, L(i )l o = [ 0 0 A(i )l Asea 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , (V.41) Go= [ 1 −1 −1 0 0 1 −1 1 0 −1 −1 0 ] .
La dernière ligne de Gl o représente la fermeture globale du cycle de l’eau, dans tous les sous-bassins et avec l’océan. La dimension des matrices de covariance Bl o
et ∑ est augmentée en fonction de la nouvelle taille du vecteur d’état Xl o. On consi-dère une plus faible incertitude sur les deux dernières équations Gl o(13 : 14,:) avec ∑
(13,13) = ∑(14,14) = 2 mm. Cette fermeture plus contrainte à l’échelle du bassin total permet une meilleure correction de la divergence d’humidité pour laquelle les flux entre sous-bassins sont négligés lors de leurs fermetures inter-dépendantes. Aucun terme croisé dansBl o et∑n’est inclus, ce qui signifie qu’il n’y a pas de dépendance d’erreurs dans la première estimation XSW, ainsi que dans la fermeture entre les sous-bassins.
La Figure V.7 montre comment la fermeture inter-dépendante des sous-bassins avec le bassin total et la partie océanique assure un équilibre du bilan hydrique multi-échelle : à grande multi-échelle (bassin total) et à l’multi-échelle du sous-bassin (voir Figure V.9).
2.4 Contraintes hydrologiques à plusieurs échelles
tem-porelles
Il est également possible d’imposer une contrainte sur la fermeture du cycle de l’eau simultanément à l’échelle mensuelle et annuelle. Une fermeture mensuelle as-sure une fermeture annuelle par sommation, bien que la relaxation ne soit pas la même à l’échelle mensuelle (moins forte) ou annuelle (plus forte).
Mais la fermeture annuelle nous permet d’imposer une fermeture en supposant qu’aucun changement de contenu en eau dans le sol n’est intervenu à l’échelle an-nuelle, ce qui représente une contrainte supplémentaire sur ∆Sl et permet de s’assu-rer qu’aucun biais n’est introduit pour cette variable pendant le processus PF. Dans ce cadre, les fermetures mensuelles deviennent inter-dépendantes dans l’année et le nouveau vecteur d’état devient :
Xyeart = [XJan, ··· , XDec]t, (V.42) avec Xm le vecteur d’état total X défini dans Eq. (V.39), pour le mois m. La ferme-ture est appliquée indépendamment pour les quatre années de la période 2004-2009 mais les 12 mois de chaque année ont maintenant une inter-dépendance dans leur fermeture.
La matrice de fermetureG Al oqui inclut la fermeture pour les douze mois de l’année et l’année complète est dérivée de la contrainte mensuelle Gl o et est définie comme suit :
04 05 06 07 08 09 0 50 100 Precip. (mm) SW SW+PFglob SW+PFsub 2 4 6 8 10 12 0 50 100 04 05 06 07 08 09 0 50 100 Evap. (mm) 2 4 6 8 10 12 0 50 100 04 05 06 07 08 09 0 20 40 Discharge. (mm) 2 4 6 8 10 12 0 20 40 04 05 06 07 08 09 -10 0 10 WS (mm) 2 4 6 8 10 12 -10 0 10 04 05 06 07 08 09 0 20 40 Ter res. (mm) 2 4 6 8 10 12 0 20 40
Figure V.7. Série temporelle entre 2004 et 2009 des différentes composantes du cycle de l’eau avant et après intégration. L’une des intégration (en rouge) ne consi-dère comme contrainte seulement le cycle de l’eau à l’échelle du bassin méditer-ranéen entier, l’autre (en jaune) contraint le cycle de l’eau dans sa globalité et à l’échelle du sous-bassin et de façon interdépendante entres les sous-bassins. La fermeture inter-dépendante des sous-bassins avec le bassin total et la partie océa-nique assure un équilibre du bilan hydrique à grande échelle.
G Al o= Gl o 0 ··· 0 0 Gl o ··· 0 ··· ··· ··· ··· 0 0 ··· Gl o Nl o Nl o ··· Nl o , (V.43)
avec Nl o une version modifiée de la matriceGl o dans laquelleG(i )l est ré-écritNl(i )
en négligeant le terme de contenu en eau ∆Sl :
Nl(i )= [ 1 −1 −1 0 0 0 −1 1 0 0 −1 −1 ] . (V.44) La dernière ligne deG Al o représente la fermeture du budget annuel sans change-ment du contenu en eau dans le sol à l’échelle annuelle. La dimension des matrices de covariance Bl o et ∑ est de nouveau augmentée suivant la taille du vecteur d’état
Climatic sub-basins LAND OCEAN
MA-DZ-TN ES-Pyr Alp-IT-ADR GR-TR-IL BLS
surf atm surf atm surf atm surf atm surf atm surf atm surf atm ERA-I 34.3 15.3 37.8 18.1 31.2 13.7 30.6 12.0 18.0 8.0 13.6 13.8 86.7 6.2 OS 25.1 36.0 27.5 43.5 28.5 37.7 25.8 39.7 25.4 27.3 19.8 15.1 75.2 24.7 SW 18.2 31.8 17.5 40.7 21.5 38.3 17.6 35.6 25.1 26.5 16.6 16.6 74.3 15.7 SW+PF 4.46 3.04 4.38 3.99 4.42 3.07 4.46 3.21 3.64 2.82 2.78 2.28 7.18 3.13 75% 90% 74% 90% 79% 91% 74% 90% 85% 89% 83% 91% 91% 80%
TABLEV.4 – RMS des résidus du bilan hydrique mensuel(en mm) sur les sous-bassins en utili-sant la solution OS, SW et SW+PF, pour la période 2004-2009. Le pourcentage d’amélioration du RMS des résidus, par rapport à la solution SW, des méthodes d’intégration est également indiqué. À des fins de comparaison, les résultats obtenus avec ERA-I sont également repré-sentés.
dépendance dans la première estimation ni dans l’erreur de fermeture entre les mois. Les résidus du bilan hydrique de surface (terrestre ou océanique) et atmosphé-rique pour la région méditerranéenne sont calculés à l’échelle mensuelle, sur la pé-riode 2004-2009. Les racines carrées de la moyenne quadratique (RMS) des résidus sont résumées dans la Table V.4 pour les quatre types de solution (ERA-I, OS, SW, SW+PF). Le pourcentage d’amélioration du RMS des résidus des méthodes d’intégra-tion par rapport à la solud’intégra-tion SW est également indiqué à des fins de comparaison.
ERA-I représente la fermeture du bilan hydrique en utilisant le produit de ré-analyses pour toutes les variables à l’exception du contenu en eau et du ruissellement (afin de maintenir la cohérence de la comparaison). Il convient de noter qu’ERA-I n’a pas de contrainte de conservation d’eau. La sélection optimale (OS) est donnée par la combinaison de produits suivante : Précipitation TMPA ; évapotranspiration GLEAM et évaporation OAFlux ; changement de stockage d’eau GRGS sur terre et JPL sur mer ; décharge ORCHIDEE-CEFREM forcée par GPCC ; et la vapeur Globvapor pour le changement de vapeur d’eau atmosphérique (voir Section IV.3.1). Comme on peut le voir dans (Aires, 2014 ; Munier et al., 2014 ; Pellet et al., 2018), la procédure de fusion SW réduit les résidus du budget du cycle de l’eau à l’échelle du sous-bassin, en ré-duisant les erreurs aléatoires des produits satellites. Le produit surpasse la ré-analyse ERA-I et le produit OS. Cependant, la fermeture n’est généralement pas satisfaisante avec cette technique.
La solution SW+PF ferme le bilan hydrique sur tous les sous-bassins, à la surface comme dans l’atmosphère, avec un RMS du résidu d’environ 4 mm. Les résidus du bilan hydrique de surface sont considérablement réduits : de 72 % sur le sous-bassin GR-TR-IL et jusqu’à 94 % pour la mer Méditerranée. Cela montre la nécessité d’utiliser une contrainte de fermeture du bilan hydrique qui relie les six composantes du cycle de l’eau et les rend plus cohérentes entres elles.
Cette technique SW+PF ne peut traiter que des séries temporelles (la moyenne spatiale sur les sous-bassins considérés), et non des cartes (pixels) puisque le ruissel-lement n’est pas disponible à cette résolution. Par conséquent, afin d’obtenir un produit à composantes multiples qui ferment le bilan hydrique et qui ont des caractéristiques spatiales, d’autres technique doivent être utilisées.
3 Extrapolation spatiale et temporelle
Dans cette section, on détaille une approche d’extrapolation spatiale qui permet d’étendre, du bassin au pixel, la correction liée à la contrainte hydrologique (SW+PF). La spatialisation mois par mois de la fermeture avec interpolation et extrapolation ba-sée sur la distance géographique à l’extérieur des sous-bassins que nous présenterons dans la suite est la technique la plus naturelle dans le contexte du pourtour méditerra-néen. Pour d’autres environnements ou pour des études en global, une autre méthode d’extrapolation spatiale est présentée dans l’Annexe B. Cette méthode issue de (Mu-nier et Aires, 2017) est basée sur une régression statistique qui permet d’appliquer au niveau du pixel l’équivalence de la contrainte de fermeture. Grâce à un indice pixelaire, il est possible de moduler cette correction à partir de caractéristiques de surface, ce qui permet une plus grande flexibilité et une prise en compte de caractéristiques locales pour l’interpolation.
Dans un second temps, je présenterai une méthode d’extrapolation temporelle qui permet d’étendre l’impact de fermeture au-delà de la période commune pour les pro-duits satellites (2004-2009).