Chocs dispersifs

Finalement, les ´equations que l’on consid`ere sont des perturbations dispersives d’´EDP hyperboliques non-lin´eaires. Comme dans le cas de la r´egularisation par dissipation ou viscosit´e, on peut se demander quels sont les effets de la dispersion sur les ondes de choc de ces syst`emes hyperboliques. Les chocs dispersifs ont une structure r´eguli`ere et oscillante tout `a fait particuli`ere. Leur premi`ere observation historique s’est faite en lien avec l’hy-drodynamique dispersive. On pense ´evidemment aux mascarets qui se produisent lorsque de fortes mar´ees remontent le cours ou l’embouchure d’un fleuve. Depuis le d´ebut des ann´ees 2000, on a d´ecouvert des chocs dispersifs lors d’exp´eriences en physique atomique et en optique. L’excitation d’un condensat de Bose-Einstein, milieu compos´e d’atomes su-perfroids ayant les mˆemes ´etats quantiques, par un laser puls´e forme une onde de choc dispersive, de mˆeme que la diffraction non-lin´eaire de la lumi`ere. Pour une vue d’ensemble de ces applications, voir l’article de El & Hoefer [52].

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A partir des ´etudes de Whitham sur les modulations [121], de nombreux travaux se sont bas´es sur l’utilisation du syst`eme d’´equations modul´ees pour la description de la struc-ture des chocs dispersifs, comme ceux de El, Hoefer & Shearer [50, 75, 52, 53] ou ceux de Grava & Klein [65, 66]. La premi`ere formulation de ces chocs `a partir des ´equations modul´ees remonte `a un travail fondateur de Gurevich & Pitaevskii [71] sur l’´equation de KdV. Elle utilise l’´ecriture des ´equations de Whitham ´ecrites sur les invariants de Rie-mann et l’existence de solutions analytiques de l’´equation de KdV, dont on peut trouver une description compl`ete dans l’ouvrage de Kamchatnov [82].

La structure typique d’un choc dispersif classique est illustr´ee sur la figure 0.4. On y distingue la zone de Whitham qui renferme toute la gamme d’ondes p´eriodiques allant des ondes de faible amplitude (`a gauche) au soliton (`a droite). Le probl`eme de Gurevich &

Figure 0.4. Structure d’un choc dispersif de l’´equation de KdV ε > 0. Les ´

etats u−^{et u}+^{d´efinissent la marche initiale. La vitesse s}−^{peut ˆetre positive}

ou n´egative. Elle correspond `a la vitesse des ondes de faible amplitude formant l’aval du choc. La vitesse s+ <sup>correspond `a la vitesse du soliton</sup> formant l’amont du choc.

Pitaevskii [71] que l’on d´ecrit ci-dessous consiste en particulier `a d´eterminer les vitesses

s± ^{d’extension de la zone de Whitham.}

Pour l’´equation de KdV

v_t+ 3v2

x+ εv_xxx = 0 ,

on peut r´e´ecrire le syst`eme de Whitham associ´e sous forme diagonale en faisant apparaˆıtre les invariants de Riemann r1≤ r₂ ≤ r₃

∂ri

∂t ^{+ Vi(r}1^{, r}2^{, r}3^)∂r_∂x^{i ,}

o`u les vitesses caract´eristiques V1 ≤ V<sub>2</sub> ≤ V<sub>3</sub> d´ependent des invariants de Riemann r<sub>i</sub>, de la vitesse c et des valeurs des int´egrales elliptiques de premi`ere et seconde esp`ece K(m) et E(m) avec

c = 2 (r1^{+ r}2^{+ r}3^{) m = r2}− r₁ r3− r₁^.

Les solutions p´eriodiques de l’´equation de KdV s’´ecrivent alors en fonction des r_i (30) v(t, x) = r2^{+ r}3− r1− 2(r2− r1^{) sn2}√

r3− r1^(x− ct + x0^{), m}

.

Le d´ephasage initial x0 ^{reste ind´etermin´e dans la th´eorie de Whitham telle qu’elle est} d´ecrite ici. Toute solution de l’´equation de KdV est donc d´etermin´ee `a translation pr`es. L’obtention de ce d´ephasage initial requiert de d´eterminer le syst`eme modul´e `a un ordre plus ´elev´e du d´eveloppement asymptotique (19). Il a pu ˆetre d´etermin´e pour certaines conditions initiales dans le cas de l’´equation de KdV [52, 65].

Le probl`eme formul´e par Gurevich & Pitaevskii consiste `a r´esoudre l’´equation de KdV en consid´erant la donn´ee initiale

u(0, x) =



u−^{, x < 0 ,}

u+^{, x > 0 .}

On fait l’hypoth`ese que la structure oscillante du choc peut ˆetre repr´esent´ee par une onde modul´ee dont les param`etres seraient une solution particuli`ere des ´equations de Whitham. Les deux extr´emit´es de la zone d´efinissant le choc dispersif sont constitu´ees par une onde harmonique d’un cˆot´e et par un soliton de l’autre. L’int´erieur de cette zone est repr´esent´e par un ´eventail complet d’ondes dont les param`etres varient entre ces deux limites, pour lesquelles m = 0 et m = 1 respectivement. L’onde `a l’ext´erieur de la zone oscillante est

r´egie par l’´equation de Burgers-Hopf, qui est la r´eduction de l’´equation de KdV au cas sans dispersion.

Dans la limite harmonique, le module m s’annule, ce qui se traduit par r2 ^{= r}1^{, et on} observe la fusion de deux des vitesses caract´eristiques

m = 0 , V2^(r1^{, r}2^{, r}3^{) = V}1^(r1^{, r}2^{, r}3^{) .} Au contraire, dans la limite soliton on observe r2 ^{= r}3 ^et

m = 1 , V2^(r1^{, r}2^{, r}3^{) = V}3^(r1^{, r}2^{, r}3^{) ,}

Le probl`eme que se sont pos´e Gurevich & Pitaevskii est de d´eterminer une solution des ´equations modul´ees r<sub>i</sub>(t, x), i = 1, 2, 3 dont l’onde associ´ee v(t, x) donn´ee par (30) re-pr´esente la zone oscillante du choc dispersif. Ce probl`eme consiste donc `a d´eterminer une solution auto-similaire des ´equations de Whitham dont les conditions aux bords soient compatibles avec les ´etats macroscopiques de l’onde d´efinie `a l’ext´erieur de la zone oscil-lante par u±.

Dans le cas de l’´equation de KdV, la stricte hyperbolicit´e (les vitesses V_i sont r´eelles et distinctes) et la vraie non-lin´earit´e caract´eris´ee par

∂V_i

∂ri = 0 , i = 1, 2, 3 ,

sont deux propri´et´es importantes du syst`eme de Whitham v´erifi´ees pour 0 < m < 1 [82] qui assurent que l’´evolution de discontinuit´e initiale peut ˆetre repr´esent´ee par une modulation auto-similaire de la solution (30) qui est une onde de d´etente du syst`eme de Whitham v´erifiant

r1 ^{= u}+^{, r}3 ^{= u}−^{, V}2^(u+^{, r}2^{, u}−^{) = x}_t ^.

L’onde de d´etente est d´efinie pour tous les temps t > 0 et on peut d´efinir les vitesses des extr´emit´es du choc dispersif s−^{en aval (cˆot´e faible amplitude ici) et s}+^{en amont (cˆot´e} soliton ici). Ces deux vitesses sont obtenues en consid´erant donc m = 0 ou m = 1 dans l’expression de V2

s−^{= V}2^(u+^{, u}+^{, u}−^{) = 6(u}+− Δ) , s+^{= V}2^(u+^{, u}−^{, u}−^{) = 6(u}+⁺²₃^{Δ) ,} o`u Δ = u− − u<sub>+</sub> est le saut `a travers le choc dispersif. On peut ´egalement calculer l’amplitude du soliton qui forme l’amont du choc a+^{= 2Δ.}

Il existe une condition d’admissibilit´e pour un choc dispersif. Dans le cadre actuel d’une ´equation scalaire avec non-lin´earit´e convexe p(v) = 3v2_{, cette condition s’´ecrit}

s−^{< p(u}−^{) , p(u}+^{) < s}+^{, s}−^{< s}+^.

Ces conditions sont l’analogue des conditions d’entropie d´efinies dans le cadre des chocs de Lax, mais dans le cadre dispersif.

La description des chocs dispersifs de l’´equation de KdV exige l’existence d’une onde simple, une d´etente, qui lie les ´etats extrˆemes d´ecrits par le syst`eme de Whitham. Cela signifie que l’hyperbolicit´e et la vraie non-lin´earit´e sont des propri´et´es indispensables `a la description des chocs dispersifs simples par les ´equations modul´ees. Des travaux r´ecents de El, Hoefer & Shearer [53] s’int´eressent au cas de l’´equation de KdV modifi´ee (mKdV) pour laquelle la non-lin´earit´e non convexe p(v) = 4v3 _{entraˆıne une perte d’hyperbolicit´e} du syst`eme de Witham. Des r´esultats num´eriques concernant cette ´equation et les chocs dispersifs non-classiques qu’elle fait apparaˆıtre sont pr´esent´es au chapitre 3, section 4.2.

L’une des motivations de cette th`ese ´etait l’´etude des chocs dispersifs qui apparaissent ´eventuellement comme solution de syst`emes non-int´egrables. Pour ces ´equations, on ne dispose plus de solutions analytiques, ni d’´ecriture du syst`eme d’´equations modul´ees sous

forme diagonale `a partir d’invariants de Riemann. Dans ce cas, notre objectif ´etait d’ex-ploiter notre formulation du syst`eme de Whitham en variables (μ,λ, c) pr´esent´ee dans le

second chapitre de ce manuscrit et d’adapter le probl`eme de compatibilit´e de Gurevich & Pitaevskii.

Cependant, la description des chocs dispersifs simples par les modulations implique le calcul d’une onde de d´etente du syst`eme de Whitham liant les ondes de faible amplitude au soliton. Notre ´ecriture du syst`eme de Whitham en variable (μ,λ, c) n’est pas adapt´ee

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a ce probl`eme. En effet, on rappelle que la perte d’hyperbolicit´e stricte du syst`eme dans la limite soliton est `a l’origine d’une perte de pr´ecision num´erique dans les calculs impli-quant la matrice D (26) qui d´efinit le syst`eme de Whitham. Dans ces conditions, il est num´eriquement impossible de r´esoudre le probl`eme de Gurevich & Pitaevskii pour des cas non-int´egrables.

On d´ecrit n´eanmoins au chapitre 3, section 4.3.2 une m´ethode introduite par El [50] qui permet de calculer les vitesses d’expansion de la zone de Whitham s± ^{`a partir de la}

relation de dispersion des ondes dans le cas de l’´equation (gKdV)

ω(k, v) = k p(v)− k³.

La vitesse de groupe est alors d´efinie par

(31) v_g(k, v) = ∂_kω(k, v) = p(v)− 3k2_, tandis que la vitesse de phase vaut, pour k= 0

(32) vϕ(v, k) = ^w

k ^{= p(v)}− k2_.

La vitesse des ondes harmoniques est donn´ee par la vitesse de groupe calcul´ee en l’´etat u±

auquel ces ondes sont associ´ees. La vitesse de l’onde solitaire est d´efinie comme la vitesse de phase associ´ee `a l’´etat± correspondant mais elle ne peut pas ˆetre calcul´ee par la relation

(32) puisque celle-ci n’est pas valable quand k → 0. L’id´ee est d’introduire un nombre

d’onde conjugu´e ˜k associ´e aux ondes p´eriodiques admissibles par l’oppos´e du potentielW .

Plus pr´ecis´ement, le soliton dont les caract´eristiques sont associ´ees `a celles d’un maximum local deW est vu comme une onde de faible amplitude associ´ee `a un minimum local de −W . Cette proc´edure nous permet de d´efinir la vitesse du soliton comme ˜ω/˜k.

Des r´esultats num´eriques sont pr´esent´es dans les cas N = 1 et N = 2. Un int´erˆet est port´e au cas de l’´equation (gKdV) γ = 4 pour laquelle notre ´etude de stabilit´e a r´ev´el´e l’instabilit´e spectrale des ondes de grande p´eriode. On peut alors observer les ´etapes de formation d’un choc dispersif suivi de la destruction de la structure avant la v´eritable apparition des ondes de grandes p´eriodes. Dans le cas des syst`emes N = 2, les simulations montrent la pr´esence de r´egularisations dispersives par deux ondes, un choc dispersif et une rar´efaction, chacune port´ee par l’une des deux caract´eristiques.

Les r´esultats num´eriques pr´esent´es concernent uniquement des ´equations semi-lin´eaires. Les enjeux de l’extension `a des cas quasi-lin´eaires sont pr´esent´es `a la fin du troisi`eme cha-pitre de ce manuscrit.

Chapitre 1

Probl`eme de Cauchy pour l’´equation de Korteweg-de Vries