5 CHAPITRE : DIMENSIONNEMENT DU TRANSPORTEUR PNEUMO-
5.1 Dimensionnement des organes du transport pneumatique
5.1.3 Dimensionnement de l’arbre du ventilateur
On a
alors avec les notations de l’Annexe 7 on a :
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{ 𝑇1𝑉′ = 𝑇1𝑉 = 𝑇1cos 𝜃1 = 0,359 × cos 0,53°
𝑇2𝑉′ = 𝑇2𝑉 = 𝑇2cos 𝜃1 = 0,07163 × cos 0,53°; { 𝑇1𝑉′ = 𝑇1𝑉 = 0,3581 𝑁 𝑇2𝑉′ = 𝑇2𝑉 = 0,07163 𝑁 ;
{ 𝑇1𝐻′ = 𝑇1𝐻 = 𝑇1sin 𝜃1 = 0,359 × sin 0,53°
𝑇2𝐻′ = 𝑇2𝐻 = 𝑇2sin 𝜃1 = 0,07163 × sin 0,53°; { 𝑇1𝐻′ = 𝑇1𝐻 = 0,004 𝑁 𝑇2𝐻′ = 𝑇2𝐻 = 0,0007 𝑁 ;
o Modélisation des forces sur l’arbre
Plan (𝑧, 𝑦)
Schéma simplifié :
𝑇1∗ = 𝑇1𝑉′+ 𝑇2𝑉′ = 0,4298 𝑁 ;
- Réactions aux appuis
∑ 𝐹𝑦 = 0 ⇔ 𝑅𝐵+ 𝑅𝐶 + 𝑇1∗ = 0; 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶 = −𝑇1∗
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∑ 𝑀 𝐵⁄ = 0 ⇔ 𝑇1∗× 90 − 𝑅𝐶 × 550 = 0
⇔ 𝑅𝐶 =𝑇1∗× 90
550 ; 𝑅𝐶 =0,4298 × 90
550 ; 𝑅𝐶 = 0,0704 𝑁
⇒ 𝑅𝐵 = −𝑇1∗− 𝑅𝐶; 𝑅𝐵 = −0,4298 − 0,0704 ; 𝑅𝐵 = −0,5002 𝑁 d’où on a:
{
𝑻𝟏∗ = 𝟎, 𝟒𝟐𝟗𝟖 𝑵 𝑹𝑩 = −𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝟐 𝑵
𝑹𝑪 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟒 𝑵
- Efforts tranchants et moments fléchissants - 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟗𝟎[
−𝑇1+ 𝑇1∗ = 0; 𝑇1 = 𝑇1∗; 𝑇1 = 0,4298 𝑁 𝑀1(𝑥) − 𝑇1∗𝑥 = 0; 𝑀1(𝑥) = 0,4298𝑥
{ 𝑻𝟏 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟗𝟖 𝑵 𝑴𝟏(𝒙) = 𝟎, 𝟒𝟐𝟗𝟖𝒙
- 𝒙 ∈ [𝟗𝟎; 𝟔𝟒𝟎[
−𝑇2+ 𝑇1∗+ 𝑅𝐵 = 0; 𝑇2 = 𝑇1∗+ 𝑅𝐵; 𝑇2 = −0,0704 𝑁
𝑀2(𝑥) − 𝑇1∗𝑥 − 𝑅𝐵(𝑥 − 90) = 0; 𝑀2(𝑥) = −0,0704𝑥 + 45,018
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{ 𝑻𝟐 = −𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟒 𝑵
𝑴𝟐(𝒙) = −𝟎, 𝟎𝟕𝟎𝟒𝒙 + 𝟒𝟓, 𝟎𝟏𝟖
- 𝒙 ∈ [𝟔𝟒𝟎; 𝟗𝟐𝟎[
−𝑇3+ 𝑇1∗+ 𝑅𝐵+ 𝑅𝐶 = 0; 𝑇3 = 𝑇1∗+ 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶; 𝑇3 = 0 𝑁 𝑀3(𝑥) − 𝑇1∗𝑥 − 𝑅𝐵(𝑥 − 90) − 𝑅𝐶(𝑥 − 640) = 0;
𝑀3(𝑥) = 0,4298𝑥 + (−0,5002)(𝑥 − 90) + 0,0704(𝑥 − 640); 𝑀3(𝑥) = 0 𝑁. 𝑚𝑚 { 𝑻𝟑 = 𝟎 𝑵
𝑴𝟑(𝒙) = 𝟎 𝑵. 𝒎𝒎
- Diagramme des efforts tranchants et moments fléchissants
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Plan (𝑥, 𝑦)
{𝑇2𝐻′ = 0,0007 𝑁
𝑇1𝐻′ = 0,004 𝑁 et { 𝐹𝑟 = 68,23 𝑁 𝑃 = 𝑚𝑔 = 553,78 𝑁 Schéma simplifié :
{𝑇2∗ = 𝑇1𝐻′− 𝑇2𝐻′
𝐹 = 𝐹𝑟 + 𝑃 ⇒ {𝑇2∗ = 0,0033 𝑁 𝐹 = 622,01 𝑁
- Réactions aux appuis
∑ 𝐹𝑦 = 0 ⇔ 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶 − 𝐹 = 0 ; 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶 = 𝐹 − 𝑇2∗; 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶 = 622,0067 𝑁.
∑ 𝑀 𝐵⁄ = 0 ⇔ 𝑇2∗× 90 − 𝑅′𝐶 × 550 + 𝐹(550 + 180) = 0;
𝑅′𝐶 × 550 = 𝑇2∗× 90 + 𝐹 × 730; 𝑅′𝐶 = 825,578 𝑁.
Or 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶 = 622,0067 𝑁 d’où 𝑅′𝐵 = −𝑅′𝐶 + 622,0067 𝑁; 𝑅′𝐵 = −203,5713 𝑁.
{𝑹′𝑩 = −𝟐𝟎𝟑, 𝟓𝟕𝟏𝟑 𝑵 𝑹′𝑪 = 𝟖𝟐𝟓, 𝟓𝟕𝟖 𝑵
- Efforts tranchants et moments fléchissants - 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟗𝟎[
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−𝑇1+ 𝑇2∗ = 0; 𝑇1 = 𝑇2∗; 𝑇1 = 0,0033 𝑁 𝑀1(𝑥) − 𝑇2∗𝑥 = 0; 𝑀1(𝑥) = 0,0033𝑥
{ 𝑻𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝑵 𝑴𝟏(𝒙) = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝒙
- 𝒙 ∈ [𝟗𝟎; 𝟔𝟒𝟎[
−𝑇2 + 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵 = 0; 𝑇2 = 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵; 𝑇2 = −203,568 𝑁 𝑀2(𝑥) − 𝑇2∗𝑥 − 𝑅′𝐵(𝑥 − 90) = 0; 𝑀2(𝑥) = 𝑇2∗𝑥 + 𝑅′𝐵(𝑥 − 90);
𝑀2(𝑥) = −203,568𝑥 + 18321,417 {𝑻𝟐 = −𝟐𝟎𝟑, 𝟓𝟔𝟖 𝑵
𝑴𝟐(𝒙) = −𝟐𝟎𝟑, 𝟓𝟔𝟖𝒙 + 𝟏𝟖𝟑𝟐𝟏, 𝟒𝟏𝟕
- 𝒙 ∈ [𝟔𝟒𝟎; 𝟖𝟐𝟎[
−𝑇3+ 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶 = 0; 𝑇3 = 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶; 𝑇3 = 622,01 𝑁 𝑀3(𝑥) − 𝑇2∗𝑥 − 𝑅′𝐵(𝑥 − 90) − 𝑅′𝐶(𝑥 − 640) = 0;
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𝑀3(𝑥) = 𝑇2∗𝑥 + 𝑅′𝐵(𝑥 − 90) + 𝑅′𝐶(𝑥 − 640) 𝑀3(𝑥) = 622,01𝑥 − 510048,503
{ 𝑻𝟑 = 𝟔𝟐𝟐, 𝟎𝟏 𝑵 𝑴𝟑(𝒙) = 𝟔𝟐𝟐, 𝟎𝟏𝒙 − 𝟓𝟏𝟎𝟎𝟒𝟖, 𝟓𝟎𝟑
- 𝒙 ∈ [𝟖𝟐𝟎; 𝟗𝟐𝟎[
−𝑇4+ 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵+ 𝑅′𝐶 − 𝐹 = 0; 𝑇4 = 𝑇2∗+ 𝑅′𝐵 + 𝑅′𝐶 − 𝐹; 𝑇4 = 0 𝑁 𝑀4(𝑥) − 𝑇2∗𝑥 − 𝑅′𝐵(𝑥 − 90) − 𝑅′𝐶(𝑥 − 640) + 𝐹(𝑥 − 820) = 0;
𝑀4(𝑥) = 0 𝑁. 𝑚𝑚
{ 𝑻𝟒 = 𝟎 𝑵 𝑴𝟒(𝒙) = 𝟎 𝑵. 𝒎𝒎
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- Diagramme des efforts tranchants et moments fléchissants
On obtient : { 𝑴𝒇𝒎𝒂𝒙𝟏 = 𝑴𝑩′ = 𝟎, 𝟐𝟗𝟕 𝑵. 𝒎𝒎 𝑴𝒇𝒎𝒂𝒙𝟐 = 𝑴𝑪′ = −𝟏𝟏𝟏𝟗𝟔𝟐, 𝟏𝟎𝟑 𝑵. 𝒎𝒎
Alors le moment résultant maximal 𝑀𝑚𝑎𝑥 se déduit par les calculs suivants :
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o Détermination du diamètre de l’arbre
Nous utiliserons pour cette détermination le code WESTINGHOUSE. [8]
Pour cela nous considérons que l’arbre sera fabriqué en acier UNS G 10350 laminé à chaud de paramètres (𝑹é𝒔𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒆 à 𝒍𝒂 𝒓𝒖𝒑𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒆𝒏 𝒕𝒓𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏: 𝑺𝒖𝒕 = 𝟓𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂, 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅′é𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒕é: 𝑺𝒚 = 𝟐𝟕𝟎 𝑴𝑷𝒂), de plus l’on choisit d’une part une fiabilité de 𝟗𝟗% et d’autre part pour facteur de sécurité 𝑭𝑺 = 𝟏, 𝟔 compte tenu des conditions d’exploitation de l’arbre et de son matériau.
Détermination de la limite d’endurance 𝑺𝒆 de l’arbre :
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o Calcul et choix des éléments ou pièces d’assemblage
Choix des roulements
Nous choisissons les roulements à rouleaux coniques car ils supportent tous les types de charges mais précisément les charges axiales dans un seul sens. Ils sont montés par pair et en opposition et offrent une possibilité de réglage du jeu interne de fonctionnement par précharge.
Les rouleaux ont une forme conique. Tous les cônes des bagues et des rouleaux ont même sommet. Les fréquences de rotation permises sont moyennes. La bague extérieure est séparable. Ces roulements sont très appréciés là où le gain de poids et de place sont recherchés.
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Figure 5.29: Roulements à rouleaux coniques : principales variantes et schématisation [11]
La méthode utilisée est basée sur les notions du calcul des roulements. [11]
Calcul de la durée de vie 𝑳𝟏𝟎 en millions de tours basée sur une fiabilité de 90% 𝑵: vitesse de rotation en tours/min
Nous utiliserons 𝑳𝟏𝟎𝑯 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒉𝒆𝒖𝒓𝒆𝒔 car nous supposons que le mode d’emploi des roulements est un service en continu 24 heures/24. Ainsi on a :
𝑳𝟏𝟎 =𝑳𝟏𝟎𝑯. 𝟔𝟎𝑵
𝑷: charge équivalente exercée sur le roulement,
𝒏: 𝑛 = 10 3⁄ pour les roulements à rouleaux et 𝑛 = 3 pour les roulements à billes
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Ainsi
𝑪 = (𝑳𝟏𝟎)𝟏 𝒏⁄ . 𝑷.
Détermination de P
La charge équivalente P est une charge radiale pure, donnant exactement la même durée de vie que la combinaison charge axiale 𝐹𝑎 plus charge radiale 𝐹𝑟 réellement sur le roulement. P est différent de la charge combinée F.
Figure 5.30: Charge équivalente P et charges exercées 𝑭𝒂 et 𝑭𝒓 [11]
Connaissant 𝑭𝒂 et 𝑭𝒓 la charge P est calculée à l’aide de la relation : 𝑷 = 𝑿. 𝑭𝒓 + 𝒀. 𝑭𝒂
X et Y sont des coefficients normalisés liés à la nature du roulement et à ses dimensions.
Il est à préciser ici que la force radiale à utiliser est la plus grande force radiale agissante dans l’arbre et déterminée au niveau des appuis. On a
Avec
{ 𝒆 = 𝟏, 𝟓. 𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝒀 = 𝟎, 𝟒. 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏 𝜶 et 𝜶 = 𝟒𝟎° valeur la plus courante.
AN:
𝐹𝑎 = 8478,78 𝑁; 𝐹𝑟 = 825,578 𝑁
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𝑷𝟎: la charge statique équivalente
𝒔𝟎: un coefficient dépendant du mode de fonctionnement des roulements. Et comme les roulements sont en fonctionnement normale alors , 𝟖 ≤ 𝒔𝟎 ≤ 𝟏, 𝟐 , ainsi nous prenons 𝒔𝟎 = 𝟏.
La charge statique équivalente est donnée par la formule suivante : 𝑷𝟎 = 𝑿𝟎. 𝑭𝒓+ 𝒀𝟎. 𝑭𝒂
avec 𝑿𝟎 et 𝒀𝟎 des coefficients donnés par le tableau suivant :
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Tableau 5.1: Valeurs normalisées des coefficients 𝑿𝟎 et 𝒀𝟎 [11]
AN :
𝑃0 = 0,5 × 825,578 + (0,22. 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 40°) × 8478,78 𝑃0 = 2635,8 𝑁
D’où on a 2635,8 𝑁 ≤ 𝐶0 ; soit alors 𝑪𝟎 = 𝟐𝟕𝟎𝟎 𝑵 = 𝟐𝟕𝟎 𝒅𝒂𝑵.
Au total, connaissant 𝐶, 𝐶0 et le diamètre de l’arbre nous pouvons aller faire le choix du roulement à choisir. D’après l’abaque du choix des roulements à rouleaux coniques) nous choisissons les roulements à rouleaux coniques ayant les caractéristiques suivantes :
𝒅 = 𝟔𝟎 𝒎𝒎; 𝑫 = 𝟏𝟏𝟎 𝒎𝒎; 𝑻 = 𝟐𝟑, 𝟕𝟓 𝒎𝒎; 𝒂 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎; 𝒓 =
𝟐, 𝟎𝒎𝒎; 𝒔é𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒏°𝟎𝟐; 𝒄𝒉𝒂𝒓𝒈𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒔𝒆: 𝑪 = 𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵, 𝑪𝟎 = 𝟏𝟏𝟕𝟎𝟎 𝒅𝒂𝑵. [11]
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Ce type de roulement a la désignation suivante d’après la norme ISO : 𝟔𝟎 𝑲 𝟎𝟐 𝑿𝑬 [11].
Après ce choix, recalculons la durée effective des roulements 𝐿10 = (𝐶
La charge étant tournante par rapport à la bague intérieure, calculons le rapport 𝐶
𝑃 𝐶
𝑃 = 9900
456,96= 21,66 > 10.
Puisque les roulements sont à rouleaux coniques et 𝑑 < 120 alors on choisit la tolérance 𝒎𝟔 pour l’arbre. Ainsi la tolérance de l’arbre est :
𝒅 = 𝟔𝟎𝒎𝟔 = 𝟔𝟎+𝟎,𝟎𝟑𝟎+𝟎,𝟎𝟏𝟏.
Tolérance du logement des roulements
Etant donné que le logement est fixe par rapport à la bague extérieure alors nous choisissons la tolérance 𝑱𝟕. D’où la tolérance 𝟏𝟏𝟎𝑱𝟕 pour le logement :
𝑫 = 𝟏𝟏𝟎𝑱𝟕 = 𝟏𝟏𝟎+𝟎.𝟎𝟐𝟐−𝟎.𝟎𝟏𝟑
Montage des roulements
Avec les avantages offerts par les montages en X et en O (présentées en Annexe n°6) nous choisissons le montage en X pour le montage de nos roulements à rouleaux coniques.
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Calcul et choix de la clavette
Puisque dans la transmission nous n’avons qu’un clavetage court alors nous utiliserons une clavette parallèle de forme A (𝑙 < 1,5𝑑) dont le dessin est présenté :
Figure 5.31: Clavette parallèle [5]
Détermination de la longueur 𝒍
Cela passe par la vérification de la condition de résistance de la clavette aux forces
𝝉𝒎𝒐𝒚 : la contrainte tangentielle
𝑹𝒈 : la résistance minimale à l’extension 𝒔 : le coefficient de sécurité (𝒔 = 𝟐)
𝑹 : la résistance élastique de la matière de base de la clavette.
La matière de base est l’acier avec 𝑹 ≥ 𝟔𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂 [13]. Soit 𝑹 = 𝟔𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂.
Alors on a :
𝒍 ≥ 𝑭𝒕. 𝒔 𝒂. 𝑹.
AN : On sait que le diamètre de l’arbre est 𝑑 = 60 𝑚𝑚 alors d’après l’abaque du choix des clavettes [13], on choisit la clavette ayant les caractéristiques suivantes :
𝒂 = 𝟏𝟖 𝒎𝒎; 𝒃 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎; 𝒔 = 𝟎, 𝟔 𝒎𝒎; 𝒋 = 𝟓𝟑 𝒎𝒎; 𝒌 = 𝟔𝟒, 𝟒 𝒎𝒎.
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Détermination de la longueur de la clavette : 𝐹𝑡 = 𝑇1∗ = 0,4298 𝑁 car la largeur de la poulie est d’environ 60 mm.
Au total la clavette possède les caractéristiques suivantes :
𝒂 = 𝟏𝟖 𝒎𝒎; 𝒃 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎; 𝒔 = 𝟎, 𝟔 𝒎𝒎; 𝒋 = 𝟓𝟑 𝒎𝒎; 𝒌 = 𝟔𝟒, 𝟒 𝒎𝒎 𝒆𝒕 𝒍 = 𝟔𝟎 𝒎𝒎.
Désignation : Selon la norme NF E 22-177, elle est désignée par : 𝒄𝒍𝒂𝒗𝒆𝒕𝒕𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒍è𝒍𝒆, 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝐀, 𝟏𝟖 × 𝟏𝟏 × 𝟔𝟎.