le front d’onde du kink et le soliton de l’extr´emit´e du choc dispersif est croissante (s_k< s−^).

Enfin, on peut observer sur la figure 3.22 la pr´esence d’une onde double choc dispersif

de contact/choc dispersif. Cette structure est construite comme une juxtaposition. D’apr`es les r´esultats de [53,§ 5.2.2], la vitesse de s´eparation entre les deux chocs dispersifs vaut

s∗^{= 4(6u2}₊− 3 ∗ u2

Figure 3.20. _{Evolution spatio-temporelle d’une marche r´}´ _{egularis´ee par} l’´equation de mKdV ε > 0. La condition initiale est repr´esent´ee en haut `a gauche. L’´evolution voit l’apparition d’un choc dispersif classique puis son extension. En rouge sont repr´esent´ees les positions rep´er´ees par les vitesses

s− ^{et s}+^.

Figure 3.21. Onde double kink/choc dispersif de l’´equation de mKdV

ε < 0. En rouge sont repr´esent´ees les positions rep´er´ees par les vitesses s_k,

s− ^{et s}+ ^{(de gauche `a droite).}

et les vitesses amont et aval de la totalit´e de la structure sont donn´ees par

s− ^{= 4(6u2}+− 3u²₋) s+^{= 4(2u2}−^{+ u2}+^{) .}

La principale diff´erence entre un choc dispersif classique et un choc dispersif de contact est la forme de l’enveloppe de la zone de Whitham. Dans le cas d’un choc classique l’enveloppe est relativement droite tandis que dans le cas du choc dispersif de contact l’enveloppe est plus arrondie ou bomb´ee.

Figure 3.22. Onde double choc dispersif de contact/choc dispersif de l’´equation de mKdV ε > 0. En rouge sont repr´esent´ees les positions re-p´er´ees par les vitesses s−^{, s}∗ ^{et s}+^.