Effets non lin´ eaires

Pour tenir compte des interactions entre excitons, nous introduisons un hamiltonien qui fait intervenir l’ensemble des modes d’excitons rep´er´es par leur vecteur d’onde K dans le plan des couches. Nous ne consid´ererons pas ici d’´elargissement inhomog`ene et nous ne traiterons pas l’interaction avec les phonons. Le hamiltonien s’´ecrit [7][9][34] :

H =

Les trois termes de la premi`ere ligne sont les mˆemes que dans l’expression (1.42), o`u nous avons pos´e E_k = ω_k et E_K = ω_K. Le terme de la se-conde ligne repr´esente la saturation de l’interaction photon-exciton, due `a la nature fermionique des ´electrons et des trous composant les excitons. Le terme de la troisi`eme ligne d´ecrit la diffusion exciton-exciton, due `a l’inter-action Coulombienne.

Le potentielV_Q^{ef f}

est la somme d’un terme direct et d’un terme d’´echange dus `a la statistique de Fermi des ´electrons et des trous. On peut montrer que le terme d’´echange est pr´edominant, avecV_Q^{ef f}

≈V₀^exch=V₀ [33].

Exp´erimentalement, des effets non lin´eaires importants s’observent essen-tiellement sur la branche basse de polariton, que nous excitons s´electivement.

De ce fait nous n´egligerons les contributions li´ees `a la branche haute et nous ne consid´ererons que les ´etats du polariton de branche basse. Comme indiqu´e

par l’´equation (1.46), l’op´erateur d’annihilation pour le polariton de branche basse s’´ecrit :

ˆ

p_k =X_kˆb_k−C_kˆa_k (3.75) o`u l’indice (−) est sous-entendu. Le hamiltonien r´eduit au polariton de branche basse s’´ecrit maintenant :

H =

o`uE<sub>(−)</sub>(k) est l’´energie du polariton inf´erieur donn´ee par l’expression (1.43) et o`u le couplage entre des polaritons de vecteurs d’onde diff´erents est donn´e par les deux derniers termes de l’expression (3.76).

Comme pr´ec´edemment, le polariton est coupl´e `a un champ ext´erieur `a incidence normale. Nous cherchons l’´evolution du mode de polariton de k= 0. Si nous n´egligeons l’interaction avec les modes de k = 0, non peupl´es directement par l’interaction avec le laser, l’´equation d’´evolution s’´ecrit :

dpˆ₀ et o`u nous sommes pass´es dans le r´ef´erentiel tournant `a la fr´equenceω_L, avec δ₀ =ω₀−ω_L. Le champ entrant ˆpⁱⁿ₀ (t) est une combinaison lin´eaire de ˆaⁱⁿ₀ (t) et de ˆbⁱⁿ₀ (t) donn´ee par l’´equation (3.75) etγ correspond `a la valeurγ<sub>−</sub> donn´e par la partie imaginaire de l’´equation (1.50). Nous traitons ici la relaxation de mani`ere ph´enom´enologique, comme dans l’´equation (1.60) du §1.5.2.

Nous nous int´eressons au bruit susceptible d’apparaˆıtre dans l’´emission du polariton de k =0 observ´e par d´etection homodyne. Nous devons donc calculer les fluctuations temporellesδpˆ₀ de l’op´erateur ˆp₀ autour de sa valeur moyenne :

ˆ

p₀(t) =p₀+δpˆ₀(t) (3.79) o`up<sub>0</sub> est l’amplitude du polariton correspondant `a la solution de l’´equation (3.77) et de l’´equation complexe conjugu´ee pour les valeurs classiques. Nous

supposons que les fluctuations sont faibles devant la valeur moyenne p₀ et nous lin´earisons l’´equation (3.77) autour de cette valeur moyenne. En prenant la transform´ee de Fourier des ´equations lin´earis´ees, on obtient :

−iΩδpˆ₀[Ω] = −(γ+iδ₀)δpˆ₀[Ω]−2i α|p₀|²δpˆ₀[Ω] (3.80)

−iα p²₀δpˆ^†₀[Ω] + 2γ δpˆⁱⁿ₀[Ω]

Cette ´equation est tout `a fait similaire `a celle que l’on obtient pour un champ ´electromagn´etique interagissant avec un milieu mat´eriel non lin´eaire par m´elange `a 4 ondes dans une cavit´e [36]. Elle est ´egalement analogue `a celle que l’on obtient dans le cas d’un oscillateur param´etrique d´eg´en´er´e au-dessous du seuil. On a ici un m´elange param´etrique `a 4 ondes de polaritons.

Les ´equations donnantδpˆ₀[Ω] et δˆp^†₀[Ω] se r´e´ecrivent sous la forme :

(γ+iδ˜₀−iΩ)δpˆ₀[Ω] =−iα p²₀δpˆ^†₀[Ω] + 2γ δpˆⁱⁿ₀ [Ω] (3.81) (γ−iδ˜₀−iΩ)δpˆ^†₀[Ω] = iα p²₀δˆp₀[Ω] + 2γ δpˆⁱⁿ₀^†[Ω] (3.82) o`u nous avons pos´e :

δ˜₀ =δ₀+ 2α|p₀|² (3.83) Cette relation fait apparaˆıtre un d´eplacement de la fr´equence de r´esonance de 2α|p₀|² dˆu `a l’interaction entre les polaritons.

Consid´erons les composantes en quadrature ˆp_x et ˆp_y: ˆ

p_x[Ω] =δpˆ₀[Ω] +iδpˆ^†₀[Ω] (3.84) ˆ

p_y[Ω] =δpˆ₀[Ω]−iδpˆ^†₀[Ω] (3.85) avec des relations analogues pour ˆpⁱⁿ_x [Ω] et ˆpⁱⁿ_y [Ω].

A d´` esaccord nul, c’est `a dire pour ˜δ₀ = 0, on a : ˆ

p_x[Ω] =

√2γpˆⁱⁿ_x[Ω]

γ+α p²₀−iΩ (3.86)

ˆ py[Ω] =

√2γpˆⁱⁿ_y [Ω]

γ−α p²₀−iΩ (3.87)

Si l’on choisit la phase telle quep₀ soit r´eel, on voit que la composante ˆp_y[Ω]

est amplifi´ee, avec pour Ω = 0 un seuil d’oscillation donn´e par : p²_0th = γ

α (3.88)

On peut montrer que la composante ˆp_x[Ω] donne lieu, `a la sortie de la cavit´e,

`

a un champ d´e-amplifi´e et ´eventuellement `a une r´eduction des fluctuations sous la limite quantique standard, si les fluctuations entrantes sont assez faibles [29].

Les fluctuations d’amplitude qui correspondent `a :

δEˆ₁[Ω] =δpˆ₀[Ω] +δpˆ^†₀[Ω] (3.89) pr´esentent le mˆeme seuil. Pour ˜δ₀ = 0, la relation (3.88) devient :

α p²_0th2

=γ²+ ˜δ₀² (3.90)

Le traitement au-dessus du seuil n´ecessiterait une ´etude plus d´etaill´ee. En effet, on v´erifie facilement que les modes dek=0que nous avons consid´er´es ne peuvent pas osciller pour Ω = 0, mˆeme pour ˜δ = 0. Les conditions d’os-cillation, qui sont analogues `a celles d’un oscillateur param´etrique optique, doivent pouvoir ˆetre v´erifi´ees si l’on consid`ere des polaritons dekl´eg`erement diff´erent de0. Cette ´etude sort du cadre de ce m´emoire. Nous nous limiterons

`

a l’´etude des ph´enom`enes au-dessous du seuil et au seuil.

L’expression (3.88) indique que le seuil d´epend tr`es fortement des compo-santes exciton et cavit´e du polariton. On peut ´evaluer comment le seuil d´ e-pend des composantes du polariton, c’est `a dire du d´esaccord cavit´e-exciton,

`

a l’aide des consid´erations suivantes. Si l’on ne tient compte, dans le coeffi-cient d’interaction non lin´eaire α d´efini par (3.78), que du terme dominant enV₀, on peut ´ecrire :

α≈V₀X₀⁴ (3.91)

De plus, `a d´esaccord cavit´e-exciton nul, p<sub>0</sub> croˆıt comme p<sup>in</sup><sub>0</sub> avec |p<sup>in</sup><sub>0</sub> |<sup>2</sup> = C<sub>0</sub><sup>2</sup>|a<sup>in</sup><sub>0</sub> |<sup>2</sup> puisque b<sup>in</sup><sub>0</sub> = 0. D’o`u, pour une intensit´e de laser excitateur |aⁱⁿ₀ |² constante :

α p²₀ ∝X₀⁴C₀² =X₀⁴(1−X₀²) (3.92) Cette quantit´e est maximale pour 4X₀³−6X₀⁵ = 0, c’est `a dire pourX<sub>0</sub><sup>2</sup> = 2/3 soit (δ+ ∆)/2∆ = 2/3 d’apr`es (1.48). On obtient finalement un seuil mini-mum pour δ =g√

2/2, d´esaccord pour lequel le polariton a une importante composante excitonique.

Par ailleurs, l’expression (3.87) pr´evoit, au voisinage du seuil, une d´ e-pendance importante des fluctuations par rapport `a la fr´equence de bruit.

En effet, le bruit, qui est blanc sur la plage de fr´equences observ´ee pour de faibles intensit´es d’excitation, pr´esente une forte d´ependance en fr´equence au voisinage du seuil.

Enfin, les expressions (3.86) et (3.87) montrent que l’une des composantes de quadrature est amplifi´ee alors que l’autre varie peu. On pr´evoit donc une forte d´ependance en phase du bruit, comportement caract´eristique de tout amplificateur param´etrique d´eg´en´er´e. Une mesure du bruit au moyen d’un dispositif de d´etection homodyne avec oscillateur local doit permettre d’observer cette d´ependance.