k=0
(yk− Hk(xk))tR−1k (yk− H(xk)), (V.33)
Jo(xo) fait intervenir l’état du système à différents instants : xk+1 = Mk(xk) et un instant initial connu xo. Lors de l’assimilation 4D-VAR, ce sont les distances des obser-vations yk aux sorties du modèleHk(xk)aux différents instants qui sont pris en compte. Les schémas 3D-VAR et 4D-VAR pourraient alors contraindre les différents produits dans le cycle de l’eau sans hypothèse d’erreur gaussienne comme c’est le cas pour l’approche par filtre de Kalman d’ensemble (Section V.1.2.b).
1.4 Discussion sur les méthodes d’intégration dans
le contexte de l’étude du cycle de l’eau par les
satellites
Les caractéristiques des méthodes présentées par Pan et Wood (2006), Rodell et al. (2015) et Aires (2014) sont synthétisées dans la Table V.1.
Si (Pan et Wood, 2006) est le premier papier de l’équipe de Princeton sur l’implé-mentation d’une contrainte hydrologique dans le modèle de surface VIC, plusieurs ar-ticles ont été publiés sur cette approche, d’abord sur l’assimilation au niveau du bassin
Princeton NASA NEWS ESA
Méthodes Simple Weighting Estimateur Simple Weighting d’intégration + Kalman contraint optimal + Post-Filtering
References Pan et Wood (2006) Rodell et al. (2015) Aires (2014); Munier et al. (2014) Sahoo et al. (2011); Pan et al. (2012) L’Ecuyer et al. (2015) Munier et Aires (2017)
Stratégie Assimilation dans VIC Optimisation des flux Optimisation Sources Observations + modèle Observations + modèle Observations Bilan
Continental seulement Continental, océanique Continental, océanique & atmosphérique & atmosphérique
Échelle spatiale bassin3 continent pixel et bassin Multiplicité des oui
pour E seulement oui
produits fusion de données fusion de données Référence pour jauges produit moyen prescrit (littérature) les incertitudes & produit moyen
Multi-échelle spat. non oui : continents oui : bassin
et un océan et sous-bassins
Multi-échelle temp. non : mensuel non : annuel + interpolation4 oui : mensuel & annuel
Vecteur d’état XT=[PlElRl∆Sl]t F=[P E R Div]t Xl=[PlElRl∆Sl∆WlDivl]t
sur contient
Res=[∆S ∆W]t Xo=[PoEo∆SoGib]tpour la mer
Xl o=[XlXo] pour les deux
Covariance BTest la matrice de covariance de XT SResand SF Bl oest la matrice de covariance de Xl o
d’erreurs matrices de covariance Math. GT=[1,-1,-1,-1] A : Matrice du Bilan5 Gl= [1 −1 −1 −1 0 0 −1 1 0 0 −1 −1 ] Go= [1 −1 −1 0 0 −1 −1 1 0 −1 −1 0 ] Ll o= [ 0 0 Al and Asea 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] Gl o=( Gl 0 Ll o Go )
Équation de fermeture GT· XT= 0 Res=A· F Gl o· Xl o= r, r ∼ N (0,∑)
with√∑=2 mm/month Type de contrainte
contrainte forte contrainte forte + contrainte relaxée
interpolation Solution XT c=XT+KT·(0 −GTXT) Fc= F +Q−1JtS−1 Res(Res − AF ) Xl oc= (I − KP FGl o∑−1Gt l o) · Xl o avec KT= BTGT· (GTBTGt T)−1 J le Jacobien de Res p/r à F KP F= (B−1 l o+Gl o∑−1Gt l o)−1 et Q = (JtS−1 ResJ + S−1 F )−1
TABLEV.1 – Les trois principales initiatives en matière de contrainte de fermeture du cycle de l’eau ("Water Cycle" WC en anglais) et leurs différences. Dans la troisième colonne, les ca-ractères en gras indiquent les nouvelles caractéristiques de la méthodologie présentée dans ce travail de thèse. Les indices sont : l pour la terre, o pour l’océan, les deux incluent l’atmo-sphère au-dessus de leurs surfaces. Toutes les notations sont résumées dans la Table V.2.
versant d’une rivière (Pan et Wood, 2006 ; Pan et al., 2012 ; Sahoo et al., 2011) à l’aide de plusieurs estimations satellites pour chacune des variables prenant en compte leurs incertitudes (Sheffield et al., 2009). Une assimilation au niveau du pixel, sur l’ensemble du globe a ensuite été entreprise dans VIC (Zhang et al., 2017). Les bases de données d’"analyse", résultant de ces études, ne sont pas des produits satellites pur, puisque le modèle du VIC est largement utilisé pour leur genèse. De plus, l’utilisation d’un mo-dèle de surface limite fortement le bilan hydrique à sa composante continentale. Même relaxée, cette contrainte peut déséquilibrer le bilan hydrique dans l’atmosphère.
Dans (Rodell et al., 2015), le cycle de l’eau est fermé dans ses trois dimensions (continental, océanique et atmosphérique) et avec le cycle d’énergie (L’Ecuyer et al.,
2015). Cependant, cette fermeture est obtenue à l’échelle de 7 continents et un méga-océan, et annuellement seulement. Rodell et al. (2015) utilisent alors les résultats ob-tenus pour fermer le cycle de l’eau à l’échelle du mois. Ils utilisent ensuite une inter-polation de Lagrange entre la somme des mois et l’année pour obtenir une contrainte "relaxée" et plus réaliste mensuellement. Ils utilisent ce même schéma d’interpola-tion pour obtenir une fermeture à l’échelle des océans (considérant alors 9 mers et océans dont la mer Méditerranée et la mer Noire) à partir de la fermeture du méga-océan. Rodell et al. (2015) utilisent plusieurs équations seulement valables à grandes échelles temporelles et spatiales qu’ils assouplissent ensuite à plus fine échelle par une interpolation de Lagrange. Dès lors ces estimations à plus fine échelle ne sont pas optimales. De plus, ils négligent les variations du contenu en eau dans le sol et dans l’atmosphère aussi bien annuellement que mensuellement. Certains termes d’échange entre bassins océaniques ne sont pas quantifiés. En particulier, entre la mer Noire et la mer Méditerranée (détroit du Bosphore) et entre la Méditerranée et l’Océan Atlan-tique (détroit de Gibraltar). Si Rodell et al. (2015) intègrent des produits satellites, leur approche n’est pas d’utiliser les nombreuses sources d’information disponibles pour chaque composante du cycle de l’eau. En effet seule l’évapotranspiration et la conver-gence d’humidité atmosphérique sont quantifiées par plusieurs sources (satellites et ré-analyses). Les autres variables ne sont estimées que par un unique produit, ce qui peut limiter la réduction d’erreurs aléatoires (voir le chapitre 5). En outre la précipitation n’est estimée que par GPCP et l’information du ruissellement est issue d’une fusion entre le modèle de surface VIC et les rivières observées. La fermeture est à l’échelle globale et on peut supposer que les résidus du bilan hydrique sont encore significatifs à l’échelle régionale et mensuelle. Seules les séries chronologiques des moyennes spatiales sont corrigées et aucune tentative de spatialisation n’a été entreprise.
Aires (2014) a comparé plusieurs méthodologies (Table V.1) pour intégrer différents produits satellites avec une contrainte de fermeture du bilan hydrique. Aucun modèle de surface n’a été utilisé dans ces méthodes d’intégration, ce qui rend le produit obtenu intéressant pour l’étalonnage et la validation de modèles. Parmi les méthodes d’inté-gration, Aires (2014) présente l’utilisation de l’estimateur optimal, proche de celui utilisé par Rodell et al. (2015). L’autre méthode proposée, appelée Filtrage post-traitement (PF), utilise la contrainte d’égalité présentée dans (Pan et Wood, 2006) mais l’applique hors du cadre d’assimilation dans le modèle VIC par filtre de Kalman puisqu’il s’agit de l’appliquer sur une "ébauche" issue directement des observations satellites (SW). La méthode est alors appelée SW+PF. Cette méthode SW+PF a été appliquée par Munier et al. (2014) au-dessus du bassin du Mississipi avec une validation du concept utilisant des donnéesin situ. Puis elle a été utilisée sur plusieurs bassins des grandes rivières du globe (Munier et Aires, 2017) en utilisant des ensembles de données sa-tellites pourP, E et∆S et des observations in situpourR. Si une attention particulière est portée sur la multiplicité des sources d’informations satellites pour les différentes composantes du cycle de l’eau, en particulier à travers l’approche de fusion SW, seule la composante continentale du cycle est fermée dans ces études.
2 Nouveaux développements théoriques et
conditions expérimentales
Dans le cadre de cette thèse, nous sommes partis des développements menés par Aires (2014) ; Munier et al. (2014) ; Munier et Aires (2017) sur la mise en place d’une contrainte hydrologique, afin d’intégrer les produits satellites pour l’analyse du cycle de l’eau. On se focalise ici sur la région méditerranéenne. Plusieurs développements ont été ajoutés au cadre de base (Aires, 2014) et sont détaillés dans cette section. Ils sont indiqués en gras dans la Table V.1. Les notations sont données dans la Table V.2.