OPO doublement résonant

L o n g u e u r d ’ o n d e ( n m ) (a) 2 1 1 3 2 1 1 4 2 1 1 5 0 . 0 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 G ai n pa ra m ét riq ue (a .u .) L o n g u e u r d ’ o n d e ( n m ) (b)

Figure 1.9 – Spectre de sortie d’un SROPO tracé pour un guide d’onde de 2 mm de long de la structure décrite dans la référence [73] placé dans une cavité simplement résonante de finesse F = 10. Dans les deux graphiques, la ligne noire est le gain paramétrique G tracé autour de la dégénérescence, et la courbe rouge est le gain paramétrique efficace prenant en compte la modulation de gain paramétrique par la résonance de la cavité. La figure (b) est un zoom de la figure (a) autour de l’accord de phase.

En cas de perturbation extérieure, le peigne de fréquences résonantes dans la cavité sera décalé par rapport à la courbe de gain paramétrique. Cependant, si ce décalage reste petit, le mode longitudinal de la cavité le plus favorable à l’oscillation paramétrique restera inchangé, ce qui assure la stabilité spectrale d’un SROPO.

1.2.2 OPO doublement résonant

Pour évaluer l’intérêt et les limites de la configuration SROPO, étudions à présent le cas d’un DROPO. Dans ce format de cavité, l’onde de pompe est issue d’un laser externe à la cavité, et les ondes signal et complémentaire initialement générées par fluorescence paramétrique sont renvoyées sur elles-mêmes dans la cavité et amplifiées par l’interaction à trois ondes. À l’entrée du cristal non linéaire, les trois ondes sont donc présentes. Les amplitudes des ondes signal et complémentaire juste avant le miroir de sortie sont donc données par les équations (1.14) où z = L.

De manière similaire au SROPO, la condition d’oscillation s’obtient en écrivant que les deux ondes signal et complémentaire doivent être égales à elles-mêmes après un tour complet dans la cavité, en tenant compte du fait qu’elles ne sont amplifiées que lorsqu’elles se propagent dans le même sens que l’onde de pompe. Pour cela,

Optique non linéaire en cavité : l’oscillation paramétrique optique 27

on écrit la matrice M de transfert de la cavité optique pour le vecteur A = ^Es

E_c^∗

! . Le régime stationnaire de l’oscillation paramétrique s’écrit alors MA = A, ce qui admet une solution non nulle si det(M − I) = 0 où I est la matrice identité. L’écriture de cette égalité donne l’équation que doit vérifier le coefficient de gain

paramétrique g au seuil d’oscillation7 :

( R_s " cosh(gL) + i^∆k_2g sinh(gL) # eⁱ(2φs−∆kL 2 −2ksL) − 1⁾ × ( R_c " cosh(gL) − i^∆k_2g sinh(gL) # eⁱ(−2φc+^∆kL₂ +2ksL) − 1⁾ = Rse^2iφsR_ce^−2iφcKsK_c^∗ g2 e^2i(kc−ks)Lsinh2(gL) (1.27)

De même que précédemment, le coefficient de réflexion des deux miroirs (supposés

identiques) aux longueurs d’onde λs et λc vaut rs,c =q

Rs,ce^iφs,c. Les constantes

de couplage Ks,c sont données par l’équation (1.15a), et le coefficient de gain

paramétrique g est relié à l’intensité de la pompe via les relations (1.15b) et (1.15c).

La condition d’oscillation d’un DROPO (1.27) ne se simplifie malheureusement pas aussi facilement que celle d’un SROPO. Cependant, à puissance de pompe donnée le coefficient de gain paramétrique est maximal quand la condition d’accord de phase est remplie, ce qui correspond donc au cas où le seuil d’oscillation est minimal. Nous nous placerons donc d’abord dans le cas où ∆k = 0 avant de traiter le cas général.

À l’accord de phase ∆k= 0

Dans ce cas, le seuil est minimal si les deux termes à gauche de l’égalité (1.27) sont des nombres réels positifs [74]. On obtient alors une première condition sur les phases :

φ_s− k_sL= mπ , m ∈ Z (1.28a)

φ_c− k_cL= pπ , p ∈ Z (1.28b)

Comme dans le cas d’un SROPO, ces conditions traduisent le fait que les ondes signal et complémentaire doivent osciller selon un mode longitudinal de la cavité optique.

L’équation (1.27) se réécrit alors sous la forme plus simple suivante, donnant la condition d’oscillation sur le coefficient de gain paramétrique :

cosh(g0L) = ^{1 + R}sR_c

R_s+ Rc

(1.29) 7. Le calcul est détaillé dans l’ouvrage [68] dans le cas particulier ∆k = 0.

Dans le cas où g0L  1 et Rs ' R_c ' 1, cette dernière condition sur le gain paramétrique s’écrit :

(g0L)2 = (1 − Rs)(1 − Rc) (1.30)

Cette dernière condition se compare aisément avec l’équation (1.25) obtenue pour

un SROPO. g2

0 étant proportionnel à la puissance de pompe, avec les mêmes

hypothèses d’accord de phase, de faible gain paramétrique et de bonne réflectivité des miroirs, on trouve que le rapport suivant entre le seuil d’oscillation d’un SROPO et celui d’un DROPO :

Pseuil p,SROPO Pseuil p,DROPO = _{1 − R}² c (1.31)

Comme (1 − Rc) est petit, ce rapport est grand, et le seuil d’un DROPO est par

conséquent beaucoup plus bas que celui d’un SROPO.

La condition d’oscillation (1.29) peut néanmoins être résolue sans faire d’hy-pothèse sur le gain ou la réflectivité des miroirs. On obtient alors l’expression suivante pour le gain paramétrique :

g₀L= ln^Q+^qQ2−1^ (1.32)

Q= ^{1 + R}sR_c

Rs+ Rc (1.33)

Ceci nous permet d’exprimer la puissance de pompe au seuil d’oscillation pour un DROPO à l’accord de phase :

P_p^seuil = A^0cn_sn_cn_pλ_sλ_c 8π2d2 effL2  ln^Q+q Q2−1^2 (1.34) Avec ∆k 6= 0

Plaçons nous maintenant dans le cas plus complexe où la condition d’accord de phase n’est pas remplie. La condition d’oscillation paramétrique (1.27) ne peut alors plus se simplifier comme précédemment. Cependant, on peut la réécrire sous la forme suivante : h R_s√ 1 + G − e−iψ_si h R_c√ 1 + G − eiψcⁱ= RsR_c^g 2 0 g2 sinh2(gL)= RsR_cG (1.35)

où l’on a introduit les notations suivantes :

ψ_s,c = θ − ^∆kL₂ −2ks,cL+ 2φs,c (1.36a)

tan θ = ^∆k

Optique non linéaire en cavité : l’oscillation paramétrique optique 29

et où on a utilisé l’égalité cosh(gL)±i∆k

2g sinh(gL) =^√1 + Ge±iθ, le gain

paramé-trique G étant donné par l’expression (1.17). De même que précédemment, on obtient un seuil d’oscillation minimal si les conditions suivantes sur les phases sont vérifiées [68,74] :

ψ_s = 2mπ , m ∈ Z (1.37a)

ψ_c= 2pπ , p ∈ Z (1.37b)

Ces conditions traduisent toujours le fait que les ondes signal et complémentaires doivent osciller selon des modes longitudinaux de la cavité, en prenant cependant en compte le fait que le désaccord de phase rajoute un terme de phase.

Avec cette condition, la condition d’oscillation peut alors, à partir de l’équation (1.35), se réécrire sous la forme simple suivante :

√

1 + G = ^{1 + R}sR_c

R_s+ Rc

= Q (1.38)

Cette condition est générale, et on retrouve en particulier la condition (1.29) dans le cas où ∆k = 0. La puissance de pompe, proportionnelle au carré du

coefficient de gain paramétrique g0 ne s’exprime pas aisément en fonction du gain

paramétrique G et de ∆k dans le cas général. Nous nous placerons donc dans le

cas g0L 1 déjà étudié en partie 1.1.3, où l’on a alors G = (g0L)2sinc2^∆kL

2

 . En vertu de la relation (1.15c), on peut donc écrire la puissance de pompe au seuil d’oscillation dans le cas où le désaccord de phase est non nul, et pour un faible coefficient de gain paramétrique :

P_p^seuil = A^0cn_sn_cn_pλ_sλ_c 8π2d2 effL2 h Q²−1i    sin2^∆kL 2  ∆kL 2 2    −1 (1.39)

En pratique, dans les dispositifs présentés ici, nous aurons g0L . 0.5, et nous

utiliserons donc cette approximation en cas de désaccord de phase. Cette condition est bien sûre d’autant plus vraie au seuil d’oscillation que la réflectivité des miroirs est élevée, et on peut alors écrire :

Pseuil p = A^0cn_sn_cn_pλ_sλ_c 8π2d2 effL2 [1 − Rs] [1 − Rc]    sin2^∆kL 2   ∆kL 2 2    −1 (1.40) On retrouve alors le même rapport entre les puissances de pompe au seuil d’un SROPO et d’un DROPO que dans le cas ∆k = 0, ce qui confirme l’intérêt du DROPO en termes de puissance nécessaire pour obtenir l’oscillation paramétrique.

Stabilité spectrale d’un DROPO

Nous avons obtenu la puissance de pompe au seuil d’oscillation en nous intéres-sant au module de la condition (1.27). Cependant, pour minimiser cette puissance, nous avons posé une condition sur la phase. Nous considèrerons pour plus de simplicité la condition (1.28) obtenue en cas d’accord de phase, correspondant au seuil minimal, le raisonnement étant analogue en cas de désaccord de phase.

Cette condition traduit le fait que les deux ondes signal et complémentaire doivent être résonantes dans la cavité. Cependant, à cause de la dispersion du matériau, les peignes de fréquences créés par la résonance Fabry-Pérot de la cavité

n’ont pas les même intervalles spectraux libres autour de λs et λc. La condition

de résonance, couplée à la condition de conservation de l’énergie, limite donc les fréquences possibles d’oscillation : le gain paramétrique sera modulé par le recouvrement des deux peignes Fabry-Pérot, donnant lieu à des clusters, comme indiqué en figure 1.10. La formation de ces clusters peut-être illustrée à l’aide d’un diagramme de Giordmaine et Miller [75] : la transmission de la cavité optique

est tracée en fonction de ωs et ωc avec des échelles orientées dans deux sens

différents. La conservation de l’énergie est alors vérifiée pour deux pulsations alignées verticalement. Ainsi, selon le déphasage entre les peignes, l’oscillation ne sera pas forcément la plus favorable à ∆k = 0. En figure 1.10, les deux cas limites sont tracés : si les deux peignes sont parfaitement alignés, le maximum du gain paramétrique (∆k = 0) coïncide avec un cluster (cas (b)). Si au contraire, les deux peignes sont déphasés (d’un demi intervalle spectral libre dans le pire des cas), la résonance de l’onde signal correspond à une fréquence de coupure de l’onde complémentaire et vice-versa. Le processus paramétrique est donc « tué » par la cavité et le gain paramétrique efficace sera quasiment nul au maximum de la bande de gain. L’oscillation sera alors susceptible d’avoir lieu pour le désaccord de phase non nul le plus proche de la bande de gain pour lequel les deux peignes sont alignés (cas (c)).

Cette double condition a aussi des retombées en termes de stabilité spectrale des ondes en sortie de l’OPO. En effet, la moindre variation environnementale peut décaler légèrement chacun des peignes de manière indépendante : le recouvrement des deux peignes est alors susceptible de varier de manière importante, modifiant ainsi le point le plus favorable à l’oscillation, ce qui donne lieu à des sauts de mode, voire des sauts de clusters. Les mêmes phénomènes ont aussi des conséquences en termes d’accordabilité, beaucoup plus diffile à contrôler pour ce type de cavité que pour un SROPO.

La double condition de résonance a donc un impact négatif en termes de stabilité spectrale d’un DROPO, de manière beaucoup plus importante que pour un SROPO, qui vient contre-balancer l’avantage de la configuration doublement résonante en ce qui concerne le seuil d’oscillation. De la même manière, un TROPO

Optique non linéaire en cavité : l’oscillation paramétrique optique 31

w

w

w

w

(a)

(b) (c)

Figure 1.10 – Spectre de sortie d’un DROPO, tracé pour un guide d’onde de 2 mm de long de la structure décrite dans la référence [73] placé dans une cavité de finesse F = 10. (a) Gain paramétrique (sans cavité) calculé à la dégénérescence. Le rectangle rouge désigne la zone de zoom pour les deux autres sous-figures. (b) Cas favorable. En haut, le gain paramétrique en cavité DROPO est tracé en rouge, le gain paramétrique sans cavité est rappelé en noir. En bas, diagramme de Giordmaine et Miller à la dégénérescence correspondant à cette situation. (c) Cas défavorable. En haut : gain paramétrique efficace. En bas, diagramme de Giordmaine et Miller à la dégénérescence correspondant à cette situation.

aura un seuil d’oscillation plus faible que celui d’un DROPO, au prix d’une stabilité spectrale dégradée du fait de la triple condition de résonance à satisfaire. Le choix d’une configuration par rapport à une autre résultera donc de la puissance de pompe disponible pour atteindre le seuil d’oscillation et de l’exigence de stabilité en sortie.