1. Probl`eme de Cauchy pour l’´equation de qKdV autour d’un profil p´eriodique r´egulier
La premi`ere partie de ce manuscrit concernait l’´etude du probl`eme de Cauchy associ´e `a l’´equation de Korteweg-de Vries quasi-lin´eaire et d´efinie sur la droite r´eelle x∈ R. Celle-ci
a abouti `a un th´eor`eme d’existence, d’unicit´e et de continuit´e par rapport `a la donn´ee initiale d’une solution de cette g´en´eralisation de l’´equation de KdV pour n’importe quel type de non-lin´earit´e. Puisque la preuve ne tire parti que de la structure de l’´equation qKdV et n’utilise aucune estimation de dispersion, une preuve totalement similaire fournit alors le mˆeme r´esultat d’existence sur le toreR/ΞZ .
De plus, mˆeme si notre th´eor`eme est v´erifi´e pour des indices entiers k ≥ 4, on pourra
´etendre celui-ci `a des indices non-entiers en relˆachant la contrainte en k > 3 + 1/2. Mˆeme si le travail effectu´e sur ce probl`eme de Cauchy a abouti, il ne repr´esente fina-lement qu’une premi`ere ´etape vers l’´etablissement d’un th´eor`eme adapt´e au probl`eme de stabilit´e qui nous motive. Plus pr´ecis´ement, notre objectif initial ´etait d’´etablir un r´esultat d’existence autour d’une solution de l’´equation qKdV born´ee et r´eguli`ere. Il est apparu que la technique de jauge d´eploy´ee n’est pas suffisante pour ce type de probl´ematique. Les fonctions d´efinissant les jauges sont plus difficiles `a obtenir puisqu’elles ne d´ependent plus que de la solution mais aussi du profil de r´ef´erence. Ces difficult´es sont encore accrues lorsque la solution et le profil de r´ef´erence ont des propri´et´es de localisation diff´erentes.
Une perspective `a ce sujet serait d’´etudier le probl`eme de Cauchy autour d’un profil p´eriodique. La propri´et´e de p´eriodicit´e, utilis´ee telle que dans [109] qui ´etablit des estima-tions pour les ´equations de Saint-Venant `a coefficients p´eriodiques, devrait rendre possible le calcul de jauges adapt´ees et faciliter les estimations qu’elles soul`event.
2. Analyse du comportement asymptotique du syst`eme modul´e dans les r´egimes limites
La seconde partie des travaux de cette th`ese concernait l’exploration num´erique des diff´erents crit`eres de stabilit´e. Ces travaux se basent sur le rˆole majeur jou´e par l’int´egrale d’action dans les diff´erentes caract´erisations de stabilit´e. L’accent a donc ´et´e mis sur cette quantit´e, tant d’un point de vue num´erique que th´eorique afin d’obtenir l’information de stabilit´e.
Ma principale motivation a ´et´e de d´evelopper une m´ethode num´erique performante et robuste pour une grande vari´et´e de non-lin´earit´es. L’objectif ´etait de pouvoir explorer les propri´et´es de toute une famille d’ondes p´eriodiques pour une classe de syst`emes d’une ou deux ´equations. Par ailleurs, l’ensemble des codes num´eriques con¸cus pendant cette th`ese sera bientˆot disponible sur le site du projet ANR BoND.
D’un point de vue technique, la r´ep´etition en grand nombre des op´erations pr´esent´ees dans la discussion du chapitre 4, section 6.2 a demand´e de grandes pr´ecautions dans
l’impl´ementation, notamment au niveau des op´erations de base comme les quadratures num´eriques.
Les premiers r´esultats num´eriques ont r´ev´el´e de nombreuses propri´et´es de la matrice du syst`eme de Whitham que l’on a not´e D (26) ci-dessus. On pense notamment `a la perte d’hyperbolicit´e stricte du syst`eme de Whitham dans les deux r´egimes extrˆemes et au com-portement asymptotique de la matrice HessΘ associ´e. Les r´esultats obtenus avec notre m´ethode bas´ee sur le calcul de cette matrice hessienne de l’action ont permis d’obtenir de nombreuses informations de stabilit´e, comme peut l’illustrer la table 2.4, et il reste encore de nombreuses ´equations ou non-lin´earit´es `a explorer. Notre m´ethode s’est av´er´ee inad´equate pour l’´etude de la limite soliton pour diff´erentes ´equations, voir la discussion au chapitre 4, section 6.2. N´eanmoins, on fait une analyse asymptotique dans [18] qui permet d’atteindre les comportements difficiles `a observer num´eriquement.
Les coordonn´ees (k, α, M) que nous introduisons sont particuli`erement bien adapt´ees `
a l’exploration du probl`eme de Girevich & Pitaevskii. Le nombre d’onde tend vers 0 dans la limite soliton et poss`ede une limite finie dans la limite faible amplitude. L’inverse se produit pour la quantit´e α qui tend vers 0 dans la limite harmonique o`u l’amplitude de l’onde tend vers 0 et poss`ede une limite finie dans le r´egime soliton. La moyenne M a une limite finie dans les deux cas. La formulation et l’´etude du syst`eme de Whitham dans ces coordonn´ees fait l’objet d’un article en cours de finalisation [18] o`u l’on obtient en outre le comportement asymptotique de la matriceHessΘ dans les deux r´egimes limites, ce qui permet de justifier compl`etement la formulation du syst`eme modul´e dans ce nouveau jeu
de coordonn´ees ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ∂Tk − ∂X(∂αH) = 0 , ∂Tα − ∂X(∂kH) = 0 , ∂TM − ∂X(B∇MH) = 0 ,
o`u le hamiltonien moyenn´e H est d´efini comme la moyenne spatiale du hamiltonienH
H[U] =H [U] = 1
Ξ Ξ
0 H [U]dx ,
et li´e `a l’int´egrale d’action Θ par la relation
Θ = ΞH + c ∂cΘ +λ · ∇λΘ + μ ∂μΘ .
Si la stricte convexit´e du hamiltonien moyenn´e H(k, α, M) est une condition suffisante d’hyperbolicit´e du syst`eme de Whitham, cette propri´et´e ne peut pas ˆetre vraie dans les r´egimes limites. En effet, on a les relations sur les d´eriv´ees suivantes
∂αH =−k c , ∂kH = Θ− α c ,
qui d´emontrent que ∂αH → 0 dans la limite soliton k → 0 et ∂kH → 0 dans la limite
harmonique α→ 0 (pour laquelle Θ → 0 ´egalement).
Ces propri´et´es du syst`eme de Whitham sont peu connues pour des non-lin´earit´es plus g´en´erales et la description des ´equations modul´ees en coordonn´ees (k, α, M) devrait nous permettre de faire des avanc´ees sur l’analyse du probl`eme de Gurevich-Pitaevskii.
3. Construction de chocs dispersifs pour des syst`emes non int´egrables. La description des chocs dispersifs d’´equations non-int´egrables motive fortement l’em-ploi des coordonn´ees (k, α, M) pour l’´ecriture des ´equations modul´ees. La compr´ehension de la structure de ces chocs ´etait l’objectif des travaux pr´esent´es dans la troisi`eme et der-ni`ere partie de ce manuscrit. Nos premiers r´esultats concernent l’´equation de KdV et plus
particuli`erement la comparaison entre la simulation directe et les solutions analytiques du probl`eme de Gurevich-Pitaevskii. La r´esolution de ce probl`eme consiste `a d´eterminer une solution auto-similaire des ´equations de Whitham dont les ondes modul´ees associ´ees repr´esentent la zone oscillante du choc dispersif et dont les param`etres macroscopiques (amplitude, p´eriode) sont compatibles avec la solution du probl`eme sans dispersion qui r´egit l’ext´erieur du choc.
C’est une g´en´eralisation de ce probl`eme dans les cas non-int´egrables qui nous int´eresse. La repr´esentation des modulations de la zone oscillante du choc par une d´etente des ´ equa-tions modul´ees exige que celles-ci soient hyperboliques et vraiment non-lin´eaires. L’´etude de ces propri´et´es dans les cas non-int´egrables est pr´ecis´ement l’objet de la formulation du syst`eme de Whitham en coordonn´ees (k, α, M) d´ecrite ci-dessus.
Concernant les ´equations non-int´egrables, El, Hoefer & Shearer [50, 53] ont introduit une m´ethode d’analyse des vitesses d’expansion de la zone oscillante. Cette technique bas´ee sur l’emploi d’un nombre d’onde conjugu´e ˜k est pr´esent´ee dans le dernier chapitre de ce manuscrit. Les deux coordonn´ees α et ˜k remplissent le mˆeme type de rˆole. Elles poss`edent une limite finie dans la limite soliton et tendent vers 0 dans la limite harmonique. Leur introduction suit le mˆeme objectif qui est de sym´etriser l’´etude des deux limites afin de simplifier l’approche du soliton. En perspective, la coordonn´ee α pourra certainement repr´esenter une alternative au nombre d’onde conjugu´e dans l’analyse de la limite soliton.
Annexe A