Dispositif expérimental

Dans cette partie, nous allons décrire l’expérience que nous avons menée pour exami- ner les propriétés de la fonction de partition ZN Vf
. Ces résultats ainsi que la discussion

qui précède ont été publiés dans [106].

Dispositif Nous avons choisi pour cette étude un système granulaire qui consiste en un récipient dans lequel on verse un grand nombre de fois une assemblée granulaire modèle. Notre récipient est en fait une cellule de Hele-Shaw constituée de deux plaques de verre rectangulaires larges de 50 cm et hautes de 60 cm, séparées par un interstice uniforme de 3,5 mm. Cette cellule bidimensionnelle est remplie d’une unique couche constituée de 5000 cylindres de laiton de deux tailles différentes et en nombres égaux, ce qui permet d’obtenir, quand la cellule est verticale, un empilement homogène et désordonné. Les cy- lindres - que nous appellerons les "grains" dans la suite - sont percés en leur centre. Ce sont en fait des entretoises du commerce. Ils occupent approximativement la moitié du volume total de la cellule. Les deux types de grains utilisés ont une épaisseur de 3mm, mais des diamètres respectifs ds = 4mm pour les petits et dl= 5mm pour les gros. Nous

choisissons ds comme unité de longueur dans toute la suite. Les aires respectives des

grains sont donc dans ces unités v0

s = π4 ' 0.78 pour les petits et v 0 l = π 4  dl ds 2 ' 1.23 pour les gros. Nous avons d’autre part utilisé deux familles de grains, dont les tailles sont les mêmes, mais qui possèdent des propriétés de surface différentes. La première famille consiste en des cylindres métalliques entièrement lisses, et dont le coefficient de frotte- ment statique vaut approximativement µ = 0.35. La seconde famille est constituée de cylindres métalliques dont la surface périphérique est crénelée. Ces créneaux s’étendent parallèlement à la génératrice des cylindres, ont un profil approximativement carré, et ont une largeur typique de l’ordre de 0.1. Cet état de surface porte le nom de moletage dans

l’industrie, puisque l’objet final est une petite molette. Nos différentes mesures du coeffi- cient de frottement statique pour ces grains indiquent µ ' 0.5. Enfin, le bord inférieur de la cellule est muni d’un dispositif coulissant sur une amplitude de l’ordre du centimètre qui est en contact avec les grains sur toute la largeur du système. Lorsque la cellule est en position verticale, un système s’apparentant à un marteau peut venir frapper cette par- tie mobile, ce qui nous permet de compacter légèrement le système, et d’explorer ainsi différentes valeurs de la densité. Un schéma accompagné d’une photographie de notre dispositif sont représentés sur la figure 2.1.

Protocole Le but de l’expérience est de générer un grand nombre de configurations sta- tiques aléatoires différentes de cette assemblée de grains, puis d’extraire la statistique de ces configuration en en analysant des images. Notre protocole a été choisi de façon à ex- plorer de la manière la plus aléatoire possible l’espace des configurations accessibles à notre système, bien qu’une caractérisation quantitative de ce caractère aléatoire est ex- périmentalement difficile. Nous avons cependant vérifié que la répartition spatiale des volumes interstitiels est très différente d’une image à l’autre. Une série de données cor- respond à 5000 cycles définis de la manière suivante. Au début du cycle, la cellule est en position verticale. Elle est ensuite entraînée par un moteur de manière à faire un tour complet autour de son axe à une vitesse constante de 6˚/s. Pendant ce cycle élémentaire, les grains tombent de l’autre coté de la cellule, puis retombent du coté où ils se trouvaient au début du cycle. On laisse ensuite l’empilement relaxer pendant quelques secondes, de manière à ce qu’il se stabilise dans un état mécaniquement stable, puis on prend une image dans une région située au coeur de cet empilement sur laquelle figurent environ 1000 grains. Une fois cette image acquise, on fait vibrer le fond du système pendant dix secondes à une fréquence de 10 Hz et avec une amplitude de 5mm, de manière à produire des réarrangements et une légère compaction du système. On prend alors une deuxième image de la même région du système. Il faut bien noter que la vibration n’est pas destinée

FIG. 2.1: En haut à gauche, dispositif expérimental. En haut à droite, schéma de la tes- sellation de Laguerre. En bas, photographie de l’expérience.

ici à étudier la dynamique de compaction de l’empilement, mais seulement à générer un autre état de l’empilement de densité différente.

Traitement La traitement des images ainsi obtenues est ensuite réalisé en deux étapes. La première consiste à repérer le centre des grains dans les images, ainsi que leur dia- mètre. Pour cela, on utilise une bibliothèque de traitement proposant des outils de haut

niveau qui sont assemblés grâce au logiciel LabView et appliqués à la série d’images. La première étape dans cette séquence de filtres est une simple binarisation, dont l’inten- sité de coupure est choisie de manière à isoler les trous qui sont percés dans les grains. Suivent ensuite des étapes de nettoyage de l’image, comme la suppression des petits ob- jets, ou l’érosion des zones actives. On repère ensuite les objets circulaires en utilisant le critère de circularité de Heywood, défini comme le périmètre de la zone active ramené au périmètre du cercle ayant la même aire. La mesure obtenue nous donne les positions des grains présents dans l’image ainsi que leurs aires, dont on déduit leurs diamètres en séparant les gros des petits. La seconde étape consiste à construire la tessellation de La- guerre des centres des grains pondérés par leurs diamètres. La tessellation de Laguerre est une généralisation de la tessellation de Voronoï qui permet d’obtenir des arrêtes qui ne coupent pas les grains [107]. Un exemple d’une telle tessellation est schématisé sur la figure 2.1. Les définitions de ces notions géométriques sont données en annexe. Une fois les cellules de Laguerre calculées, on calcule leurs aires et on enregistre celles-ci ainsi que les positions et types des grains. On a de cette manière obtenu trois séries de données, qui correspondent respectivement aux grains lisses non vibrés, aux grains lisses vibrés, et aux grains moletés non vibrés.