3.3 Analyser les champs d'ondes internes
3.3.2 Décomposition modale
L'outil présenté ici a été développé au cours de la thèse de Paula Echeverri [21] dans le cas particulier d'une stratication linéaire. Nous présentons la méthode que nous avons utilisée au cours de nos analyses (cf. chapitre 5). Nous l'avons étendue au cas plus général d'une stratication quelconque.
3.3.2.1 Principe
La décomposition modale a pour but d'extraire les coecients {γn = aneiφn,∀n ∈ N} associé à la description d'une onde interne en modes verticaux d'un champ d'ondes
48 CHAPITRE 3. TECHNIQUES ET OUTILS internes. L'expression de la fonction de courant peut s'écrire
ψ(x, z, t) =W0Re
où W0 est une vitesse caractéristique du problème étudié (cf. équation (2.36)). Si l'on souhaite exprimer la décomposition en terme de la composante verticale de vitesse par exemple, on obtient
où les fonctions fn(z) sont les solutions de l'équation (2.33) correspondantes aux modes propres d'ordre nassociés à la stratication N(z). La base des fonctions est orthonormée.
An d'extraire l'amplitude et la phase de chaque mode (deux informations dié-rentes), il est nécessaire d'exploiter deux projections du champ observé. La décomposition modale se réalise donc en deux étapes
Étape 0 : On calcule l'amplitude instantanée à chaque position x de la fenêtre d'ob-servation associé au mode-n
αn(x, t) =
Étape 1 : On étudie la phase du signal extrait αn en chaque position en réalisant l'intégrale de Fourier sur un nombre Np de périodes
κn(x) = ω Npπ
Z 2πNp/ω
0
αn(x, t) cos(θn −ωt)dt (3.19) et en cherchant le maximum de la fonctionκn(x)par rapport à la variable θn. Le maximum est obtenu pour la valeur θn = ˆφn, et vaut κn(x) =|γn(x)|.
Étape 2 : On extrait nalement la phase du mode connaissant le nombre d'onde kx,n associé, en vériant que la valeur φˆn−kx,nx est bien constante par rapport à x.
Il est donc nécessaire d'utiliser à la fois l'information temporelle et spatiale associées à un champ de vitesse observé an de pouvoir décomposer complètement ce dernier sur la base des modes verticaux.
3.3. ANALYSER LES CHAMPS D'ONDES INTERNES 49 3.3.2.2 Réalisation pratique
En pratique, l'algorithme de décomposition modale calcule les diérents coecients en réalisant l'inversion du système
M
X
m=1
Γn,mΨm(x, t) =
Z H−a
b
W(x, z, t)fn(z)dz , (3.20) où l'on a
Γn,m =
Z H−a
b
fm(z)fn(z)dz (3.21)
Ψm(x, t) = W0anReh
ei(ωt−kx,nx+φn)i
. (3.22)
On peut observer plusieurs limitations. En prenant en compte les pertes d'information2 à la surface (a) et au fond (b), la matrice Γn,m n'est plus diagonale et l'inversion n'est possible qu'avec une base innie de fonction fn. Cependant, la réalisation pratique de l'inversion impose une troncature à une valeur nie M de la somme sur m dans (3.20). Il en résulte des incertitudes sur la décomposition modale obtenue. L'inuence des diérents paramètres M, a, et b a été étudiée, et on peut en déduire que
pour une valeur de M xée, l'inuence de la perte d'information est faible. Pour des valeurs dea et b variant indépendamment entre0.1et 2% de la hauteur d'eau, la valeur des coecients de la décomposition modale de la vitesse verticale varie de moins de 5%.
pour des valeur dea etb xées et pour un mode-ndonné, il existe une valeur deM au dessus de laquelle le coecient mesuré n'évolue quasiment plus. Cette valeur est d'autant plus grande que le mode étudié est élevé.
En pratique, pour les expériences où nous avons utilisé cette méthode (chapitres 4 et 5), les valeurs de a/H et b/H étaient de l'ordre de 1% et nous nous sommes limités à M ' 25, susant pour l'étude des premiers modes.
3.3.2.3 Exemple
Nous proposons d'illustrer la technique sur un exemple idéalisé où l'on utilise la dénition (3.17) en xant les valeurs des coecients γn. Nous choisissons γ1 = 1, γ2 = 0.25eiπ/3 et γ1 = 0.1eiπ/5. Tous les autres coecients sont nuls. Le champ à analyser est présenté à la gure 3.9 (a).
2. Dans le cas de mesures PIV, il s'agit des zones de surbrillance dues aux réexions de la nappe laser à la surface libre ou au fond, et aussi à l'ensemencement qui est en général également moins bon.
50 CHAPITRE 3. TECHNIQUES ET OUTILS Concernant la mesure, nous considérons un uide stratié avec une stratication linéaire, de hauteurH = 0.54m, dont les information ne sont pas exploitables à la surface et au fond sur une hauteur de 0.01 m (a = b = 0.01 m). Le résultat de la décomposition modale pour les modes 1 à 4 est illustré aux gures 3.9 (b-c). Le résultat est très bon et les incertitudes sur les amplitudes et phases faibles. L'erreur due à la perte d'information à la surface et au fond est d'environ 5% sur les phases et 2% pour les amplitudes.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Figure 3.9 (a) Champ de vitesse (vecteurs) et intensité de la composante horizontale associée (couleur) pour la somme de trois modes. (b) Amplitudes et (c) phases obtenus à partir de la décomposition modale du champ en (a) pour M = 25, a/H = b/H = 0.02.
Comparativement, dans le cas où l'on a aucune perte d'informations (a = b = 0), on trouverait les valeurs imposées avec une erreur moindre que 1% pour l'amplitude et 0.1% pour la phase.
Nous remarquons que la technique est moins précise si nous analysons de la même façon la composante horizontale de vitesse, les erreurs ainsi que les incertitudes de la mesure étant de l'ordre de 5−10% et 7−15% pour la phase. Nous utiliserons donc de façon privilégiée l'analyse de la composante verticale de la vitessse.
Résumé
Nous avons présenté les techniques et outils utilisés au cours de cette thèse.
Hormis la mise en place de la de strioscopie synthétique classique ( synthetic schlie-ren ), les techniques expérimentales présentées ont été développées au cours de cette thèse permettant notamment une modernisation de la salle de manipulation. L'utilisa-tion de la strioscopie synthétique absolue est particulièrement intéressante bien qu'encore très peu utilisée.
Les outils d'analyse ont été développés sur Matlab c an de les rendre facilement utilisables pour tout utilisateur. La combinaison des deux techniques permet d'analyser tout type d'ondes internes présenté au chapitre 2. Nous utiliserons régulièrement ces
3.3. ANALYSER LES CHAMPS D'ONDES INTERNES 51 outils au cours de cette thèse, qui sont particulièrement pratique pour extraire les diverses informations présentent dans des champs de données à trois dimensions (une temporelle et deux spatiales).
52 CHAPITRE 3. TECHNIQUES ET OUTILS
Chapitre 4
Génération contrôlée des ondes internes au laboratoire.
La génération contrôlée de tout type d'ondes internes est le souhait de tout expé-rimentateur an de pouvoir se pencher sur les enjeux associés aux ondes internes dans les océans. Bien que le générateur d'ondes présenté par la suite ait été inventé avant le début de cette thèse, un temps considérable a été consacré à la compréhension détaillée de son mode de fonctionnement. En outre, dans la publication originale [45], seul le forçage en onde plane avait été testé. Nous montrons ici que les possibilités sont beaucoup plus larges, en résumant les principaux résultats.
La majeure partie de ce chapitre correspond à un travail réalisé en collaboration avec Manikandan Mathur et Thomas Peacock au laboratoire du M.I.T (expériences), avec Denis Martinand au laboratoire M2P2 (simulations) et avec Louis Gostiaux au laboratoire LEGI (expertise). Il a été accepté à la publication à Journal of Fluid Mechanics [79], sous le titre New Wave Generation .
(a) (b) (c)
Figure 4.1 Vues en perspective du générateur d'ondes (a) de l'ENS Lyon, (b) du MIT et (c) de la plate-forme Coriolis.
53
54 CHAPITRE 4. NEW WAVE GENERATION Résumé Nous présentons ici les résultats combinés d'expériences et de simulations nu-mériques étudiant la génération d'ondes internes utilisant une nouvelle source développée par Gostiaux et al. [45] (voir gure 4.1). Le mécanisme, qui est composé de plaques oscil-lantes générant un prol modulable, a déjà été utilisé pour un certain nombres d'études fondamentales qui ont mis en avant son potentiel sans pour autant élucider complètement son fonctionnement.
Nous mettons en évidence dans ce chapitre la grande variété d'ondes à deux dimen-sions que ce générateur peut émettre. Des ondes planes aux modes verticaux en passant par les faisceaux localisés, l'ensemble des structures décrites au chapitre 2 seront abor-dées. L'inuence des diérents paramètres tels que la discrétisation du prol, l'amplitude de forçage, ou encore l'angle de propagation, est analysée en s'appuyant notamment sur un outil analytique, la transformée de Fourier, qui permet de prédire précisément l'allure du champ émis.
4.1 Introduction
The study of internal waves continues to generate great interest due to the evolving appreciation of their role in many geophysical systems. In the ocean, internal waves play an important role in dissipating barotropic tidal energy [see 32, for a review], whereas atmospheric internal waves are an important means of momentum transport [4]. In both the ocean and the atmosphere, internal wave activity also impacts modern day techno-logy [99]. Many unanswered questions remain, however, particularly regarding the fate of internal waves. For example : How much mixing do internal waves generate in the ocean, and via what processes ? And at what altitudes do atmospheric internal waves break and deposit their momentum ? The ability to reliably model internal wave dynamics is key to tackling important questions such as these.
Internal waves come in a wide variety of forms. The simplest, a plane wave, is the basis of many theoretical studies that provide fundamental insight [see 119, 120, 18, for instance], especially as any linear wave structure can be decomposed into independent plane waves via Fourier transforms. While plane wave solutions are the focus of many theoretical studies, laboratory experiments and eld observations reveal that internal waves generated by a localized source, such as the tidal ow past an ocean ridge [12, 72]
or deep tropical convection in the atmosphere [125], produce coherent wave beams that radiate away from the generation site. In vertically-nite domains, such as the ocean, the internal wave eld can be conveniently described using vertical modes, i.e. horizontally propagating and vertically standing waves, whose spatial form is dictated by the vertical stratication, as discussed in [21]. Finally, localized solitary wave structures are also ubiquitous [92].
Investigation of these dierent internal wave forms in laboratory experiments has
4.1. INTRODUCTION 55 played a key role in internal wave research, starting with the pioneering work of [83]
on the wave beams generated by an oscillating cylinder. Since then, internal waves have been generated using a variety of means. [20] performed an experimental study of the reection of nominally plane waves, produced by a paddle mechanism, from a density jump. A similar paddle mechanism was used by [57] to study the dissipation caused by internal wave breaking at a sloping boundary. [70] used vertical oscillations of a tank lled with salt-stratied water to parametrically excite internal waves, which eventually focused onto internal wave attractors in the tank. With the ocean in mind, [43] and [21]
produced internal waves by side-to-side oscillation of topography.
The aforementioned experimental methods of internal wave generation have three in-herent shortcomings. Firstly, they produce wave elds that are invariant in one horizontal direction, and thus nominally two-dimensional. In this paper, we too restrict ourselves to the study of such situations, using z to refer to the vertical direction, antiparallel to the gravity eld ~g = −g ~ez, and x to the horizontal direction ; the possibility of genera-ting three-dimensional wave elds using the novel generator is raised at the end of the paper. The second shortcoming is that, with the exception of towed topography [9, 2], pre-existing methods radiate waves in multiple directions rather than in a single direction.
This is due to the dispersion relation for internal gravity waves,
ω2 = N2sin2θ , (4.1)
which relates the forcing frequency, ω, to the local angle of energy propagation with respect to the horizontal, θ, via the Brunt-Väisälä frequency, N = p
−g∂zρ/ρ, where ρ is the background uid density. Since waves propagating at angles ±θ and π ±θ all satisfy (4.1) for a given frequency ratio ω/N, a two-dimensional localized source, such as a vertically oscillating cylinder, generates internal waves propagating in four dierent directions. Propagation in two of the four directions can be suppressed by either providing oscillations along only one of the directions of propagation (i.e. θ and π+θ) [33, 25] or by using a paddle system at a boundary [20]. These arrangements nevertheless still produce an undesirable second set of waves that must somehow be dealt with in an experiment.
The third, and perhaps the most signicant, shortcoming is that all pre-existing methods provide very limited, if any, control of the spatial structure of an internal wave eld.
A major advance in internal wave generation recently occurred with the design of a novel type of internal wave generator [45]. This design uses a series of stacked, oset plates on a camshaft to simultaneously shape the spatial structure of an experimental internal wave eld and enforce wave propagation in a single direction, as illustrated in gure 4.2. The maximum horizontal displacement of each plate is set by the eccentricity of the corresponding cam, and the spatio-temporal evolution is dened by the phase pro-gression from one cam to another and the rotation speed of the camshaft. So far, this novel conguration has been used to study plane wave reection from sloping boundaries
56 CHAPITRE 4. NEW WAVE GENERATION
W
` λ
z x
~ vφ
~ vg
Figure 4.2 A schematic showing the basic conguration of a novel internal wave generator. Plates are vertically stacked on an eccentric camshaft. See text in section 2 for the denitions of the dierent lengths W, ` and λ. The circular arrow at the top of the generator illustrates the direction of rotation of the camshaft, the thick vertical arrows show the corresponding motion of the wave form of the plates, and the dashed oblique arrows indicate the resulting local velocity eld. v~φ and~vg indicate the direction of phase and group velocity, respectively.
[42], diraction through a slit [78] and wave beam propagation through nonuniform stra-tications [74]. Despite these early successes, however, there has been no dedicated study of the ability of this arrangement to generate qualitatively dierent forms of internal wave elds, and several important questions remain. For example, how does a stratied uid that supports two-dimensional waves respond to controlled forcing in only one direction (i.e. parallel to the motion of the plates) ?
In this paper, we present the results of a comprehensive study of two-dimensional wave elds produced by dierent congurations of novel internal wave generators, and reveal that this approach can accurately produce plane waves, wave beams and discrete vertical modes. The results of experiments are compared with predictions based on the Fourier transforms of the spatial structure of the wave generator, which proves to be a very useful and simple tool for predicting wave elds, and numerical simulations, which allow investigation of the boundary conditions imposed by the generator. The material is organized as follows. Section 4.2 presents the experimental and numerical methods used throughout the study. The generation of plane waves is addressed in 4.3, followed by the generation of self-similar wave beams and vertical modes in 4.4 and 4.5, respectively.
Our conclusions, and suggestions for future applications of the generator, are presented in 4.6.