2.3 Aspects non-linéaires
2.3.2 Cas des modes verticaux
2.3.2.1 Mode unique dans une stratication uniforme
On suppose tout d'abord qu'un mode unique (mode-n) se propage. Si l'on prend en compte les équations (2.8) et (2.9), on trouve le même résultat que pour un paquet d'ondes planes se propageant dans une direction unique, à savoir que les jacobiens s'annulent : on a donc une solution du problème non-linéaire.
On peut également essayer de raisonner par analogie avec les ondes planes. Si on considère l'équivalence entre un mode et deux ondes planes à la même fréquence mais avec des vecteurs d'ondes symétriques par rapport à l'horizontale comme montré pré-cédemment, alors on peut considérer l'interaction entre deux ondes vériant ω2 = ω1 et
−
→k2 = (k1,x,−k1,z). Dans le cas oùω1 est inférieur à N/2, seule l'harmonique à la pulsation ω3 = 2ω1 pourrait se propager, mais elle correspond à un vecteur d'onde −→
k3 = (2k1,x,0) qui n'est pas un mode puisque k3,z = 0. Au nal, via l'interprétation d'un mode en terme d'ondes planes et l'utilisation des règles de sélection de la table 2.1, on retrouve bien le fait qu'un mode unique est solution du problème non-linéaire.
2.3.2.2 Superposition de modes
Le résultat précédent n'est plus vrai quand l'on considère une superposition quel-conque de modes. Dans le cas plus général où la stratication n'est pas uniforme [36], on
2.3. ASPECTS NON-LINÉAIRES 31 peut décrire une superposition de modes sous la forme
ψ = Les équations couplant les modes se mettent alors sous la forme
ak,t−c2kak,xxtRk +c2kX où les termes couplant les modes sont
Pk = R
Deux eets linéaires sont ici mis en jeu. La présence d'une stratication non-linéaire (N 6= cste) joue un rôle dans l'ensemble des termes (2.47) et rend les equa-tions (2.45- 2.46) intrinsèquement non-linéaires. L'évolution d'un mode initialement unique est non-linéaire et peut générer d'autres modes. Dans le cas N =cste, on peut montrer [36]
que les termes Rk valent tous 1, tous les termes Tkmn s'annulent mais pas l'ensemble des termes Skmn, ce qui conduit à des interactions non-linéaires possibles entre plusieurs modes lorsqu'ils se superposent initialement.
Résumé
Nous avons rappelé ici les principaux types d'ondes internes que l'on peut rencontrer dans les uides stratiés, ainsi que les descriptions analytiques qui leurs sont associées.
Nous avons pu notamment mettre en évidence les similitudes entre les diérents points de vue, modes et ondes planes. Quelques éléments originaux tels que la description d'une correction visqueuse par exemple, ont également été apportés.
Le cadre linéaire sera particulièrement utile à l'introduction des outils d'analyse des données présentés au chapitre 3 tandis que les aspects linéaires et non-linéaires nous serviront à discuter les résultats des expériences des chapitres 4 à 6.
32 CHAPITRE 2. DESCRIPTION ANALYTIQUE
Chapitre 3
Techniques d'observation et outils d'analyse des ondes internes au laboratoire
Nous présentons ici les techniques expérimentales utilisées au laboratoire de l'ENS Lyon ainsi que d'autres techniques rencontrées au cours de collaborations, à la plateforme Coriolis, au laboratoire du M.I.T où j'ai fait deux séjours de quelques semaines, et à bord du Pelagia. An de pouvoir observer et traiter les champs d'ondes internes, des outils d'analyse ont été développés au cours de cette thèse, ou bien encore adaptés lorsqu'ils existaient déjà.
3.1 Obtenir un uide stratié
An de pouvoir étudier des ondes internes de gravité, il est nécessaire de pouvoir générer de façon reproductible et systématique un uide stratié. Selon la stratication désirée, deux techniques ont été utilisées et nous les présentons ici.
A titre indicatif, deux types de cuve sont utilisés pour les expériences réalisées à Lyon ; la cuve n◦ 1 pour les expériences avec le générateur d'ondes, et la cuve n◦ 2 pour les expériences sur le phénomène d'eaux mortes. Leurs dimensions respectives sont rappelées dans la table 3.1. Il est possible d'emboiter plusieurs exemplaires (3 au total) de la cuve n◦ 1, an d'obtenir un canal plus long.
Techniques de remplissage : Le remplissage d'une cuve avec un uide stratié est une opération classique [27, 100] et la méthode, dite "méthode des deux bacs", a été généralisée récemment pour créer tout type de prol [50]. Le principe est illustré à la gure 3.1 (a). Le bac de stockage correspond à l'eau salée (la plus dense) et le bac de
33
34 CHAPITRE 3. TECHNIQUES ET OUTILS Cuve Longueur W Hauteur H Largeur L Volume V
1 0.80 0.425 0.17 57.8
2 3.00 0.40 0.105 126.0
Table 3.1 Dimensions des cuves utilisées lors des expériences à l'ENS de Lyon. Les dimensions sont en mètres, les volumes en Litres.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
1.005 1.01 1.015 1.02 1.025
z (m) ρ (g.cm−3)
data ρ = − 0.0640 z + 1.0266 ρ = − 0.0145 z2 − 0.0592 z + 1.0263
(a) (b)
Figure 3.1 (a) Schéma du remplissage par la méthode des 2 bacs, extrait de [50].
(b) Prol de densité dans la cuve 1 (mesuré au densimètre) et estimations linéaire et quadratique (en trait continu).
mélange est initialement remplie d'eau douce (la plus légère). Nous avons appliqué cette méthode illustrée grâce à deux pompes péristaltiques Cole-Parmer c. Nos cuves étant de section constante, le choix du débit Q2(t) = 2Q1(t) =cste permet d'obtenir une évolution linéaire de la densité avec la profondeur. La stratication obtenue est alors très stable, et permet de réaliser des expériences sur plusieurs jours voire plusieurs semaines.
Dans le cas où l'on souhaite réaliser un uide constitué de plusieurs couches homo-gènes, il est plus simple de remplir ces couches les unes après les autres. Pour cela, on utilise un otteur sur lequel est placé un tuyau relié au volume d'eau à la densité sou-haitée, et on laisse agir la gravité. Il est important que le uide s'écoulant à la surface du otteur atteigne la surface libre avec la vitesse verticale la plus faible possible, pour minimiser le mélange avec la couche précédente.
Mesure de la stratication : Le contrôle du prol de densité peut se faire de deux façons ; par l'observation des faisceaux d'ondes internes à une fréquence donnée (dans le cas où N(z) varie peu), ou par la mesure directe du prol de densité.
3.2. OBSERVER LES ONDES INTERNES 35