Crit` ere de stabilit´ e orbitale

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0· · · 0 −1 0 0 .. . B .._. 0 0 −1 0 · · · 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,

on obtient une formulation matricielle, en supposantHessΘ inversible,

(70) ∂TW+ D∂XW= 0 ,

o`u WT_{= (μ,}λT_{, c) et}

D= c Id + Ξ (HessΘ)−1_S.

D’apr`es la d´efinition 0.4, sous les hypoth`eses de la proposition 2.1, un profil U = U(μ,λ, c)

est modulationnellement stable si et seulement siHessΘ(μ, λ, c) est inversible et le syst`eme (70) est hyperbolique. Ceci permet d’´etablir le crit`ere de stabilit´e modulationnelle suivant Crit`ere 1.Soit U = U(μ,λ, c) un profil p´eriodique. U est modulationnellement stable si

et seulement siHessΘ est inversible au point (μ, λ, c) et D = D(μ, λ, c) est diagonalisable surR.

En pratique, dans les cas de (KdV) et (EKL) pour lesquels N = 1 ou 2, la stabilit´e modulationnelle d’un profil donn´e sera donc ´etudi´ee `a travers le spectre d’une matrice de taille N + 2.

2.3. Crit`ere de stabilit´e orbitale

Consid´erons maintenant le probl`eme de stabilit´e orbitale vis `a vis de perturbations de mˆeme p´eriode que l’onde consid´er´ee. Comme dans le cas des solutions stationnaires d’´EDO, l’id´ee est de tirer profit de la th´eorie de Lyapunov. Les difficult´es inh´erentes aux ´

EDP sont trait´ees par l’approche de Gillakis-Shatah-Strauss. Celle-ci permet d’´etablir un crit`ere pour que la fonctionnelle

F^(μ,λ,c) : U→

 _Ξ

0 ⁽H [U] + cQ(U) + λ · U + μ) dx ,

admette un minimum local au point U, non pas sur son espace de d´efinition H1 ₌

H1₍R/ΞZ) × (L2₍R/ΞZ))N−1 _{mais sur une vari´et´e contrainte} H1∩ C , avec C =  U∈ (L2₍R/ΞZ))N;  _Ξ 0 ^{Udx =}  _Ξ 0 ^{Udx ;}  _Ξ 0 Q(U)dx =  _Ξ 0 Q(U)dx  .

Les contraintes sont li´ees au fait que les int´egrales _Ξ

0 ^{Udx et} _Ξ

0 Q(U)dx sont conserv´ees

le long des solutions Ξ -p´eriodiques de (2). Cette approche est bien connue dans le cas du soliton [67] pour lequel elle a permis d’´etablir un crit`ere de stabilit´e impliquant la d´eriv´ee seconde du moment de Boussinesq par rapport `a la vitesse du soliton Mcc> 0.

Lorsqu’on cherche une condition pour que l’op´erateur A = Hess(H + cQ)[U] soit

positif sur TUC =  U∈ (L²(R/ΞZ))N;  _Ξ 0 ^U· ∇_UQ(U)dx = 0 ;  _Ξ 0 ^{Udx = 0}  ,

on ´etablit le th´eor`eme suivante impliquant la signature n´egative n(HessΘ) de la matrice HessΘ, c’est-`a-dire le nombre de valeurs propres n´egatives en comptant leur multiplicit´e.

On introduit ´egalement la matrice jacobienne C des contraintes_Ξ

0 ^{Udx et} _Ξ

0 Q(U)dx,

`

a p´eriode Ξ fix´ee, en fonction des param`etres (λ, c).

Th´eor`eme 2.1. On suppose Θ telle que sa d´eriv´ee seconde Θμμ est non nulle et que la matrice

C= ∇Θ^ˇ μ⊗ ˇ∇Θμ

Θ_μμ − ˇ∇2_{Θ ,}

est inversible pour (μ,λ, c) ∈ Ω avec ˇ∇ = ∇λ

∂_c

. Alors on a la relation suivante sur les signatures n´egatives

(71) n(A ) = n(A_|TUC) + n(C) .

Ce th´eor`eme ´etabli dans [21, Th. 3] utilise un r´esultat de nature alg´ebrique [105, 84]. Ainsi, la condition de stabilit´e sur l’op´erateur A_|TUC se traduit par

n(A ) − n(C) = 0 .

En travaillant d’une part sur les signatures n´egatives des matrices C etHessΘ, et d’autre part sur celle de l’op´erateur diff´erentiel A , dont l’´etude de spectre se ram`ene `a celle d’un

op´erateur de Sturm-Liouville, on obtient la relation

n(A ) − n(C) = n(HessΘ) − N .

Par cons´equent, le crit`ere de stabilit´e revient simplement `a n(HessΘ) = N. `A d´efaut de le faire analytiquement, on peut tester num´eriquement les conditions Θ_μμ= 0, det HessΘ = 0

et n(HessΘ) = N. On peut ainsi r´esumer ce que donnent les crit`eres pour l’´equation de KdV et le syst`eme d’Euler-Korteweg.

Crit`ere 2. Stabilit´e orbitale co-p´eriodique pour (KdV). Si pour un certain (μ,λ, c) les conditions

Θ_μμ= 0 , det(HessΘ) = 0 , n(HessΘ) = 1 ,

sont satisfaites, alors l’onde p´eriodique associ´ee `a (μ,λ, c) solution de l’´equation de KdV

est conditionnellement orbitalement stable dans H1₍R/ΞZ).

Pour le syst`eme d’Euler-Korteweg, comme deux repr´esentations sont possibles, on for-mule deux crit`eres. En effet, mˆeme si les deux repr´esentations fournissent des ´equations de profils ´equivalentes, avec des structures analogues, les param`etres abstraits (μ, λ1<sup>, λ</sup>2<sup>, c)</sup> n’ont pas la mˆeme signification selon le point de vue. On utilise plus volontiers les para-m`etres (μ, λ, j, σ) pour (EKE) et (EKL) et pour lesquels on a la correspondance dans la table A.2.

abstrait μ λ1 ^λ2 ^c

EKE μ −λ j σ

EKL λ −μ σ −j

Table 2.1. Notations des param`etres

Physiquement, σ est la vitesse de l’onde (unit´e de longueur/unit´e de temps ) et j est le transfert de mati`ere `a travers l’onde (homog`ene `a une densit´e fois une vitesse). On constate sur la table A.2 que les rˆoles de c et j, et de μ et λ, sont, au signe pr`es, ´echang´es entre (EKE) et (EKL). De plus, ces syst`emes ont la mˆeme action Θ, dont la hessienne a le mˆeme d´eterminant et la mˆeme signature n´egative en variables abstraites (μ,λ, c) ou en

Crit`ere 3. Stabilit´e orbitale co-p´eriodique pour (EKE). Si pour un certain (μ, λ, j, σ) les conditions

Θμμ= 0 , det(HessΘ) = 0 , n(HessΘ) = 2 ,

sont satisfaites, alors l’onde p´eriodique associ´ee, solution de l’´equation de (EKE) est condi-tionnellement orbitalement stable dans H1₍R/ΞZ) × L2₍R/ΞZ).

Crit`ere 4. Stabilit´e orbitale co-p´eriodique pour (EKL). Si pour un certain (λ, μ, j, σ) les conditions

Θ_λλ= 0 , det(HessΘ) = 0 , n(HessΘ) = 2 ,

sont satisfaites, alors l’onde p´eriodique associ´ee, solution de l’´equation de (EKL) est condi-tionnellement orbitalement stable dans H1₍R/ΞZ) × L2₍R/ΞZ).

D’un point de vue pratique, tous les calculs num´eriques seront men´es en coordonn´ees lagrangiennes. L’int´egrale d’action ´etant la mˆeme dans les deux repr´esentations, il suffit d’effectuer nos calculs sur la version Lagrangienne et de v´erifier `a la fois la condition Θ_λλ = 0 et la condition Θμμ = 0, ou encore en coordonn´ees abstraites Θμμ = 0 et

Θ_λ1λ1 = 0. On se concentrera donc sur le crit`ere 4 ainsi que sur la condition suppl´ementaire

Θλ1λ1 = 0 (en coordonn´ees abstraites) afin de v´erifier num´eriquement qu’une onde `a les

mˆeme propri´et´es de stabilit´e dans les deux syst`emes de coordonn´ees. On ´etablit ´egalement la pseudo-alternative suivante

Th´eor`eme 2.2.Soit N ∈ {1, 2} et H de la forme (4)-(5). On fait les hypoth`eses suivantes (1) Il existe un ouvert Ω de RN+2 _{et une famille de profils p´eriodiques U param´etr´es}

par (μ,λ, c) ∈ Ω solutions des ´equations de profil (12)-(13). De plus, si on note Ξ

la p´eriode du profil U

(μ,λ, c) ∈ Ω → (U, Ξ) ∈ C2

b(R) × R

est continument diff´erentiable.

(2) La p´eriode Ξ est une fonction strictement monotone du param`etre μ (Ξ_μ = 0) et l’int´egrale d’action Θ d´efinie par (17) est telle que la matrice HessΘ(μ, λ, c) est

inversible pour tout (μ,λ, c) ∈ Ω.

(3) Pour toute p´eriode Ξ dans l’ensemble des p´eriodes atteintes sur Ω, il existe un sous-espace dense H_Ξ de 

L2₍R/ΞZ)^N

et un ouvert deH_Ξ sur lequel la fonctionnelle

U→

 _Ξ

0 H [U] dx

est de classe C2_{, et si on note} ·, · le crochet de dualit´e entre H

Ξ ^et HΞ^{, il existe}

un r´eel α > 0 tel que U2

HΞ =HessH [U]U, U + αU2

L2

d´efinisse une norme ´equivalente surHΞ^{, uniform´ement selon les param`etres}

carac-t´erisants le profil (U, Ξ).

(4) Pour toute p´eriode Ξ dans l’ensemble des p´eriodes atteintes sur Ω, il existe un sous-espace dense W_Ξ de H_Ξ pour lequel le probl`eme de Cauchy associ´e `a (2) est localement bien pos´e.

Alors on a la pseudo alternative suivante : pour tout (μ,λ, c) ∈ Ω

— si n(HessΘ(μ, λ, c)) − N = 0, alors l’onde associ´ee est orbitalement stable,

Ce th´eor`eme est d´emontr´e dans l’article reproduit reproduit `a l’annexe A (voir rq. A.9).

Remarque 2.2.En pratique, on s’attend au fait que l’instabilit´e spectrale entraine l’in-stabilit´e non-lin´eaire des ondes. Mˆeme si cette pseudo-alternative ne fournit pas de confir-mation, elle n’entre pas en contradiction avec ces attentes. Pour simplifier, on parlera d’onde instable lorsque n(HessΘ) − N est impair.

Remarque 2.3.Il existe un lien entre l’action Θ associ´ee au syst`eme d’Euler-Korteweg (N = 2) et l’action θ associ´ee `a l’´equation de Korteweg-de Vries g´en´eralis´ee (N = 1). En effet, il est d´emontr´e dans l’annexe A, section 5.2.3 que l’on peut exprimerHessΘ(μ, λ, j, σ) en fonction de∇θ et Hessθ ´evalu´es au point (λ−1

2^{σ2, jσ}−μ, −j2_{). Ce lien permet d’´etablir} le th´eor`eme suivant (Th. A.25) qui compare les r´esultats de stabilit´e du syst`eme (EKL) avec ceux de l’´equation (gKdV).

Th´eor`eme 2.3.Sous r´eserve d’existence d’une onde p´eriodique de (EKL) param´etr´ee par

(μ, λ, j, σ) et d’une onde p´eriodique de (gKdV) param´etr´ee par (λ−¹₂σ2_{, jσ}− μ, −j2_{), si}

j= 0 , Θμμ= 0 , det(Hessθ) det(HessΘ) < 0 , alors

n(Hessθ) = 1 ⇔ n(HessΘ) = 2 .

Dans ce cas, l’onde p´eriodique de (EKL) param´etr´ee par (μ, λ, j, σ) et l’onde p´eriodique de (gKdV) param´etr´ee par (λ − 1

2^{σ2, jσ} − μ, −j2_{) sont toutes deux conditionnellement}