1.4 Ob jetif et plan de la thèse
2.1.3 Modèles méaniques de ordes voales
2.1.3.2 Modèle à deux masses
Généralités
Dans ette modélisation, haque orde voale est représentée par deux masses m
1 et
m
2
disposées surlagéométrie présentée dans lapartie2.1.1.1.Ces massessontliées entre
elles par un ressort de onstante de raideurk
etau reste du "orps" par des ressorts de
raideurk
1 ,k
2
etdes amortissementsdeonstanter
1 etr
2
.Lemodèleest shématisésurla
gure2.8.Noussupposeronsquelesmassessontégalesdonm
1
=m
2
= m
2
oùmestdon
la masse vibrante d'une orde voale. De même,nous aurons k
1
=k
2
=k et r
1
=r
2
=r.
Fig. 2.8 Représentation des ordes voales par un modèle à deux masses disposées sur
lagéométrie déritedanslapartie2.1.1.1.Les massessontliéesau restedu orpsetentre
elles par des ressorts k
r
;k
l
;k
et amortissements r
l
;r
r
, indie r pour la orde de droite et
laires. Par ontre haque orde voale pourra avoir des aratéristiques diérentes. Dans
e as, nous indierons les paramètres assoiés à haune des ordes par r pour la orde
de droite etpar l pour la orde de gauhe.
Mise en équation
Pour haune des ordes et pour haune des masses, nous érivons le prinipe
fon-damentalde ladynamique en supposant quelesmasses ontuniquement des mouvements
selon l'axedes ordonnées. On restreint ainsi le nombre de degrésde liberté dans le
mou-vement. A noter que Vilain [110℄ avait envisagé de ne pas restreindre les mouvements à
la diretion vertiale en ajoutant une ontrainte de onservation du volume des ordes
voales. Nousn'avons pas optépour e hoix.
Lesforess'exerçantsurhaquemassesontlesfores derappelliéesauxressorts,lesfores
de frottementsvisqueux liées auxamortissements, ainsique lesfores de pressions liées à
l'éoulement d'air traversant laglotte. Nousobtenons ainsi leséquations suivantes:
sontlespositionsdes massesetY
1l 0
lespositionsaurepos,
oùF
sont lesfores de pression alulées sur haune des masses,ave H
1
sont les ouvertures auniveau des masses 1et 2.
Dans la plus grande partie de e manusrit, nous supposerons que les deux ordes
voales ont un mouvement symétrique. La prise en ompte de l'asymétrie sera donnée à
titre d'appliation dans la partie 4, les raisonnements sont en eet analogues, le nombre
d'équations étanten faitmultipliépar deux.
Dansleassymétrique,déritsurlagure2.9,nouspouvons additionnerleséquations
orrespondantauxmasses1àdroiteetàgauhe,etauxmasses2àdroiteetàgauhe.Nous
obtenonsainsi leséquationssuivantes éritesenfontiondes ouverturesH =2Y =2Y
2 2r 2l
0 sont les ouvertures aureposau niveau de haune des masses.
Fig. 2.9 Représentation des ordes voales par un modèle à deux masses disposées sur
la géométrie dérite dans la partie 2.1.1.1. Dans e as, les deux ordes voales sont
symétriques, e qui réduitonsidérablement lenombre de paramètres de ontrle.
Nousdérivons alors unmodèle méaniqueontrolé parun jeude 8paramètres:m, k,
k
,Psub.Leouplageaveleuideesteetuéparl'intermédiairedesfores
depression.LapressionP
supra
estsupposéeégaleenmoyenneàlapressionatmosphérique.
Ses utuations sont dues à lapression aoustique à l'entrée du résonateur. Le ouplage
aoustique est donprisen omptedepart lamodiationde lahute depressioninduite
par ette utuation.
Calul des fores de pression
Lesfores de pressionsontalulées demêmequedéritparVilain[110℄.Ainsi,lafore
agissantsur haque masseest aluléeommelasommede deux omposantes (Fl
h1
pour la masse 2, l indiquant la omposante de gauhe, et r
la omposante de droite). Ces omposantes sont la somme des fores loales résultant
de la pression de l'éoulement d'air en haque pointdes plaques de la géométrie de
mo-masse1,lapressionen x
0
aune inuenenullealors quelapressionen x
1
aune inuene
maximale.Cela se traduitpar les équationssuivantes,
F
Collision des ordes voales
La ollision des ordes voales doit être vue sous deux aspets, l'aspet méanique
etl'aspet aérodynamique. En e qui onerne l'aspet aérodynamique, nous adapterons
le modèle en prenant notamment en ompte les eets visqueux ou l'inertie de
l'éoule-ment lorsde laollision(voirpartie 3).L'aspet méanique est luipris en omptepar un
modèle disret,quiontribuelui aussià lasimpliitédu modèle. Ainsi,telquedérit par
IshizakaetFlanagan[49℄,Lous etol.[60℄, ouVilain[110℄,noushoisissonsdedéterminer
laollisiondes ordes voales par une ouvertureritique H
.Si l'ouvertureauniveau des
masses H
1 et H
2
devient inférieur à ette ouverture ritique, alors nous hoisissons de
modier lesraideurset amortissementsde lafaçon suivante:
k
sont lesraideurset amortissements modiésen as de ollision.
Le hoix de la valeur à donner à l'ouverture ritique H
est disuté au hapitre 3.
Le nombre de paramètres de ontrle du modèle, bien qu'étant relativement faible,
resteimportant.Eneet,siertains,telsquelapressionsous-glottiqueP
sub
oulespositions
initialesdéritespar H
10 etH
20
ontunlienévidentavelaréalité,iln'enest pasde même
pour les autresparamètres, etil peut être déliatde leur donner des valeurs appropriées.
Simplier enore e modèle méanique est don justié par le fait de vouloir réduire
enore le nombre de paramètres de ontrle, rendant ainsi le lien ave la réalité plus
faile. Plusieurs simpliations du modèle à deux masses ouplées par une raideur de
ouplage k
peuvent être envisagées omme par exemple la transition vers un modèle
à deux masses ouplées temporellement tel que dérit par Titze [100℄ et Avanzini [5℄.
Le prinipe de la résultante dynamique est appliqué uniquement sur la première masse.
Le mouvement de la seonde masse est alors déduit de elui de la première par simple
déphasage temporel. Le retard entre les deux masses est xé à l'avane et permet de
reproduire des modes d'osillations ave une omplexité moindre que le modèle à deux
masses. De fait, en imposant un retard nul, nous réduisons alors es desriptions à un
modèleàunemasse,prohe deeluidéritparFlanaganetLangdraf[34℄.Nousdétaillons
ii e dernier modèle, ave une présentation néanmoins diérente de elle lassiquement
utiliséepuisquelagéométriesurlaquelleils'appuitestelledéritedanslapartie2.1.1.1et
non unegéométrie"retangulaire"ommedéritedans[34℄.Laomparaisondesrésultats
obtenusave lesdiérentsmodèlesthéoriques sera eetuée dans lapartie Validation.
Modèle à une masse
Le modèle à une masse de orde voale tel que l'ont dérit Flanagan et Langdraf [34℄
est iiadapté sur la géométrieprésentée dans la partie2.1.1.1.
Fig. 2.10 Représentation des ordes voales par un modèle à une masse. Cette masse
ommedérit sur la gure 2.10.
Leprinipedeladynamiqueappliquéàlamasseenprojetionsurl'axevertials'érit:
2
H(t)
t 2
+ r
m H(t)
t +
k
m
(H(t) H
0 )=
2
m
F(H(t);P
sub
;P
supra
) (2.30)
Le alul des fores est détaillé en annexe, il est largement simplié par rapport au
modèle préédent. Ave ette desription, nous supprimons un paramètre de ontrle: le
ouplage entre les masses. En ontrepartie, nous ne pourronsplus reproduire qu'un seul
mode de vibrationontre deux pour lemodèleàdeux masses.De plus,ave e modèle,il
est impossible de simuler des osillationsen l'absene d'un ouplage aoustique oud'une
perturbation de P
sub
([16℄).
2.2 Traitements, Outils
Les modèles présentés ii n'ont de sens que dans la mesure oùils permettent
d'expli-quer ou de quantier des phénomènes observés dans la réalité, "in-vitro" ou "in-vivo".
Pour ela, nous devons être apable d'extraire de es modèles des grandeurs
araté-ristiques qui pourront être reliées à des paramètres pertinents lassiquement observés
dans ledomainede la parole.Nous réalisonsdon une analysedynamique du modèle qui
onsiste en la disrétisation des équations diérentielles pour une résolution temporelle
pas à pas. Nous pouvons alors simuler le omportement des ordes voales et observer
des paramètres pertinents tels que le débit glottique U
g
(t), la dérivée du débit dU
g
dt , la
pressionaoustique rayonnée auniveau des lèvres, où enorel'ouvertureglottique
repré-sentée par H
1
(t) et H
2
(t). Nous eetuons aussi une analyse de stabilité des équations,
qui permet de déterminer rapidement, pour un jeu de paramètres de ontrle du
mo-dèle(m;k;k
;r;H
10
;H
20
;P
sub
;P
supra
),lespressionsde seuiletlafréquenefondamentaledes
osillations.
2.2.1 Analyse dynamique
Ils'agit dondedisrétiser leséquationsdes modèlesthéoriques déritsi-dessus pour
les résoudre pas à pas. Nous dérivons le shéma de résolution et ses diérentes étapes.
Ensuite,nous prenons en ompte lapropagation dans lesrésonateurs ouplés à lasoure
(voirAppliations, hapitre 4).
2.2.1.1 Disrétisation du système d'équations, résolution pas à pas
Nous dérivons la disrétisation des équations du modèle à deux masses, elle du
modèle à une masse étantanalogue etsimpliéepar rapportà elle-i, dans leas oùles
deux ordes voales sont symétriques. Nousreprenons don les équations 2.26, que nous
érivons sous formedisrète.
H
oùn est l'indie utilisé pour ladisrétisation du temps, t est le pas temporel.
Nousrésolvons e système linéaireet nous obtenons des solutions du type
H
sontdesfontionsdesvariablesH
1
Ainsi, nous pouvons onnaitre pas à pas l'évolution des grandeurs, en fontion des
paramètresde ontlem;k;k
;r;P
sub
quenouspouvons hoisir defaireévoluerauoursdu
temps. La simulationnumérique que nous eetuons suit le shéma de la gure 2.11, ii
sans prise en ompte de la propagation et du ouplage aoustique dans les résonateurs,
que nous détaillerons dans la setion suivante. Ce shéma est valable quel que soit le
modèle à une masse, sans propagation ni ouplage aoustique.
Après une étape d'initialisation, haque étape suit le ours suivant. Tout d'abord,
les pentes des "plaques" de la géométrie sont alulées. Ensuite, la position du point
de séparation de l'éoulement est déterminée. Nous alulons alors le débit glottique et
sa dérivée, puis les fores de pression. Enn les nouvelles positions sont alulées et les
grandeurs etparamètres de ontrle mis àjour pour l'étapesuivante.
2.2.1.2 Propagation aoustique dans un modèle de onduit voal disrétisé
et onditions aux limites des résonateurs
Propagation aoustique dans un onduit voal disrétisé
Nous l'avons vu en introdution, l'utilisation de onduit voal représenté sous forme
d'une fontion d'aire, pour l'utilisation en synthèse de parole, est assez lassique dans
la littérature ([51, 72℄). Cela équivaut à une représentation du onduit voal disrétisé
et retiligne pouvant être vu omme une suession de ylindres de setions diérentes
omme dérit sur la gure 2.12. Nous ajoutons que es onduits ont la même longueur
onduit disrétisé en ylindres de mêmelongueur.
Fig. 2.12 Shémade troisylindres d'unonduit voaldisrétisénumérotéi,i-1eti+1,
de setion A
i
;A
i 1 etA
i+1
. Les pressionsaoustiquessont représentées par p +
i
(t) enx=0
pour l'onde progressive en entrée du ylindre i, p
i (t+
L
) en x=L pour l'onde en sortie
du ylindre i, et on raisonne de même pour lestubes i-1 et i+1
Nousappliquonsdon les équations2.19 et 2.18 à haque ylindre d'indiei et d'aire
de setionA
i
(x;t) est la pressionaoustique dans leylindre d'indiei, u
i
(x;t)est ledébit
aous-tique dans leylindre, p +
i et p
i
lesondes de pressionprogressive et régressive.
Sousl'hypothèsede ontinuité delapressionetdudébitaoustique àlajontionentre
les ylindresi et i+1, omptetenu des équations 2.33, nous pouvons érire
A
Enombinant es équations, nous obtenons
p
où r
est le oeient de réetion à la jontion d'indie i, et
i
sont des oeents de propagation.
Dans un ontexte de simulation numérique, ave disrétisation de la variable temps
omme dans la setion 2.2.1.1, nous hoisissons une fréquene d'éhantillonnage F
e qui
permet de faire les aluls de propagationpar simple déalage d'indie. Ainsi nous
hoi-sissons F
e
. Sil'on note n l'indiede l'éhantillontemporel ourant, les
équations2.35 deviennent
p
Conditions aux limites des résonateurs
A ladesription préédente, nousdevons ajouter lesonditions auxlimites de laglotte
ainsi que elles en sortie du onduit voal (rayonnement au niveau des lèvres) ou de la
trahée.
Entermed'impédane, laglotteest onsidérée ommeune paroid'impédane aoustique
innie. La ondition d'entrée, par ontinuité du débit et de la pression en sortie de la
glotteest érite de la manièresuivante,
p
(n) sont les pressions aoustique au niveau de laglotte.
Laglotteestenfaitdériteommeun"ylindre"partiulierplaéenamontdupremier
"ylindre"duonduitvoaldisrétisé.Al'autreextrémité,lerayonnementauxlèvres doit
êtreprisen ompte. Celaaétédéritdanslapartie2.1.2.4.Nousavons obtenudiérentes
expressions pour l'impédane de rayonnement aux lèvres. L'enjeu est ii de transposer
ettedesription dansledomainetemporelet disret.Apartir de l'expression Z(L
res ) de
l'impédane de rayonnement (ave L
res
la longueur totale du résonateur), nous érivons
leoeient de réexion
R (L
par la longueur des subdivisions du onduit voal, nous déterminons la réponse
impul-sionnelle r(n) du ltre à réponse impulsionnelle nie assoiée au oeient de réexion
fréquentiel R (L
res
). De ette réponse impulsionnelle, nous ne onservons qu'un nombre
réduitd'éhantillons, quiserventàreonstituerun ltredontlesaratéristiques
fréquen-tielles sont très prohes du oeient de réexion. La gure 2.13 montre un exemple
typiquede reonstrution du oeient de réexion à partir d'un nombre restreint de la
réponseimpulsionnelle.Nousvoyonsparexemplequel'approximationquenousproposons
montre ses limitespour lestrès faiblesrayons a.
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fréquence, [Hz]
Module, normalisé
Rayon du piston équivalent 0.001m
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0
Fréquence, [Hz]
Phase, [rad]
Rayon du piston équivalent 0.001m
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fréquence, [Hz]
Module, normalisé
Rayon du piston équivalent 0.02m
0 0.5 1 1.5 2
x 10 4
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5 0
Fréquence, [Hz]
Phase, [rad]
Rayon du piston équivalent 0.02m Théorie
Filtre approché
Fig. 2.13 Comparaison de l'expression théorique du oeient de réexion d'unpiston
rayonnant dans un plan, ave la réponse fréquentielle d'un ltre approhant la réponse
impulsionnellethéorique, pour deux rayonsde pistons diérents.
Une desription analogue peut être faite si l'on onsidère un résonateur amont
(tra-hée). La pression aoustique aux extrémités de la glotte modie la hute de pression
qui permet de aluler le débit glottique et les fores de pression. A haque étape de la
simulation dérite sur le shéma de la gure 2.11, nous érivons P
supra
(n) = p +
supra (n
1)+p
supra
(n 1). Le ouplage entre les mouvements des ordes voales et l'aoustique
des résonateursest don pris en ompte de ette façon.
Fig.2.14 Résolutiontemporellepas àpasdes équations du modèleà deuxmasses ou du
modèle à une masse, ave propagation et ouplage aoustique.
2.2.2 Analyse de stabilité
L'analyse dynamique donne aès aux variationstemporelles des variables et permet
d'observer le omportement dynamique des modèles, les modes de vibrations. D'autres
paramètres sont pertinents à observer en parole, il s'agit des fréquenes fondamentales
d'osillationsetdes pressionsde seuild'osillation(pressionsous-glottiqueP
sub
néessaire
pour amorerl'osillationdes ordesvoales). Ces paramètresvontpouvoirêtre
détermi-nés par une analyse de stabilité du système, dérite par Cullen et ol. [24℄, Vilain [110℄,
sommed'unevaleuràl'équilibreetd'unevaleurutuanteautourdeetteposition
d'équi-libre. Par exemple pour une grandeur A donnée, nous érivons A =
A+a, où
A est la
valeur à l'équilibre et a la utuation autour de et équilibre. Nous analysons ensuite
les valeurs propres du système lors de sa utuation autour d'une position d'équilibre,
expliitée selon la méthode dérite à la setion 2.2.2.1. Celles-i nous permettent de
dé-terminer lespressions de seuil d'osillation et lafréquene fondamentale des osillations,
en fontion des paramètres de ontrle du modèle (m;k;k
2.2.2.1 Calul des positions d'équilibre
Poureetuerl'analysede stabilité,nous avonsbesoin dealulerlespositions
d'équi-libre du système autour desquelles interviendront les utuations. Nous utilisons une
méthodedu pointxeappliquéesur leséquationsméaniquesouplées àladesriptionde
l'éoulement.La position d'équilibreest aluléepar itérationssuessives. Nous
dénis-sonsleveteurx
n
(n)℄,nétantlenombred'itérations.Nous
dénissons alors lafontion F de plusieursvariablesqui au veteur x
n
assoiele veteur
F(x
(n)℄. Lesvaleurs du veteurF(x
n
) sont alulées de
la manièresuivante:
F
L'objetif est alors de déterminer les valeurs des omposantes de x
n
qui annulent
F(x
n
), don qui orrespondent à une position d'équilibre (vitesse et aélération nulle).
Pour arriverà e veteur solution,nous suivons laméthode du pointxe:
1. initialisationdu veteurx
0
ave lespositionset vitesses initiales.
2. aluldeF(x
à lavaleurde lapréision souhaitée.
3. si la préisiondésirée est atteinte, l'itérations'arrête, sinon, nous passons àl'étape
suivante.
4. aluldelamatrieJaobienneassoiéàF(x
0
)(resp.F(x
n
)àl'étapen),equi
équi-vaut dans le domaine des fontions à une seule variable et à une seule omposante
à alulerla dérivée _
F(x ) (resp.
_
F(x )) de F en x (resp. x ).
0 n 1 n+1
Nous obtenons ainsi les positions d'équilibres du système méanique ouplé à
l'éou-lement d'air.
2.2.2.2 Linéarisation des équations du système
Nousdétaillonsiilalinéarisationdeséquationsobtenuesavelemodèleàdeuxmasses
de la setion 2.1.3.2. Les grandeurs que nous déomposons omme dérit préédemment
sont:
Notons qu'ii nous n'avons onsidéré qu'une seule utuation pour haune des
pres-sions, e qui équivaut à ne onsidérer qu'une seule fréquene de résonane de haundes
résonateursaoustiques. Pour onsidérerdes résonanes d'ordressupérieurs,nous
ajoute-rons don des utuations supplémentaires aux termes de pression.
Les utuations des fores de pressions s'érivent en fait en fontion des autres
utua-tions, de part leur dépendane. Ainsi,nous obtenons:
f
exemple le alul de
où eq remplae
est eetué de la manière
suivante:
oùdh est la utuation de l'ouverture au niveau de la première masse, xée pour les
simulations àla valeur dh=10 10
.
Nouspouvons alors réérireleséquations 2.26,en injetant lestermesainsi
déompo-sés. Enonservant uniquement lapartie utuante, nous obtenons:
Notons que nous obtenons ii deux équations mais qu'il y a quatre grandeurs
u-tuantes (H
1
). Pour obtenir autant d'équations que d'inonnues, de
façon àontinuer l'analyse, nous avons deux solutions.
Lapremière onsisteà onsidérerune ouplusieursvaleurs utuantes ommeonstantes.
Par exemple, nous serons amener par la suite à supposer une pression sous-glottique
onstante (pas de ouplage ave la trahée). Les termes dépendant de ette utuation
disparaissent.De mêmesinous ne onsidérons auunouplage aoustique, lestermes qui
sont éritsen fontionde P
sub etP
supra
disparaissentetde faitnous obtenonsun système
de deux équations àdeux inonnues, dont nous pouvons étudierlastabilité.
La seonde solution onsiste à tenir omptedu ouplage aoustique ave les résonateurs
amontetaval(trahéeetonduitvoal).Nousutilisonspourelalesimpédanesd'entrées
des résonateursdéritesdanslapartie2.1.2.3.Dees impédanes,nousextrayons unepar
unelesrésonanesaoustiquesommeelaestindiquésurlagure2.15.Pluspréisément,
nousséletionnonslapremièrerésonaneetnousdéterminonssapulsation,son fateurde
qualité etson amplitude. Nousfaisons de même pour les résonanes d'ordre 2 et3, dont
tique ave le onduit voal est signiatif seulement lorsque la fréquene fondamentale
des osillations est prohe de la fréquene d'un formant du onduit voal (typiquement
le premier formant dans le as de la parole normale) tel que ela a été dérit par
Ro-thenberg, [78℄. L'utilisation des premières résonanes aoustiques uniquement est don
justiée, nous auronsl'oasiond'y revenir à lasetion 3.3.2.
Fig.2.15 Extration d'unerésonanede l'impédanederayonnementensortied'undes
résonateurs. Z
a
est l'amplitude de la résonane, !
a
=2f
a
est la pulsation de résonane,
et Q
a
son fateur de qualité
Ainsi, nous réduisons l'aoustique du résonateur à un nombre ni d'osillateurs du
seondordredéritpar des équationsdiérentiellesdu typede 2.44.Cettedesription est
en fait équivalente à la théorie linéaire du onduit voal, dérit par Flanagan [32℄, mais
oùl'on prend en ompteuniquement les premières résonanes aoustiques du résonateur
oùl'on prend en ompteuniquement les premières résonanes aoustiques du résonateur