Dynamique du bateau

A l'instar d'Ekman, nous avons pu faire varier diérents paramètres, et vérier que le phénomène d'eaux mortes n'est pas toujours présent et dépend de conditions particulières.

Les paramètres importants sont notamment le saut relatif de densité ∆ρ = ^ρ_ρ^2−ρ1

2+ρ1, la hauteur de la couche d'eau douce h₁ par rapport à la hauteur de la couche d'eau salée h₂ mais aussi par rapport à la ligne de ottaison du bateau h_b (attention, changer cette valeur modie également la section immergée et donc la force de traînée).

Un jeu de valeurs pour lesquelles il est possible d'observer le phénomène (correspon-dant à la vidéo du site web [77]) est h₁ = 5 cm, h₂ = 12 cm, h_b ' 2 cm, ∆ρ = 0.0216 et dans le cas d'une force de traction F_t = 17.7 mN. Dans cette conguration, si l'on note x(t) la position du bateau en fonction du temps, la vitesse du bateau est v(t) = dx/dt. Ces deux grandeurs sont représentées sur la gure 7.9. On retrouve l'observation faite par Ekman que la vitesse oscille autour d'une valeur moyenne < v >'0.019 m s⁻¹ avec des uctuations très importantes |v_max−v_min| ∼ 0.015 m s⁻¹, de l'ordre de 80% de la valeur moyenne dans ce cas-ci. La force de traction F_t étant constante au cours du temps, l'évo-lution temporelle décrite précédemment suggère donc que la résistance due aux vagues, elle, ne l'est pas. Cela semble raisonnable puisque l'on peut observer des modications des ondes interfaciales dans le sillage du bateau, donc leur eet sur le bateau doit changer au cours du temps. Nous étudierons plus en détail les ondes dans la section suivante.

A titre d'exemple, la gure 7.10 présente l'évolution temporelle x(t) et v(t) pour les mêmes paramètres que précédemment mais avec F_t = 20.6 mN. Le bateau tend vers un régime stationnaire (vitesse limite v_` ' 0.052 m s⁻¹) et, bien qu'il ait ressenti leur inuence au démarrage notamment, il échappe aux ondes interfaciales qui se sont développées.

168 CHAPITRE 7. PHÉNOMÈNE D'EAUX MORTES

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

x(t)

v(t)

t (s) (b)

(a)

Figure 7.9 (a) Position du bateaux(t) (en m) et (b) sa vitesse ^dx_dt (en m s⁻¹) pour une expérience mettant en évidence le phénomène d'eaux mortes.

Diagramme Force-Vitesse : Pour une stratication et un bateau donné, on peut rassembler l'ensemble des résultats obtenus pour les diérentes valeurs de F_t testées.

Le but est de comparer nos résultats avec ceux obtenus par Ekman. Nous utiliserons préférentiellement la force de traînéeF_t plutôt que la résistance due aux ondes car il n'est pas toujours possible de dénir cette dernière notamment quand la vitesse limite v_{`</sub> n'est pas atteinte, l'accélération du bateau n'étant alors pas nulle. Dans les cas où v<sub>`} est bien dénie, les deux forces sont égales.

Nous présentons sur la gure 7.11 des résultats analogues à ceux présentés sur la gure 7.2 tout en prenant en compte les oscillations possibles de la vitesse. Lorsque le bateau n'atteint pas de vitesse limite (cf. gure 7.9), on représente la valeur de v_` par une plage de valeurs possibles (ligne horizontale), avec un symbole indiquant la valeur moyenne.

En comparant ces deux gures, un point commun est le fait que lorsque la couche h₁ d'eau douce diminue, la résistance due aux vagues augmente puisque la vitesse limite v_` diminue pour une même force de traction F_t donnée.

L'inuence du couplage entre le bateau et les ondes interfaciales peut être observée en modiant le rapport entre les hauteurs d'eau et de bateau. Deux séries d'expériences associées à une même stratication (∆ρ = 0.0145,h₁ = 0.10m et h₂ = 0.06m) mais pour

7.2. REVISITER LES TRAVAUX D'EKMAN 169

5 10 15 20 25

0 0.2 0.4 0.6 0.8

5 10 15 20 25

0 0.02 0.04 0.06

x(t)

v(t)

t (s) (b)

(a)

Figure 7.10 (a) Position du bateau x(t) (en m) et (b) sa vitesse ^dx_dt (en m s⁻¹) pour une expérience sans oscillation.

trois congurations de bateau correspondant à S_b = 12 (∗), S_b = 18 (C) et S_b = 24 cm² (◦) respectivement, sont représentées à la gure 7.12. On voit ainsi que plus le bateau est immergé dans la couche supérieure, plus il ressent une force de traînée due aux ondes.

Lorsque h_b tend vers h₁, le bateau génère moins d'ondes mais mélange les deux interfaces.

La condition h_b ' h₁/2 correspond à un couplage optimal entre le bateau et les ondes, dans le sens où la force de traînée est maximale sans nuire à l'intégrité des ondes via du mélange.

Nous avons également vérié l'inuence du saut de densité∆ρ, ainsi que de la hauteur de la couche salée h₂. Au nal, Il est possible de généraliser les résultats obtenus :

la force de traînée est toujours plus forte dans un uide à deux couches que dans le cas homogène,

il existe une plage de vitesse où la force de trainée n'est pas constante dans le temps, les uctuations de cette dernière peuvent atteindre des amplitudes conséquentes, la plage de vitesse oscillante est toujours inférieure à c^m_φ.

Au vue de ces résultats, il est important de décrire plus en détail les ondes interfaciales, ce que nous allons faire dans la section suivante.

170 CHAPITRE 7. PHÉNOMÈNE D'EAUX MORTES

v_` (m s⁻¹) F_t (mN)

Figure 7.11 Relation force-vitesse établie pour 3 hauteurs d'eau douce h₁, (∗)0.06 m, (◦)0.05 m et (C)0.04 m ; sur une eau salée de hauteur h₂ = 0.14 m avec ∆ρ = 0.0247. La courbe continue représente le cas homogène avec une hauteur d'eau de 0.15 m. Les lignes verticales pointillées représentent les valeurs de c^m_φ associées à celles de h₁, soit (· · ·)0.10 m s⁻¹, (−.)0.095 m s⁻¹ et (−−)0.087 m s⁻¹. Les lignes horizontales indiquent les plages d'oscillations de la vitesse quand elles existent.

v_` (m s⁻¹) F_t (mN)

Figure 7.12 Relation force-vitesse établie pour 3 congurations de bateau, (∗)−S_b = 12, (C) −S_b = 18, et (◦) − S_b = 24 cm² dans un uide avec une couche d'eau douce de hauteur h₁ = 0.06 m sur une eau salée de hauteur h₂ = 0.10 m avec ∆ρ = 0.0145. La courbe continue représente le cas homogène avec une hauteur d'eau de 0.15 m et une section 18 cm². La ligne verticale pointillée représente c^m_φ.

7.2. REVISITER LES TRAVAUX D'EKMAN 171

x (m) t (s)

η(x, t) (m)

Figure 7.13 Exemple de diagramme spatio-temporel (à gauche) de l'amplitude des ondes interfaciales, ainsi que l'image associée (à droite) à la ligne pointillée blanche à t = 37.5 s. Les lignes noires représentent la position de l'avant et l'arrière du bateau.