Difficulté de la reconstruction dans le cas général

Nous nous focalisons maintenant sur la reconstruction d’un réseau non enraciné de niveaukqui contient un ensemble donné de quadruplets.

Problème 1 (LEVEL-kQUARTETCONSISTENCY)

Entrée : un ensembleQde quadruplets.

Sortie : OUI s’il existe un réseau non enraciné de niveaukqui contient tous les quadruplets

deQ, NON sinon.

Steel a prouvé en 1992 que le problème LEVEL-0 QUARTET CONSISTENCY est NP-

complet [Steel, 1992], nous généralisons ci-dessous sa preuve au niveau 1.

Tout d’abord, nous prouvons que pour le niveau 1, ce problème est équivalent si l’on ajoute la restriction que le réseau à reconstruire doit être simple. Dans ce cas nous parle- rons du problème SIMPLELEVEL-1 QUARTETCONSISTENCY.

Lemme 3 SoitQun ensemble de quadruplets. S’il existe un réseau non enracinéNde niveau 1 qui contientQ, alors il existe un réseau simple non enracinéN0_{de niveau 1 qui contientQ.} Démonstration. Considérons un réseau non enracinéNde niveau 1 qui contientQ, et un réseau simple non enracinéN0= Simple(N)de niveau 1 (voir la définition 1.23, page 56 et la figure 1.8, page 29). Pour tout quadrupletad|bcdeQ, commeQest contenu dansN

alors il existe un arbre non enraciné contenu dansNet qui contientad|bc. En particulier, cet arbre contient la bipartitionA|A¯ telle quea, d∈Aetb, c∈ ¯A. Ainsi, la bipartitionA|A¯

est contenue dansN, et donc dansN0d’après le lemme 2, doncad|bcest contenu dans

N0_{. }

Théorème 5 LEVEL-1 QUARTETCONSISTENCYest un problème NP-complet.

Démonstration. Comme il est possible de vérifier en temps polynomial qu’un ensemble de quadruplets est bien contenu dans un réseau non enraciné de niveau 1 d’après le théo- rème 4, le problème LEVEL-1 QUARTETCONSISTENCYest dans NP.

Pour prouver qu’il est NP-difficile, on réduit grâce au lemme 3 le problème SIMPLE

LEVEL-1 QUARTET CONSISTENCY, qui est NP-difficile, comme nous allons le prouver par

réduction du problème BETWEENNESS, qui est NP-difficile [Opatrny, 1979]. Rappelons que le problème BETWEENNESSconsiste à décider, pour une collectionCde séquences de trois

parC, où(a, b, c)∈Csignifie quea<b<cou bienc<b<a. On peut supposer que tout élément deAapparaît dans au moins une contrainte deC.

Étant donné une instance (A, C) du problème BETWEENNESS, on construit une ins- tance(X,Q(C))du problème SIMPLELEVEL-1 QUARTETCONSISTENCY, oùXest l’ensemble

des feuilles etQ(C)l’ensemble des quadruplets, de la manière suivante : – X = A∪{α,β,α1, β1}∪Si∈[1..|C|]Xi, oùXi={pi, qi},

– à chaque contrainteci= (a, b, c)∈Cd’une instance de BETWEENNESS, poura, b, c∈

A, on associe un ensemble de quadrupletsQi={βpi|qia, αqi|pia, βpi|qib, αqi|pib,

βpi|qic, αqi|pic, pib|cqi, pia|bc}.

– Q(C) = Q0(C)∪Q00(C), oùQ0(C) =S

i∈[1..|C|]Qi, etQ00(C) ={αα1|ββ1, αβ|α1β1}∪



ββ1|xα, αα1|xβ, α1β1|xβ,∀x∈A∪Xi}.

⇒ : si un ordre σ de A respecte les contraintes de C, alors pour chaque contrainte

ci= (a, b, c)∈C:

– sia<σb<σc, définissonsri= pietsi= qi,

– sic<σb<σa, définissonsri= qietsi= pi.

Considérons le réseau simple non enracinéNde niveau 1 constitué d’un cycle à4 +|A| + 2|C| sommets, chacun adjacent d’une feuille, tel que les feuilles sont apparaissent dans l’ordre suivant : α1αr1. . . r|C| puis σ puis s1. . . s|C|ββ1. Ce réseau montré en figure 2.4

contientQi pour touti de [1..|C|], et il contient tous les quadruplets de Q00(C), donc il

contientQ(C). AinsiNest une solution du problème SIMPLE LEVEL-1 QUARTET CONSIS-

TENCY.

FIGURE2.4 : Réseau simple de niveau 1 non enraciné construit à partir d’une solutionσde

BETWEENNESS.

⇐: inversement, supposons qu’il existe un réseau simpleNnon enraciné de niveau 1 qui contientQ(C), alorsNest composé d’un cycle de 4 +|A| + 2|C|sommets, chacun adjacent à une feuille. Pour toute feuillex, appelonsx0 le sommet voisin dex. Comme

Q(C)contient{αα1|ββ1, αβ|α1β1}, ceci forceα0,α₁0,β₁0 etβ0à apparaître dans cet ordre

dans le cycle deN. Nous allons maintenant déterminer les positions des autres sommets dans cet ordre circulaire. Appelons respectivementI1,I2,I3etI4les intervalles de cet ordre

circulaire entreα₁0 et β₁0, entreβ₁0 etβ0, entreβ0 etα0, et entreα0 etα₁0, comme montré en figure 2.5(i).

Pour toute feuillexdeA∪S

i∈[1..|C|]Xi, commeββ1|xα∈Q(C),x0n’appartient pas à l’in-

Le sommetx0est donc dans l’intervalleI3. Déterminons à présent les ordres possibles de

tous les sommets situés dans l’intervalleI3.

Fixonsiet considérons les sommets{a0, b0_{, c}0_{, p}0

i, qi0}oùci= (a, b, c). Fixons les posi-

tions dep_i0etq_i0entreα0etβ0. Il y a deux possibilités comme montré sur les figures 2.5(ii) et (iii). Dans le premier cas, on appelle respectivement J1, J2 etJ3 les intervalles]α0, p_i0[,

]p0

i, qi0[,]qi0, β0[. Dans le deuxième cas, on appelle respectivementJ3,J2etJ1les intervalles

]α0, q_i0[,]q_i0, p_i0[,]p_i0, β0[. Dans les deux cas, commeαqi|pia∈Q(C),a0n’est pas dans l’inter-

valleJ3. Commeβpi|qia∈Q(C),a0n’est pas dans l’intervalleJ1. Toutefois ces deux qua-

druplets autorisenta0_{à être placé dansJ}

2. De même,b0etc0sont aussi dans l’intervalle

J2.

Enfin, étudions les positions relatives dea0,b0etc0. Le quadrupletpib|cqiet le fait que

b0_etc0_{sont dans l’intervalleJ}

2entrep_i0etq_i0forcentp_i0,b0,c0etq_i0à être placés dans cet

ordre le long du cycle deN. De plus, commepia|bc∈Q(C),p_i0,a0,b0,c0etq_i0sont placés

dans cet ordre, comme montré dans les figures 2.5(iv) et (v). Dans tous les cas,b0apparaît toujours placé entrea0_etc0_{. Ainsi, l’ordre dans lequel les feuilles deAsont attachées au}

cycle deNrespecte les contraintes deC. _

(i) (ii) (iii)

(iv) (v)

FIGURE 2.5 : Gadgets pour la réduction de BETWEENNESS à SIMPLE LEVEL-1 QUARTET

CONSISTENCY: les structures imposées par{αα1|ββ1, αβ|α1β1}(i), en ajoutant{ββ1|xα,

αα1|xβ,α1β1|xβ}pourx∈Xi(ii,iii), et en ajoutant les quadruplets restants deQi(iv,v).

Pour reconstruire un réseau non enraciné de niveau 1 à partir de quadruplets, nous pouvons proposer une première approche heuristique. En effet, l’algorithme QNet [Grü- newald et al., 2007] est une heuristique de reconstruction d’un ensemble circulaire de bi- partitions à partir d’un ensemble de quadruplets pondérés. D’après le théorème 3, il serait donc possible de représenter son résultat par un réseau de niveau 1 qui contient ces bipar- titions, ce qui fournirait une première méthode heuristique de reconstruction de réseaux explicites (non enracinés de niveau 1) à partir d’un ensemble de quadruplets.