2.2 T raitements, Outils
2.2.1 Analyse dynamique
2.2.1.1 Disrétisation du système d'équations, résolution pas à pas 48
Nous dérivons la disrétisation des équations du modèle à deux masses, elle du
modèle à une masse étantanalogue etsimpliéepar rapportà elle-i, dans leas oùles
deux ordes voales sont symétriques. Nousreprenons don les équations 2.26, que nous
érivons sous formedisrète.
H
oùn est l'indie utilisé pour ladisrétisation du temps, t est le pas temporel.
Nousrésolvons e système linéaireet nous obtenons des solutions du type
H
sontdesfontionsdesvariablesH
1
Ainsi, nous pouvons onnaitre pas à pas l'évolution des grandeurs, en fontion des
paramètresde ontlem;k;k
;r;P
sub
quenouspouvons hoisir defaireévoluerauoursdu
temps. La simulationnumérique que nous eetuons suit le shéma de la gure 2.11, ii
sans prise en ompte de la propagation et du ouplage aoustique dans les résonateurs,
que nous détaillerons dans la setion suivante. Ce shéma est valable quel que soit le
modèle à une masse, sans propagation ni ouplage aoustique.
Après une étape d'initialisation, haque étape suit le ours suivant. Tout d'abord,
les pentes des "plaques" de la géométrie sont alulées. Ensuite, la position du point
de séparation de l'éoulement est déterminée. Nous alulons alors le débit glottique et
sa dérivée, puis les fores de pression. Enn les nouvelles positions sont alulées et les
grandeurs etparamètres de ontrle mis àjour pour l'étapesuivante.
2.2.1.2 Propagation aoustique dans un modèle de onduit voal disrétisé
et onditions aux limites des résonateurs
Propagation aoustique dans un onduit voal disrétisé
Nous l'avons vu en introdution, l'utilisation de onduit voal représenté sous forme
d'une fontion d'aire, pour l'utilisation en synthèse de parole, est assez lassique dans
la littérature ([51, 72℄). Cela équivaut à une représentation du onduit voal disrétisé
et retiligne pouvant être vu omme une suession de ylindres de setions diérentes
omme dérit sur la gure 2.12. Nous ajoutons que es onduits ont la même longueur
onduit disrétisé en ylindres de mêmelongueur.
Fig. 2.12 Shémade troisylindres d'unonduit voaldisrétisénumérotéi,i-1eti+1,
de setion A
i
;A
i 1 etA
i+1
. Les pressionsaoustiquessont représentées par p +
i
(t) enx=0
pour l'onde progressive en entrée du ylindre i, p
i (t+
L
) en x=L pour l'onde en sortie
du ylindre i, et on raisonne de même pour lestubes i-1 et i+1
Nousappliquonsdon les équations2.19 et 2.18 à haque ylindre d'indiei et d'aire
de setionA
i
(x;t) est la pressionaoustique dans leylindre d'indiei, u
i
(x;t)est ledébit
aous-tique dans leylindre, p +
i et p
i
lesondes de pressionprogressive et régressive.
Sousl'hypothèsede ontinuité delapressionetdudébitaoustique àlajontionentre
les ylindresi et i+1, omptetenu des équations 2.33, nous pouvons érire
A
Enombinant es équations, nous obtenons
p
où r
est le oeient de réetion à la jontion d'indie i, et
i
sont des oeents de propagation.
Dans un ontexte de simulation numérique, ave disrétisation de la variable temps
omme dans la setion 2.2.1.1, nous hoisissons une fréquene d'éhantillonnage F
e qui
permet de faire les aluls de propagationpar simple déalage d'indie. Ainsi nous
hoi-sissons F
e
. Sil'on note n l'indiede l'éhantillontemporel ourant, les
équations2.35 deviennent
p
Conditions aux limites des résonateurs
A ladesription préédente, nousdevons ajouter lesonditions auxlimites de laglotte
ainsi que elles en sortie du onduit voal (rayonnement au niveau des lèvres) ou de la
trahée.
Entermed'impédane, laglotteest onsidérée ommeune paroid'impédane aoustique
innie. La ondition d'entrée, par ontinuité du débit et de la pression en sortie de la
glotteest érite de la manièresuivante,
p
(n) sont les pressions aoustique au niveau de laglotte.
Laglotteestenfaitdériteommeun"ylindre"partiulierplaéenamontdupremier
"ylindre"duonduitvoaldisrétisé.Al'autreextrémité,lerayonnementauxlèvres doit
êtreprisen ompte. Celaaétédéritdanslapartie2.1.2.4.Nousavons obtenudiérentes
expressions pour l'impédane de rayonnement aux lèvres. L'enjeu est ii de transposer
ettedesription dansledomainetemporelet disret.Apartir de l'expression Z(L
res ) de
l'impédane de rayonnement (ave L
res
la longueur totale du résonateur), nous érivons
leoeient de réexion
R (L
par la longueur des subdivisions du onduit voal, nous déterminons la réponse
impul-sionnelle r(n) du ltre à réponse impulsionnelle nie assoiée au oeient de réexion
fréquentiel R (L
res
). De ette réponse impulsionnelle, nous ne onservons qu'un nombre
réduitd'éhantillons, quiserventàreonstituerun ltredontlesaratéristiques
fréquen-tielles sont très prohes du oeient de réexion. La gure 2.13 montre un exemple
typiquede reonstrution du oeient de réexion à partir d'un nombre restreint de la
réponseimpulsionnelle.Nousvoyonsparexemplequel'approximationquenousproposons
montre ses limitespour lestrès faiblesrayons a.
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fréquence, [Hz]
Module, normalisé
Rayon du piston équivalent 0.001m
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0
Fréquence, [Hz]
Phase, [rad]
Rayon du piston équivalent 0.001m
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fréquence, [Hz]
Module, normalisé
Rayon du piston équivalent 0.02m
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0
Fréquence, [Hz]
Phase, [rad]
Rayon du piston équivalent 0.02m Théorie
Filtre approché
Fig. 2.13 Comparaison de l'expression théorique du oeient de réexion d'unpiston
rayonnant dans un plan, ave la réponse fréquentielle d'un ltre approhant la réponse
impulsionnellethéorique, pour deux rayonsde pistons diérents.
Une desription analogue peut être faite si l'on onsidère un résonateur amont
(tra-hée). La pression aoustique aux extrémités de la glotte modie la hute de pression
qui permet de aluler le débit glottique et les fores de pression. A haque étape de la
simulation dérite sur le shéma de la gure 2.11, nous érivons P
supra
(n) = p +
supra (n
1)+p
supra
(n 1). Le ouplage entre les mouvements des ordes voales et l'aoustique
des résonateursest don pris en ompte de ette façon.
Fig.2.14 Résolutiontemporellepas àpasdes équations du modèleà deuxmasses ou du
modèle à une masse, ave propagation et ouplage aoustique.