Diagramme de Voronoï avec les bases éparses

Une autre technique de subdivision vue au chapitre précédent repose sur l’utilisation d’un diagramme de Voronoï. La subdivision est obtenue à partir de points particuliers du champ de déplacements. Cela permet d’obtenir une approximation précise autour des points ayant un in- térêt pour l’analyse. Pour la construction du diagramme de Voronoï, plusieurs distances peuvent être utilisées. Dans notre étude, nous avons présenté des résultats avec la distance L1 et avec la distance L2.

Au chapitre précédent, la distance L1 nous a permis d’obtenir de meilleurs résultats d’ap- proximation. Cependant, quelque soit la distance utilisée, l’approximation de chaque région du diagramme s’est avérée difficile. En effet, cette technique produit des régions non rectan- gulaires, ce qui induit des difficultés d’approximation lorsque la région est modélisée sur une base de polynômes ayant un support dense rectangulaire. Les bases éparses n’ont pas de telles

limitations, nous revenons donc sur cette modélisation. En figure FIG5.16, nous étudions l’ap-

proximation d’un champ dense avec une subdivision par diagramme de Voronoï. Sur la figure

FIG 5.16(a) et sur la figure FIG 5.16(b), nous présentons le champ à approximer en le super-

posant aux diagrammes de Voronoï avec les distances L1 et L2. Nous présentons en figure FIG

5.16(c) et FIG 5.16(d) les cartes d’erreurs obtenues au chapitre précédent avec des boîtes en-

globantes (non-orientées) et des bases denses de degré 1. Finalement, les figures FIG 5.16(e)

et FIG 5.16(f) présentent les cartes d’erreur obtenues avec des bases éparses de degré 1. Les

approximations avec les bases éparses sont meilleures que les précédentes. L’erreur quadra- tique globale obtenue avec les bases éparses et la distance L1 est de EQM = 0.974042 et de

EQM = 0.816251 pour la distance L2. On peut remarquer que l’erreur est plus faible avec

la distance L2. Cela montre donc que la distance L2 permet d’obtenir une subdivision qui a plus de sens au niveau du mouvement. Le taux de compression obtenu est le même que celui des boîtes englobantes orientées ce qui donne une qualité d’approximation du même ordre de grandeur qu’une approximation globale de degré 9 avec la simplicité d’analyse liée à l’utilisa- tion de base de degré 1. On en déduit que dans le cadre de l’utilisation des bases de polynômes bi-variables denses, il faut privilégier la distance L1 puisqu’elle fournie des régions plus rectan- gulaires, tandis que dans le cadre de l’utilisation des bases de polynômes bi-variables éparses, il faut privilégier la distance L2.

5.5

Conclusion

Nous savons maintenant comment réaliser l’approximation d’un champ de déplacements épars. Lorsque l’objectif est d’obtenir une approximation, la projection du champ sur une base de polynômes non dense permet de reconstruire les champs polynomiaux sans erreur et d’obtenir une approximation intéressante des champs non-polynomiaux. Lorsqu’il s’agit de permettre une analyse, il est alors intéressant de réaliser l’identification des coefficients dans la base canonique. Cela permet d’exprimer des champs de densités différentes dans une même base afin de les comparer. De plus, à partir des coefficients exprimés dans la base canonique, il est possible de réaliser une interpolation des vecteurs manquants. Ces bases de polynômes peuvent être utilisées avec les différentes techniques d’approximation par subdivision étudiées au chapitre précédent. Elles permettent même d’obtenir de meilleurs résultats pour la technique utilisant le diagramme de Voronoï. Enfin, à partir de l’approximation par quadtree et des bases de polynômes éparses, nous avons proposé une technique d’interpolation des vecteurs nuls d’un champ épars.

92 CHAP 5 - APPROXIMATION HIÉRARCHISÉE DES CHAMPS ÉPARS

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

FIGURE 5.16 – Utilisation des bases de polynômes éparses pour une approximation basée sur

le diagramme de Voronoï ; (a) Champ test superposé à la subdivision obtenue par diagramme de Voronoï avec une distance L1 ; (b) Champ test superposé à la subdivision obtenue par di- agramme de Voronoï avec une distance L2 ; (c) Approximation de la subdivision (b) avec des bases de polynômes denses de degré 1 ; (d) Approximation de la subdivision (c) avec des bases de polynômes denses de degré 1 ; (e) Approximation de la subdivision (b) avec des bases de polynômes éparses de degré 1 ; (f) Approximation de la subdivision (c) avec des bases de polynômes éparses de degré 1 ;

C

HAPITRE

6

B

ASES DE POLYNÔMES

A-

COMPLÈTES

6.1

Vers une approximation à erreur nulle

Nous avons proposé au cours des chapitres précédents différentes méthodes d’approxima- tion utilisant les bases de polynômes orthogonaux. Nous avons d’abord étudié la modélisation globale d’un champ de déplacements en le projetant sur une base de polynômes. Cette méthode permet d’obtenir un très bon taux de compression pour une qualité d’approximation compara- ble à celle d’une approximation avec les premiers vecteurs d’une décomposition aux valeurs propres. Cependant, il est souvent nécessaire d’utiliser des bases de degrés élevés. Dans ce cas, les bases peuvent être longues à générer et l’analyse des coefficients devient complexe quand le degré de la base augmente.

Afin d’obtenir une meilleure qualité d’approximation, tout en limitant l’augmentation du degré de la base, nous avons proposé différentes techniques de subdivision du champ. Parmi ces méthodes, le quadtree permet d’obtenir une approximation de qualité du champ de déplace- ments tout en conservant un fort taux de compression. Le quadtree est rapide et simple à mettre en œuvre. Une autre méthode de subdivision basée sur le diagramme de Voronoï est proposée. L’avantage de cette technique est de permettre une approximation de qualité de certaines zones d’intérêt tout en simplifiant l’analyse du champ de déplacements.

Ces techniques d’approximation sont efficaces sur les champs denses, cependant l’approxi- mation des champs épars reste difficile même avec ces méthodes. Nous avons donc proposé au chapitre 5, une méthode pour générer des bases prenant en compte la densité du champ. À par- tir de ces nouvelles bases, il a été possible d’approximer les champs épars avec les différentes techniques de subdivision étudiées.

Cependant, dans tous ces cas, seuls les champs polynomiaux peuvent être approximés avec une erreur nulle. L’objet de ce chapitre est de montrer que les bases de polynômes peuvent permettre d’obtenir une erreur d’approximation nulle. En nous appuyant sur le polynôme d’in- terpolation de Lagrange, nous proposons une méthode pour générer une nouvelle famille de bases polynomiales. Nous comparons ensuite cette méthode d’approximation avec la Tranfor- mée en Cosinus Discret (DCT) ainsi qu’avec la Décomposition en Valeurs Singulières (SVD).

94 CHAP 6 - BASES DE POLYNÔMES A-COMPLÈTES Enfin, nous utilisons ces bases polynomiales pour réaliser une analyse multi-résolutions d’un champ de déplacements.