2.5 Facteurs de qualité de nanotubes de carbone sous tension à température
2.5.1 Choix du modèle de dissipation
2.5.1.1 Dilution
Dans un modèle simple de dissipation visqueuse, si l’on se réfère à la section 2.4.2.1, γ est constant. Donc si ω augmente Q doit augmenter dans les mêmes proportions. C’est ce que l’on appelle la dilution de la dissipation inhérente à une augmentation de la fréquence de résonance. L’étude sous émission de champ ne peut se faire qu’au dessus d’un seuil de tension qui donne un courant suffisamment important pour générer un motif détectable sur le phosphore. Dans le cas de SWCNT1 cette tension est de 89V . Pour le premier mode l’augmentation de fréquence sur une gamme de 30V est de 30% ; le facteur de qualité quant à lui passe de 2906 à 25834 soit une augmentation d’un ordre de grandeur. Le tableau 2.1 résume les augmentation relatives de fréquence et de facteur de qualité pour les différents échantillons, ainsi que les fréquences à tirage nul obtenues par ajustement. Nous voyons que nous sommes dans le même régime de tuning pour tous les tubes. La fréquence de résonance croît linéairement de 1% par volt appliqué. Nous sommes dans le régime de fort
Mode Δf /ΔV ΔQ/ΔV f (0) (Mhz) fmax/f (0) SWCNT1 1 1, 08% 26, 3% 32,5 20,4 2 1, 01% 7, 96% 203,7 8,9 SWCNT2 1 1, 07% 28, 1% 19,26 14,1 SWCNT3 1 1, 08% 33, 4% 4.97 12,75 SWCNT4 1 1, 05% 12, 5% 17.27 2,89
Ta b l e 2.1 – Accroissement relatif de la fréquence de résonance et du facteur de qualité (par
rapport au point de mesure le plus bas en tension) normalisé par la plage de tension explorée, pour chaque échantillon. On donne également f (0) = f0β2 la fréquence à tirage nulle déduite de l’ajustement et le rapport entre la fréquence maximale mesurée et f (0).
tirage pour lequel V /Vc 1 (voir section 2.4.1.3). Dans le cas d’une simple dilution le
facteur de qualité est alors proportionnel à V (Q = ω/γ avec ω proportionnelle à V en tirage fort et γ constant) donc si f augmente de 30% Q augmente de 30%. Ici l’augmentation du facteur de qualité excède largement les 30%, le modèle de dilution ne convient donc pas. Il
y a forcément une diminution de la largeur de la résonance.
2.5.1.2 Dissipation viscoélastique
Comme nous l’avons mentionné dans la partie précédente la fréquence de résonance croît linéairement de 1% par volt appliqué pour tous les échantillons et nous sommes dans le régime de fort tirage pour lequel V /Vc 1. Par contre en ce qui concerne le facteur de
qualité on peut distinguer deux groupes. Le premier mode de SWCNT1 ainsi que SWCNT 2 et 3 présentent une variation importante de Q. Le deuxième mode de SWCNT1 ainsi que SWCNT 4 ont une variation modérée de Q. SCWNT 4 est l’échantillon dont la fréquence du premier mode varie le moins avec la tension (fmax/f0le plus faible dans le tableau 2.1). Comme la fréquence de résonance est liée à la raideur par k = mω2 on peut en déduire que la force de rappel kx due au tirage électrostatique est moindre sur ce tube. Comme cet échantillon est aussi celui pour lequel le facteur de qualité du premier mode varie le moins, on en déduit que le phénomène de dissipation que nous étudions est intimement lié au tirage : si on a plus de tirage Q augmente donc l’énergie stockée est liée au tirage. Pour le deuxième mode de SWCNT 1 le tirage est le même que pour le premier mode et pourtant le facteur de qualité et la fréquence de résonance varient peu. Du fait de sa forme plus courbée, le second mode stocke plus d’énergie élastique que le premier mode. De cela on déduit que la dissipation est liée à l’énergie de flexion et non pas à celle due à
la force de tirage (si on a plus d’énergie de flexion Q diminue donc c’est l’énergie dissipée
qui est liée à l’énergie de flexion).
Q = 2π W ΔW = E1I(Y )2+ T (Y)2dx E2I(Y)2dx ∼ T (Y)2dx E2I(Y)2dx (2.67)
dis-2.5. FACTEURS DE QUALITÉ DE NANOTUBES DE CARBONE SOUS TENSION À TEMPÉRATURE AMBIANTE
sipation viscoélastique semble toute indiquée pour modéliser le phénomène. En effet dans ce modèle l’énergie dissipée est proportionnelle à l’énergie élastique de flexion (dénomi-nateur) et l’énergie stockée est proportionnelle à la force de tirage (numérateur). Comme nous sommes en régime de fort tirage l’énergie élastique intrinsèque
E1I(Y)2dx est
négli-geable devant l’énergie stockée par le tirage
T (Y)2dx. A déformée constante la dissipation
d’énergie par cycle ne change pas et l’énergie stockée est proportionnelle à T donc à V2 (cf équation (2.38)). Le facteur de qualité varie donc en V2 et on prévoit une plus forte augmentation que pour le modèle de dilution ou il varie en V . Mais si la fréquence varie de 30% alors Q varie de 69%, ce qui ne nous donne toujours pas un ordre de grandeur. Ce modèle seul ne suffira pas à expliquer les variations de Q observées.
Remarque : Dans le cas de la dissipation visqueuse nous avions un coefficient γ constant au numérateur de Q et une dépendance en ω donc en V au numérateur. Dans le cas présent nous avons un terme constant au dénominateur et un numérateur qui dépend de V2. Cela peut paraître surprenant mais les deux cas ne sont pas directement comparables. Dans le premier cas nous avons raisonné en fréquence ω et largeur de résonance γ. Dans le deuxième cas nous avons raisonné en énergie stockée et énergie dissipée. Si l’on veut comparer les numérateurs et dénominateurs des deux cas alors il faut écrire Q = ω2/(ωγ). Alors on voit
que la largeur γ est constante mais que l’énergie dissipée augmente avec ω, contrairement au deuxième cas ou elle est constante. Dans les deux cas l’énergie stockée est en ω2 (soit
V2).
2.5.1.3 Ancrage mou
Le modèle n’est toujours pas suffisant pour expliquer les variations de Q il nous faut donc réfléchir encore un peu sur les termes apparaissant dans l’expression du facteur de qualité. Jusqu’à maintenant nous avons considéré les forces en action sur le fil et la caractéristique physique qu’est le module Young, mais nous avons omis les influences géométriques. En effet une augmentation de Q peut aussi s’interpréter comme une augmentation de Y ou une diminution de Ydans l’équation (2.67), ces deux grandeurs étant liées à la courbure du tube. Quand la force de tirage devient grande devant les forces élastiques internes (en régime de tirage fort), la déformée du fil change. Dans ces conditions la courbure du fil augmente globalement et plus particulièrement à l’ancrage (nous illustrerons ce point dans la section 2.6.3). Dans ce cas de figure le terme
E2I(Y)2dx n’est plus constant, Y
augmente avec la courbure (plus une droite est courbée et plus sa pente change vite, la vitesse de changement de la pente est donnée par Y) et donc l’intégrale augmente aussi. En revanche les variations sur Y et l’intégrale associée sont moindres car la forme du tube est lisse. Nous nous concentrons donc sur Y. Cet effet doit limiter l’accroissement du facteur de qualité puisque nous avons prévu une augmentation du dénominateur. Or sur nos courbes nous observons qu’à partir d’un seuil de tension nous avons une augmentation brutale de Q au lieu de saturer. Cette région de forte variation est potentiellement proche de la tension pour laquelle le tube est arraché de la pointe.
L’effet qui nous intéresse se produisant à l’ancrage nous réétudions les conditions de bord en x = 0. Nous rappelons que les conditions classiques que nous avons utilisées sont pas de déplacement et pas d’angle. La condition de déplacement nul ne sera pas modifiée : le nanotube est fixé sur le catalyseur lui même fixé sur la pointe. En revanche il est envisageable qu’il puisse y avoir un angle non nul qui se forme à l’ancrage. En effet la force de tirage exercée sur le tube se répercute sur le catalyseur et celui-ci ayant une rigidité finie il est raisonnable d’envisager que sous l’effet d’un fort tirage il se déforme, permettant l’apparition d’un angle à l’ancrage. Du fait de cette condition l’augmentation de courbure attendue et le fort moment associé sont amoindris par cet ancrage mou. Nous modélisons cela avec un
F i g u r e 2.20 – Modélisation de l’ancrage en un ressort de torsion.
ressort de torsion (voir figure 2.20) qui fait le lien entre le moment fléchissant à l’ancrage et l’angle qui se forme. La deuxième équation de (2.33) devient donc :
Y(x = 0) = αY(x = 0) (2.68)
α est une grandeur sans dimension car nous avons normalisé les longueurs et les temps et
pour revenir à une grandeur non normalisée il faut la multiplier par L. Le ressort de torsion modélisé par l’équation précédente a une constante de torsion C = EI/(Lα). C est une grandeur réelle car nous ne considérons pas que l’ancrage induise de dissipation. La partie imaginaire de C pourrait modéliser la transmission d’ondes acoustiques dans la pointe via le catalyseur mais le désaccord d’impédance est à priori suffisamment grand pour que l’effet soit négligeable. En revanche α est complexe car le module d’Young viscoélastique est com-plexe. Cette nouvelle condition de bord permet d’empêcher l’énergie dissipée de trop
augmenter et donc de permettre au facteur de qualité de croître un peu plus avec le tirage.
Cependant l’évolution de Q reste monotone. L’angle à l’ancrage varie proportionnellement avec le moment qui s’exerce en ce point, donc la courbure à l’ancrage diminue graduellement quand le tirage devient suffisamment fort, et comme l’énergie dissipée est dominée par Y à l’ancrage (voir section 2.6.3) celle ci diminue graduellement. Nous n’avons donc toujours pas d’explication pour ce seuil à partir duquel Q varie rapidement.
2.5.1.4 Ancrage ajustable en tension
Finalement nous introduisons une dépendance en tension de C, ce qui va rendre la variation de Q non monotone dans la zone d’intérêt. En effet comme nous l’avons dit pour un des échantillons pour lequel nous avons observé une forte variation de Q une tension
légèrement supérieure au dernier point expérimental a été destructive. Pour
expliquer ce phénomène nous supposons que l’ancrage devient de plus en plus mou au fur et à mesure que le tirage augmente avant de finalement lâcher pour une tension seuil. Nous faisons ici l’hypothèse d’une rupture à la base et non le long du tube, ce qui est cohérent avec les observations expérimentales. Suite à une destruction de tube nous ne retrouvons plus de motif d’émission de champ. Si la rupture se produisait quelque part le long du tube, on devrait retrouver un motif au même endroit mais à une tension différente car la taille du tube a changée. Le modèle phénoménologique utilisé pour décrire cet ancrage mou accordable en fréquence est le suivant :
2.5. FACTEURS DE QUALITÉ DE NANOTUBES DE CARBONE SOUS TENSION À TEMPÉRATURE AMBIANTE C(V ) = (E)I L (VB2− V2) C12