6.2 Mod´ elisation de l’´ evaporation d’un film liquide d´ epos´ e par un fluide en
7.1.4 Dynamique du film liquide
Afin de consid´erer la dynamique du film liquide se d´eposant et s’´evaporant, il est n´ecessaire de connaˆıtre sa structure globale et ses conditions d’existence. Dans cette op-tique, trois param`etres doivent ˆetre consid´er´ees : l’´epaisseur initale, l’´epaisseur minimale et la prise en compte de son ´evolution avec l’´evaporation.
7.1.4.1 Epaisseur initiale
Cette ´epaisseur initiale δ0, `a l’instant o`u le film liquide se d´epose apr`es le passage de front liquide/vapeur, correspond `a l’´epaisseur que le film aurait en conditions adiaba-tiques4. Pour l’´evaluer en utilisant l’approche d´ecrite pr´ec´edemment, le calcul pr´ealable du nombre capillaire Ca ´equation (6.24), `a l’aide des donn´ees du tableau 7.1, indique :
Ca = 0, 0014
Dans ce cas, l’emploi de la formule de Taylor (´equation (6.25)) permet d’obtenir : δ0 = 12, 3 µm
Cette valeur initiale de film liquide est suppos´ee constante dans le temps, dans la mesure o`u la vitesse de d´eplacement du liquide est impos´ee et constante, pour un rayon de tube donn´e (ici Ri = 1 mm). A partir de cette valeur initiale δ0, l’´epaisseur du film, soumis `a l’´evaporation, va d´ecroˆıtre jusqu’`a ass`echement total et/ou apparition d’un film adsorbant `a travers lequel les ´echanges thermiques n’ont plus lieu. Ce cas de figure est consid´er´e ici arbitrairement `a partir d’une valeur limite δmin d’´epaisseur de film.
7.1.4.2 Epaisseur minimale
Lors du processus d’´evaporation du film liquide, dans l’hypoth`ese o`u ce film n’est pas r´ealiment´e en liquide apr`es le passage du front, son ´epaisseur tend progressivement vers z´ero. Dans la prise en compte des transferts thermiques `a travers ce film, notamment dans le calcul du coefficient d’´echange par conduction transversale (´equation (7.8)), l’extr´emit´e du film sera donc le si`ege d’une singularit´e dans laquelle ce coefficient tendra vers l’infini. Il est indispensable de fixer au pr´ealable une valeur δmin, correspondant `a la valeur limite d’´epaisseur de film, en-de¸c`a de laquelle on se place en conditions d’ass`echement total du tube capillaire, les ´echanges se faisant alors uniquement par convection avec le fluide sous
4. On rappelle la remarque effectu´ee dans le paragraphe 6.2.2, s’appuyant sur les travaux de Han et al. [70], et justifiant l’emploi des corr´elations en conditions adiabatiques pour estimer une ´epaisseur de film initiale δ0.
forme vapeur (hv ≈ 1 W m−2K−1).
Dans le cas d’une situation de film adsorb´e, il existe entre la surface solide et l’inter-face liquide-vapeur des forces d’adh´esion intermol´eculaires qui gouvernent les ´equations de pression au sein du film, dans lequel il n’y a pas d’´echange thermique. En effet, lorsqu’un gaz est mis en contact avec une surface solide, une partie des mol´ecules se fixe sur la surface pour former une couche adsorb´ee. Le solide est g´en´eralement appel´e substrat ou adsorbant. Les mol´ecules adsorb´ees forment ce qu’on qualifie d’adsorbat. Les forces mises en jeu sont, la plupart du temps, de nature physique, et sont dues `a des interactions telles que celles de Van der Waals pour les fluides classiques ou liaisons hydrog`enes pour l’eau. La formation d’un film adsorb´e peut ˆetre compar´ee au ph´enom`ene de condensation d’une phase vapeur en liquide.
Parmi les th´eories permettant d’´evaluer la quantit´e de fluide adsorb´e, la plus couram-ment utilis´ee est la th´eorie B.E.T., des initiales de ses auteurs : Brunauer, Emmett et Teller en 1938 [79]. Il s’agit d’une th´eorie permettant l’analyse des isothermes d’adsorp-tion, courbes donnant la quantit´e de fluide adsorb´ee en fonction de la pression d’´equilibre `
a temp´erature constante. Ce type de m´ethode a permis notamment d’´evaluer l’´epaisseur moyenne d’une couche monomol´eculaire d’eau adsorb´ee `a environ 3 angstr¨om, soit 0,3 nm [80]. Il s’av`ere cependant que le nombre de couches d’adsorption peut varier, et que ce nombre d´epend ´egalement de l’humidit´e relative du milieu. Malgr´e l’absence de certaines informations de ce type, dans le cadre de cette ´etude, les ordres de grandeur d’´epaisseurs de film adsorb´es observ´es dans la litt´erature nous permettent de choisir une ´epaisseur minimale de l’ordre de δmin = 1 nm.
On notera en outre que, dans la gestion de cet ass`echement de film liquide, Thome et al. [64] ont ´egalement fix´e une valeur de δmin arbitraire, en supposant que ce dernier est du mˆeme ordre de grandeur que les irr´egularit´es de surface de la paroi interne, en pr´ecisant n´eanmoins qu’il est difficile d’´evaluer cet ordre de grandeur pr´ecis´ement. C’est pourquoi ils consid`erent l’´epaisseur minimale de film liquide δmin comme ´etant un pa-ram`etre ajustable, en se basant sur une comparaison entre les r´esultats du mod`ele et les donn´ees exp´erimentales. Dans le cas pr´esent, la valeur δmin = 1 nm fix´ee a priori pourrait ´egalement faire l’objet de r´eajustements ult´erieurs.
7.1.4.3 Evolution de l’´epaisseur
Connaissant les ´epaisseurs δ0et δmin, il s’agit `a pr´esent de d´eterminer une loi d’´evolution de l’´epaisseur du film liquide soumis `a ´evaporation, entre ces deux valeurs. Pour cela, nous nous pla¸cons sur une certaine portion ∆x du tube capillaire, comme l’illustre la figure 7.3. On appelle ˙Q le flux local transf´er´e par conduction `a travers le film liquide :
˙
Q = λl(2πRi∆x)
Si le flux volumique qv impos´e `a la paroi est fix´e `a une valeur constante, le flux effec-tivement transf´er´e par conduction `a travers le film, permettant l’´evaporation de celui-ci, d´epend lui de la temp´erature locale de la paroi Tp(x, t) ainsi que de l’´epaisseur δ(x, t) de film. De cette fa¸con, ∆T = Tp(x, t) − Tsat. Dans l’hypoth`ese o`u le flux ˙Q est enti`erement utilis´e pour ´evaporer une certaine masse ˙mv de film liquide, on a ´egalement :
˙
Q = ˙mvhlv = −ρlhlv2π(Ri− δ(x, t))∆xdδ(x, t)
dt (7.12) En supposant que Ri−δ(x, t) ≈ Ri, les ´equations (7.11) et (7.12) permettent finalement d’obtenir la relation donnant la loi d’´evolution d’´epaisseur de film liquide par ´evaporation :
dδ(x, t) dt = −
λl
δ(x, t)ρlhlv(Tp(x, t) − Tsat) (7.13) Cette relation est analogue `a l’´equation (6.31) employ´ee dans l’approche de Thome et al. [64], `a la diff´erence que l’on consid`ere ici un flux local d´ependant de la temp´erature pari´etale Tp(x, t) du nœud consid´er´e, et non plus une densit´e de flux pari´etal impos´ee. La variation de δ(x, t) est donc, d’une part, longitudinale et, d’autre part, temporelle, chaque valeur de δ(x, t) en un point donn´e ´etant d´etermin´ee en fonction de sa valeur au pas de temps pr´ec´edent, en utilisant un sch´ema d’Euler explicite d’ordre 1. L’ensemble des param`etres et outils consid´er´es jusqu’ici conduit `a des premi`eres tendances d’´evolutions temporelles et spatiales de temp´erature, d’´epaisseur de film et de coefficient d’´echange.