5.2 Construction d’un profil moyen
5.2.1 Des données brutes aux courbes : l’étape de lissage
Les données brutes de position et de vitesse issues du GPS pour les 78 trajets
effectués sur la section décrite à la figure 5.1 sont représentées à la figure 5.2. Ces
données sont représentées dans les trois espaces distance×temps,vitesse×temps
etvitesse×distance.
Ces mesures de position et de vitesse étant observées en des instants discrétisés,
les données brutes représentées à la figure5.2sont de nature vectorielle. La première
étape de cette étude consiste donc à convertir les données brutes en objet fonctionnel
par une étape de lissage. Pour ce faire, nous appliquons la méthode de lissage que
nous avons développée au chapitre4, constituée des deux étapes suivantes :
1 Une première étape de lissage utilisant l’information sur la dérivée.
Méthode : Construction d’un estimateurFb(t)par spline de lissage de la fonction
de régressionF(t), à partir d’observations bruitées de cette fonction (mesures
de position) et également d’observations bruitées de sa dérivée F0(t) (mesures
de vitesse).
2 Une seconde étape de lissage sous contrainte de monotonie.
Méthode : Construction d’un estimateur strictement monotone Fbmono(t) qui
est une "monotonisation" de l’estimateur Fb(t)construit à l’étape précédente.
A l’étape 1, nous construisons un estimateur par spline de lissage Fbλi(t) de
cha-cune des fonctions Fi(t) représentant la distance parcourue en fonction du temps
correspondant au trajeti, pouri= 1, . . . ,78, avec les paramètres suivants :
– une estimation des variances σx,i2 etσv,i2 des mesures de position et de vitesse ;
– m= 3 (spline quintique de degré 5) ;
– une sélection automatique du paramètre de lissage λi par minimisation du
critère GML.
Par dérivation, on en déduit un estimateur Fbλ0
i(t) de chacune des fonctionsFi0(t)
re-présentant la vitesse en fonction du temps (espace vitesse×temps). Puis, on en
déduit un estimateur de chacun des profils spatiaux de vitesse par l’application
b
Fλ0i(t)◦Fbλ−1
i (t). Les résultats obtenus après l’étape 1 de cette procédure de lissage
sont illustrés à la figure 5.3.
A l’étape 2, nous "monotonisons" chacun des Fbλi(t) obtenus à l’étape 1, pour
a) Distance parcourue en fonction du temps.
● 0 50 100 150 200 0 200 400 600 800 1000 1200 Time (sec) Distance (m)b) Vitesse en fonction du temps.
● 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 Time (sec) Speed (km/h)
c) Profils spatiaux de vitesse (Vitesse en fonction de la distance parcourue).
● 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80 Distance (m) Speed (km/h)
Figure5.2 -Données brutes. Représentation dans les 3 espaces :distance×temps,
Application à l’éco-conduite
a) Distance parcourue en fonction du temps.
● 0 50 100 150 200 0 200 400 600 800 1000 1200 Time (sec) Distance (m)
b) Vitesse en fonction du temps.
● 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 Time (sec) Speed (km/h)
c) Profils spatiaux de vitesse (Vitesse en fonction de la distance parcourue).
● 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80 Distance (m) Speed (km/h)
Figure 5.3 - Lissage des données : Etape 1 (utilisation de l’information sur la
dérivée). Représentation dans les 3 espaces : distance×temps, vitesse×temps et
suivants :
– m= 3 comme degré pour la pénalité ;
– une sélection du paramètre λ par essais et erreurs (λ compris entre 10−4 et
10−1 selon les profils estimés).
Les résultats obtenus après cette étape de monotonisation sont illustrés à la figure
5.4.
De manière générale, on observe sur les figures 5.3 et 5.4 que la forme globale
des profils de vitesse est bien conservée après les deux étapes de lissage, quel que
soit l’espace étudié (distance×temps,vitesse×temps ouvitesse×distance). On
observe également une atténuation de certains pics présents dans les données brutes
(courbes orange et bleue sur la figure 5.2.c) et qui semblent correspondre à des
valeurs aberrantes. Notons également que ce lissage a permis de corriger certaines
valeurs manquantes présentes dans les données brutes. Enfin, on observe sur la figure
5.3.b des vitesses négatives (entre 120 et 150 s) qui sont corrigées lors de l’étape de
monotonisation (figure5.4.b).
Afin d’observer plus précisément les résultats des deux étapes de lissage lorsque
la vitesse s’annule, nous proposons d’effectuer un zoom sur certaines zones de la
section étudiée correspondant aux arrêts des véhicules. Ainsi, les figures 5.5 et 5.6
représentent les données brutes correspondant aux profils spatiaux de vitesse, ainsi
que les courbes lissées obtenues après chacune des deux étapes de lissage, au niveau
des deux principaux arrêts imposés par l’infrastructure, à savoir le stop (situé entre
110 et 150 m) et le feu de signalisation (situé entre 630 et 680 m). On observe
sur les données brutes des erreurs de positionnement puisque le véhicule se déplace
alors que sa vitesse est nulle (par exemple, courbe turquoise sur la figure5.5.a entre
120 et 125 m, ou courbe fuschia sur la figure 5.6.a autour de 640 m). Ces erreurs
sont dues à une imprécision des données de position du GPS. On observe que ces
erreurs de positionnement sont corrigées lors de l’étape 1 du lissage mais que l’on
obtient des vitesses négatives puisqu’aucune hypothèse de monotonie n’ait faite dans
cette première étape. L’étape 2 de monotonisation permet de corriger ces vitesses
négatives, mais a tendance à sur-estimer la vitesse au niveau de l’arrêt du véhicule
correspondant au minimum local de chaque courbe. Ce problème déjà évoqué au
chapitre précédent (section4.4.3.2) est lié à la difficulté d’estimer les "plateaux" de
la fonctionF(t)lorsque le véhicule est à l’arrêt, et au fait que notre estimateur soit
strictement monotone. Cette difficulté est d’autant plus importante lorsque l’arrêt
est très court. En effet, on observe que cette sur-estimation des vitesses au niveau
des arrêts du véhicule est particulièrement marquée pour l’arrêt au stop (figure5.5.c)
qui est un arrêt court d’une durée moyenne inférieure à 5 s, alors que les arrêts au
feu d’une durée moyenne d’environ 15 s sont bien estimés (figure5.6.c).
Application à l’éco-conduite
a) Distance parcourue en fonction du temps.
● 0 50 100 150 200 0 200 400 600 800 1000 1200 Time (sec) Distance (m)
b) Vitesse en fonction du temps.
● 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 Time (sec) Speed (km/h)
c) Profils spatiaux de vitesse (Vitesse en fonction de la distance parcourue).
● 0 200 400 600 800 1000 0 20 40 60 80 Distance (m) Speed (km/h)
Figure5.4 -Lissage des données : Etape 2 (monotonisation). Représentation dans
a) Données brutes. b) Etape 1 du lissage. c) Etape 2 du lissage.
110 120 130 140 150 0 2 4 6 8 10 Distance (m) Speed (km/h) 110 120 130 140 150 0 2 4 6 8 10 Distance (m) Speed (km/h) 110 120 130 140 150 0 2 4 6 8 10 Distance (m) Speed (km/h)Figure5.5 -Profils spatiaux de vitesse : données brutes et courbes lissées obtenues
après chacune des deux étapes de lissage. Zoom sur l’arrêt au stop situé entre 110 et
150 m.
a) Données brutes. b) Etape 1 du lissage. c) Etape 2 du lissage.
630 640 650 660 670 680 0 2 4 6 8 10 Distance (m) Speed (km/h) 630 640 650 660 670 680 0 2 4 6 8 10 Distance (m) Speed (km/h) 630 640 650 660 670 680 0 2 4 6 8 10 Distance (m) Speed (km/h)