2.3 Présentation du système expérimental
2.4.2 Dissipation d’énergie dans les résonateurs mécaniques
2.4.2.2 Dissipation viscoélastique
ω γ = Q (2.48)
On peut donc introduire la dissipation par le même traitement en autorisant simplement la fréquence, et donc les vecteurs d’ondes k et q à être complexes. Pour obtenir le facteur de qualité on utilise alors les parties réelles et imaginaires de la pulsation complexe élevée au carré. Cette formule sera utilisée par la suite dans nos ajustements. On notera que ce type de dissipation est constante, γ ne dépend pas de la fréquence du résonateur. Comme
Q est proportionnel à ω il augmente si la fréquence de résonance augmente.
2.4.2.2 Dissipation viscoélastique
La dissipation visqueuse présentée dans la partie précédente provient d’une cause ex-terne, c’est à dire le frottement avec le milieu environnant. La dissipation que nous allons introduire dans la suite est d’un autre type puisqu’elle provient d’un mécanisme intrinsèque au résonateur que l’on nomme typiquement friction interne [28].
La façon basique de traiter de la déformation d’un solide est d’utiliser la théorie de l’élas-ticité. Dans ce cadre la loi de Hooke relie la contrainte σ appliquée au matériau à la déformation par :
σ = E (2.49)
Cette loi est valide dans une certaine gamme de contraintes (domaine élastique). Au delà d’un certain seuil la déformation n’est plus liée linéairement à la contrainte et la déformation n’est plus réversible (domaine plastique). Lorsqu’on applique cette loi on suppose que le matériau a une élasticité idéale et respecte donc trois critères :
— Pour chaque contrainte σ il n’existe qu’un seul état d’équilibre dont résulte la défor-mation . Corollairement un relâchement de la contrainte entraîne un retour à l’état initial.
— La déformation correspondant à l’état d’équilibre est atteinte instantanément. — La réponse du matériau est linéaire (la déformation est doublée si on double la
contrainte).
On remarque qu’il n’y a pas de dissipation inhérente à ce modèle. Cependant ce cadre restreint de l’élasticité parfaite peut être généralisé en renonçant à tout ou partie des critères précédents. Dans le cas qui nous intéresse les déformations on été supposées faibles et nous
resteront donc dans l’hypothèse d’une relation linéaire. Cependant les deux autres critères sont discutables.
Le premier critère revient à considérer que l’on a un solide thermodynamique, c’est à dire un solide pour lequel une succession de changements infinitésimaux d’une variable externe résulte en une succession continue d’états d’équilibre uniques. Par exemple un solide dans le domaine plastique n’est plus un solide thermodynamique, et certains solides ne le sont pas dans un cas général. Concernant le second critère il se peut que dans un solide un certain temps soit nécessaire pour atteindre un nouvel état d’équilibre conséquemment au changement d’une variable externe : c’est le phénomène de relaxation, et dans notre cas plus précisément de relaxation mécanique. Dans le cas où seul le second critère n’est pas vérifié alors on parle d’anélasticité. Dans le cas où ni le premier ni le second critère ne sont respectés on parle de viscoélasticité. Nous n’avons pas d’information expérimentale sur la réversibilité des déformations dans nos nanotubes de carbone. Nous ne savons donc pas si le premier critère est respecté ou non et nous restons dans le cas le plus général de la viscoélasticité.
Dans le cas d’un solide viscoélastique soumis à une contrainte deux réponses vont se su-perposer : une réponse purement élastique instantanée et une réponse visqueuse dépendante du temps. Cette deuxième réponse est en fait intimement liée au temps de réajustement de variables internes à leur nouvelles valeurs d’équilibre. La viscoélasticité est donc un processus thermodynamique issu du couplage entre la déformation et la contrainte via des variables internes qui ne peuvent changer qu’à un taux fini grâce à des processus tels que la diffusion. Ces variables internes peuvent être d’origine diverses : paramètre d’ordre dans un alliage (un changement de ce paramètre implique une migration d’atomes), répartition des électrons dans le solide...
Pour se représenter comment réagit un matériau viscoélastique on peut considérer une ex-périence de fluage, i.e on applique soudainement une contrainte en dessous du seuil plastique sur un matériau. Si l’on étudie la déformation on va avoir une augmentation instantanée au moment ou la contrainte est appliquée qui correspond à la réponse purement élastique. Puis la déformation va augmenter continuellement via la réponse visqueuse. Ensuite lorsque la contrainte est relâchée la partie élastique s’annule et on a donc une baisse instantanée de la déformation. Finalement on aura une diminution graduelle pour revenir soit à une déformation nulle dans le cas d’un matériau anélastique soit à une déformation non nulle dans le cas d’un matériau viscoélastique.
Le fluage est intéressant pour étudier les réponses sur des durées de quelques secondes mais pour avoir accès à des temps plus courts on préférera une étude dynamique. Dans ce cas on considère une contrainte périodique de la forme :
˜
σ = σ0eiωt (2.50)
Alors la réponse sera également oscillante et la relaxation est ajoutée par un terme de déphasage φ entre l’excitation et la réponse.
˜
= 0ei(ωt−φ) (2.51)
2.4. MÉCANIQUE D’UN NANOTUBE DE CARBONE EN VIBRATION E = σ˜ ˜ = σ0 0 exp(iφ) (2.52)
Dans ce cas le module d’Young est forcément complexe. Pour la suite il sera utile d’introduire E = E1+ iE2 avec E1et E2 respectivement les parties réelle et imaginaire du module d’Young. E1=σ0 0 cos(φ) E2=σ0 0 sin(φ) tan(φ) =E2 E1 (2.53)
Nous allons maintenant passer à des considérations énergétiques et étudier l’énergie stockée dans l’oscillateur et l’énergie dissipée par cycle d’oscillation. Pour cela on revient à la définition du travail par unité de volume qui est :
w = σd ⇔ F .dl (2.54)
En reprenant des notations réelles on a :
σ =(˜σ) = σ0cos(ωt)
=(˜) = 0cos(ωt− φ)
= 0cos(φ) cos(ωt) + 0sin(φ) sin(ωt)
(2.55)
Pour la déformation on a séparé les composantes en phase (gauche) et en quadrature de phase (droite). On commence par étudier l’énergie dissipée sur une période complète d’oscillation T en séparant les contributions des termes en phase et en quadrature de phase.
Δw = σd = σ∂ ∂tdt = σ00 − T=2π/ω 0
cos(φ)ω cos(ωt) sin(ωt)dt
+
T=2π/ω
0
sin(φ)ω cos(ωt) cos(ωt)dt
= 0 + π20E2
(2.56)
On remarque que la partie purement élastique qui est la déformation en phase avec l’excitation est non dissipative. Cela est dû au fait que la déformation élastique est réversible. La dissipation provient de la partie visqueuse en quadrature de phase.
On va maintenant s’intéresser à l’énergie maximale stockée par la composante en phase, condition qui se réalise au quart du cycle à t = T /4.
w =− σ∂ ∂tdt = σ00 T /4 0
cos(φ)ω cos(ωt) sin(ωt) =1