4.2.1 G´en´erateurs d’´ev´enements.
L’´energie mise en jeu lors des interactions des primaires dans l’atmosph`ere permet d’atteindre plusieurs centaines de TeV dans le centre de masse, soit une ´energie pr`es de deux ordres de grandeur au-del`a des valeurs accessibles dans les acc´el´erateurs, conduisant `
a des mod´elisations des interactions fortes en terre inconnue. La production d’´etats fi- nals `a plusieurs particules de faible moment transverse est une caract´eristique dominante des collisions hadroniques `a haute ´energie. Les mod`eles qui g´en`erent ces interactions uti- lisent des approches ph´enom´enologiques et des extrapolations des donn´ees disponibles de la physique `a petit x en adoptant deux grandes strat´egies. L’une d’elle (QGSJet) consid`ere que les interactions doivent ˆetre d´ecrites par l’´echange de modes collectifs (essentiellement des pomerons `a haute ´energie) plutˆot que par un seul messager. Les diffusions ´elastiques et la section efficace totale peuvent ˆetre calcul´ees sur la base de l’´echange de pomerons, tandis que les diffusions in´elastiques introduisent des pomerons coup´es, mod´elis´es par des cordes. L’autre grande strat´egie, moins th´eorique, mise `a profit dans SIBYLL, consiste `a ´
evaluer la probabilit´e d’obtenir N jets en consid´erant que le nombre d’interactions fortes augmente avec √s. La distribution de l’´energie des jets est ajust´ee aux donn´ees dans la gamme des ´energies disponibles, et est ensuite simplement extrapol´ee sans aucun ajuste- ment suppl´ementaire. Cette derni`ere approche conduit en g´en´eral `a un plus grand nombre de jets, ce qui se traduit dans le d´eveloppement atmosph´erique par un plus grand nombre de muons.
Le nombre de muons d´epend aussi du primaire, selon qu’il s’agit d’un proton ou d’un noyau lourd. Les cartes de muons au sol peuvent donc renseigner non seulement sur le mod`ele, mais aussi sur le primaire. Dans ce qui suit, il convient donc de simuler des gerbes avec deux sortes de primaires (proton/noyau de fer) et les deux mod`eles.
4.2.2 Simulation des gerbes.
La projection du front de gerbe sur le sol se r´ev`ele ˆetre une tˆache beaucoup plus compliqu´ee que celle produite par des gerbes verticales. En particulier, la sym´etrie cylin- drique autour du cœur de la gerbe dans le plan transverse qui permet une d´eduction de l’´energie du primaire est ici compl`etement perdue du fait des d´eviations g´eomagn´etiques qui d´ependent de θ et φ. Il convient donc d’adopter une nouvelle param´etrisation de la densit´e de particules au sol, sous chaque incidence z´enithale et azimutale en fonction de l’´energie. Les interactions dans la haute atmosph`ere qui permettent le d´eveloppement de la cascade hadronique sont simul´ees en utilisant le logiciel AIRES, et en prenant les deux mod`eles d’interactions hadroniques (QGSJet et SIBYLL). Si les mod`eles peuvent diff´erer dans leur pr´ediction de la densit´e de muons au sol, ils sont en revanche insensibles au champ g´eomagn´etique car les interactions qu’ils simulent se produisent sur des courtes distances.
Effets g´eomagn´etiques. 89 Profitant de cette propri´et´e, et afin de gagner consid´erablement en temps de calcul, l’op- tion de ne g´en´erer que la cascade hadronique pour une seule valeur de l’angle azimutal
φ pour chaque primaire (proton ou noyau de fer) et pour des ensembles r´eguli`erement ´echantillonn´es de l’angle z´enithal θ et de l’´energie E a ´et´e choisie. A la fin de chaque cascade hadronique, la position, le poids statistique, l’´energie et la direction de chaque muon sont enregistr´es pour servir de fichier source lors de l’´etape suivante, tandis que les photons et ´electrons/positrons de moins de 100 et 200 MeV respectivement sont ´ecart´es car ils n’ont plus aucune chance de produire au cours de leurs propagations des particules assez ´energ´etiques capables d’atteindre le sol.
Ensuite, il faut traiter proprement la propagation des muons dans un mod`ele r´ealiste de l’atmosph`ere local au site Sud de l’observatoire Auger. Cette param´etrisation de l’at- mosph`ere est extraite du mod`ele de Linsley pr´esent dans AIRES [58]. Afin de lisser les densit´es de muons au sol, on peut profiter de la sym´etrie cylindrique autour de la gerbe
au d´ebut de son d´eveloppement pour r´einjecter un nombre de muons proportionnel `a leur poids statistique simplement en affectant `a chacune de ces particules suppl´ementaires un angle al´eatoire autour de l’axe de la gerbe. Tous les muons sont alors propag´es de leur point de production jusqu’au sol par une m´ethode pas `a pas. Lors de chaque pas, un muon de charge +e subit une d´eviation δ qu’il est facile d’exprimer en fonction du rayon de Larmor RL pourvu que le pas ∆s effectu´e soit suffisamment petit par rapport `a RL :
δ RL 1− 1− ∆s RL 2 ∆s2 2RL
Chaque probabilit´e de d´esint´egration est test´ee lors de chaque pas, et la propagation est stopp´ee selon le r´esultat de ce test. Les diffusions multiples sont prises en compte en mˆeme temps que les pertes d’´energie du lepton dans l’atmosph`ere. Seul un terme d´eterministe est inclus, c’est-`a-dire que seules les pertes d’´energie continues sont consid´er´ees selon une loi dE/dx telle que :
dE
dx = 2.3 + 0.3 log10p MeV/(g/cm)
2
o`u p est le moment du muon exprim´e en GeV.
La densit´e de particules en fonction de la distance r `a l’axe et de l’angle ψ par rapport `a la direction de propagation dans le plan transverse permet de connaˆıtre le signal th´eorique que laisse une gerbe au sol. Pour ce faire, ce plan est d´ecoup´e circulairement en 60 inter- valles en ψ (de 0 `a 360◦) et 40 intervalles en r. Ces derniers sont espac´es uniform´ement en suivant une loi en√r entre 0 et rmax= 5 km. Ceci permet de sonder plus pr´ecis´ement
le voisinage du cœur. En plus du signal attendu, la distribution angulaire des muons ainsi que l’´energie d´epos´ee sont tabul´ees. Cette op´eration est r´ep´et´ee pour des angles azimutaux
φ de la gerbe entre 0 et 180◦ tous les 6◦. Les autres valeurs de φ (entre 180 et 360◦) sont obtenues par sym´etrie. Un exemple de tabulations est montr´e sur la figure 4.3 pour des
90 Protons et Noyaux Sous Incidence Rasante.
valeurs des param`etres E = 100 EeV, θ = 80◦ et φ = 90◦. On remarque en bas `a droite que la divergence angulaire des muons s’´ecarte de l’angle z´enithal de la gerbe `a grand r.
Les tabulations montrent que la d´ependance en√r du nombre de muons Nµest quasi-
lin´eaire sur une ´echelle logarithmique. Les ondulations autour de ce comportement lin´eaire peuvent ˆetre param´etris´ees par un d´eveloppement polynomial. En pratique, stopper ce d´eveloppement `a l’ordre 4 est largement suffisant. La d´ependance en ψ est p´eriodique, elle peut donc ˆetre d´ecrite en termes de modes de Fourier discrets. Ainsi, en introduisant la variable r´eduite ρ = 2 r/rmax − 1 variant entre -1 et 1 pour faciliter une projection
sur des polynˆomes de Legendre, on peut formaliser ces observations en effectuant un d´eveloppement en s´erie de Fourier du logarithme de Nµ
ln Nµ(r, ψ) = j=6 j=0 Aj(ρ) cos (jψ) + j=6 j=1 Bj(ρ) sin (jψ) = k=4 k=0 ρk j=6 j=0 akjcos (jψ) + j=6 j=1 bkjsin (jψ)
La figure 4.4 montre le r´esultat de la param´etrisation en ψ dans le mˆeme cas que pr´ec´edemment. La d´eviation par rapport `a la sym´etrie circulaire engendr´ee par les lobes correspondant aux muons ± est donn´ee par les coefficients j = 2. On voit aussi une asym´etrie avant/arri`ere (j = 1 et j = 3).
L’´evolution des coefficients A2et B2avec φ est montr´ee sur la figure 4.5. Cette ´evolution visiblement continue permet d’envisager un d´eveloppement en s´erie de Fourier des coeffi- cients akj et bkj. Les consid´erations de parit´e am`enent `a ´ecrire :
akj(φ) = l=6 l=0 αlkjcos (lφ) bkj(φ) = l=6 l=1 βlkjsin (lφ)
La figure 4.6 montre la d´ependance en φ de quelques coefficients akj et bkj.