Comparaison avec la détection par les fonctions de potentiels

Nous comparons nos techniques avec la méthode proposée dans [Corpetti 03]. Cette méth- ode est basée sur la détection des singularités par les extrema des fonctions de potentiels (cf. sec-

tion 7.3.4) et sur une paramétrisation des structures par les modèles de RANKINE (cf. 7.3.5.1).

Dans [Corpetti 03], les auteurs proposent un champ synthétique avec les paramètres précis per- mettant de le calculer. Nous utilisons donc ce champ afin de nous confronter à leur méthode. Dans ce cas précis, tous nos algorithmes fournissent des résultats identiques. Nous comparons donc notre algorithme de détection par quadtree (cf. section 7.4.2.3) avec la méthode proposée

dans [Corpetti 03]. Nous remercions T. CORPETTI de nous avoir fourni son algorithme pour

152 CHAP 7 - DÉTECTION ET CLASSIFICATION DES POINTS SINGULIERS

(a)

(b)

(c)

FIGURE 7.14 – Résultats de l’algorithme d’estimation de la zone de linéarité ; (a) Résultat à

partir des points singuliers détectés par l’algorithme à fenêtre adaptative pour une fenêtre min-

imale de 3× 3 vecteurs et une fenêtre maximale de 9 × 9 vecteurs ; (b) Résultat à partir des

points singuliers détectés par l’algorithme multi-résolutions à fenêtre mobile pour une fenêtre de 5× 5 vecteurs, la décomposition est effectuée sur 7 niveaux avec une base de niveau 1 de 16 × 16 polynômes et une base de niveau de 2 de 15 × 15 polynômes ; (c) Résultats à partir des points singuliers détectés avec l’algorithme par quadtree pour une décomposition par quadtree sur 6 niveaux.

7.5. Résultats de nos méthodes de détection et de classification de singularités 153

Structure Position Rayon

Source (210,60) 20 Puits (100,180) 30 Tourbillon (200,350) 15 Tourbillon (210,60) 50 Tourbillon (50,50) 20 Tourbillon (100,180) 25

TABLEAU 7.6 – Paramètres pour obtenir le champ de déplacements (396 × 276 vecteurs)

présenté sur la figure FIG7.15

Le champ synthétique utilisé pour ces tests est obtenu à partir des paramètres donnés dans

le tableau TAB 7.5.4. Les dimensions de ce champ sont de 396× 276 vecteurs. Il est composé

d’un puits, d’une source et de quatre tourbillons. Il est à noter que le puits et la source sont tous

les deux superposés à un tourbillon. Ce champ est représenté sur la figure FIG7.15.

Nous appliquons donc l’algorithme de détection par quadtree présenté en section 7.4.2.3 sur le champ synthétique. Ensuite, pour toutes les singularités détectées, nous estimons la zone de linéarité qui lui est associée avec l’algorithme proposé en section 7.4.3. Nous obtenons les

résultats présentés sur la figure FIG7.16. On peut constater que tous les tourbillons ont été dé-

tectés, mais que les sources et les puits ne le sont pas. Les deux singularités où sont superposées une source (ou puits) et un tourbillon ont été détectées comme des spirales. Nous détectons aussi deux singularités de type points de selle qui ne sont pas détectées à partir des fonctions de potentiels.

Cependant, lorsque deux structures sont superposées, l’estimation du domaine de linéarité n’est pas valide pour les deux singularités. Nous proposons donc une variante à notre algo- rithme. L’algorithme d’estimation de la zone de linéarité est effectué en deux passes. La pre- mière permet d’estimer le domaine de linéarité de la partie purement rotationnelle du champ. Cela permet d’estimer le domaine de linéarité d’une singularité lorsque celle ci est associée à un tourbillon. La deuxième passe permet d’estimer le domaine de linéarité de la partie purement divergente du champ, c’est-à-dire les structures de type puits ou sources.

Pour la partie purement rotationnelle du champ, l’estimation est effectuée ainsi : À partir de la position pos d’une singularité :

On initialise rot_{buf f} = 0 et continu = F ALSE, puis

1. On projette le champ sur une base éparse définie sur un support spatial circulaire de rayon n pixels ;

2. On transforme ces coefficients dans la base canonique afin d’obtenir les coefficients sous la forme Ax + b ;

3. On estime la position ˜posde la singularité ; 4. On calcule Δ(A) et|rot(A)| = |a_1,2− a_1,1| ;

– si (Δ(A) < 0 ET |rot(A)| > rotbuf f)

– continu = T RU E – rot_{buf f} = |rot(A)| – sinon

154 CHAP 7 - DÉTECTION ET CLASSIFICATION DES POINTS SINGULIERS

(a)

(b)

FIGURE 7.15 – Champ de déplacements synthétique extrait de [Corpetti 03] créé à partir des

paramètres présentés dans le tableau TAB 7.5.4 ; (a) Champ de déplacements superposé à sa carte de norme en couleur ; (b) Champ de déplacements normalisé pour une meilleure lecture ; Les cercles verts (traits continus) superposés au champ représentent les sources et les puits ; Les cercles bleus (traits discontinus) superposés au champ représentent les tourbillons.

(a)

FIGURE7.16 – Résultats de l’algorithme de quadtree sur le champ de déplacements synthétique

FIGURE.7.15 ; Les cercles rouges (traits continus) superposés au champ représentent les points de selles ; Les cercles bleus (traits discontinus) superposés au champ représentent les centres ; Les cercles violets (pointillés) superposés au champ représentent les spirales ;

7.5. Résultats de nos méthodes de détection et de classification de singularités 155

5. si la distance entre pos et ˜posest inférieure à un seuil dist_max, retourner à l’étape 1 6. sinon le domaine de linéarité est un cercle de rayon n − 1 et le rotationnel associé est

rot_{buf f}

Sur le même principe, on construit l’algorithme dans le cas de la détection des structures purement divergentes.

Nous présentons en figure FIG7.17, les résultats obtenus après les deux passes sur le champ

synthétique. Ici n = 2 à l’initialisation et le seuil dist_max = 3. On constate que cette méth-

ode permet une détection, une localisation et un paramétrage de la zone de linéarité d’une singularité. Sur les tableaux TAB 7.5.4, TAB 7.8 et TAB 7.9, nous comparons nos résultats à ceux obtenus dans [Corpetti 03] pour ce même champ. Ces tableaux permettent de comparer respectivement les positions obtenues (TAB 7.5.4), le rayon de la structure associée à une singularité détectée (TAB 7.8) et la force de la structure (TAB 7.9). On constate que toutes les structures sont bien détectées et que les résultats sont assez proches de ceux obtenus dans [Corpetti 03]. Nos résultats sont globalement un peu moins précis mais il est important de noter

que les structures du champ sont générées à partir du modèle de RANKINE, qui est aussi utilisé

pour paramétrer les structures dans [Corpetti 03]. De plus, notre méthode est rapide, puisqu’elle ne nécessite pas de décomposition en composante solénoïdale et irrotationnelle du champ, ni

d’une étape de paramétrisation des structures (modèle de RANKINE). Sur le tableau TAB 7.9,

nous présentons une estimation de la force de la structure calculée par le rotationnel ou par la divergence du modèle affine à l’intérieur du domaine de linéarité de la structure. Ces quantités ne sont pas directement comparables à celles obtenues dans [Corpetti 03]. Cependant, elles per- mettent d’obtenir des informations sur la force des structures les unes par rapport aux autres, ainsi que le sens de la rotation ou s’il s’agit d’un puits ou d’une source. Ces quantités sont donc riches en information.

(a)

FIGURE7.17 – Résultats de l’algorithme de quadtree sur le champ de déplacements synthétique

(cf. figure FIG 7.15 avec l’algorithme modifié ; les cercles rouges (traits continus) superposés

au champ représentent les points de selles ; les cercles bleus (traits discontinus) superposés au champ représentent les centres ; les cercles verts (traits continus) superposés au champ représen- tent les sources et les puits ;

Nous proposons sur la figure FIG 7.18, un zoom sur la structure détectée à la position

(97, 172) qui est la position pour laquelle l’erreur de détection est la plus grande. On con- state que la position détectée semble cohérente avec la position que l’on perçoit visuellement.

156 CHAP 7 - DÉTECTION ET CLASSIFICATION DES POINTS SINGULIERS

structure positions réelles positions détectées

dans [Corpetti 03]

positions détectées avec notre méthode Source (210,60) (211,60) (209,61) Puits (100,180) (100,180) (97,174) Tourbillon (200,350) (201,350) (199,349) Tourbillon (210,60) (211,60) (209,61) Tourbillon (50,50) (50,49) (48,51) Tourbillon (100,180) (101,180) (97,174)

TABLEAU7.7 – Comparaison des positions des singularités obtenues par la méthode proposée

dans [Corpetti 03] et par notre méthode

structure positions

réelles

rayon réel rayon estimé dans

[Corpetti 03]

rayon estimé avec notre méthode Source (210,60) 20 21 23 Puits (100,180) 30 30 30 Tourbillon (200,350) 15 15 17 Tourbillon (210,60) 50 39 47 Tourbillon (50,50) 20 20 23 Tourbillon (100,180) 25 26 28

TABLEAU7.8 – Comparaison de l’estimation des rayons des structures associées aux singular-

ités détectées par la méthode proposée dans [Corpetti 03] et par notre méthode

En fait, notre méthode permet de détecter précisément les structures apparentes. En effet, le champ test est le champ résultant de la somme de six structures. Les positions des structures de ce champ peuvent donc être différentes des positions originales, à cause de l’effet des champs les uns sur les autres. De plus, l’écart entre nos résultats et ceux obtenus dans [Corpetti 03] peut s’expliquer en raison de la nature du champ. On peut toutefois noter que les structures

présentes dans le champ sont générées à partir du modèle de RANKINE, lequel est aussi utilisé

dans [Corpetti 03] pour paramétriser les structures.

Nous pouvons donc conclure que notre méthode permet d’obtenir une estimation rapide et relativement précise de la position de singularité. De plus, elle fournit une estimation du

structure positions

réelles

force réelle force estimée dans

[Corpetti 03]

indication de la force par notre méthode

Source (210,60) 250 249.6 25.8 Puits (100,180) -150 -151.5 -9.5 Tourbillon (200,350) -400 -399.1 -27.8 Tourbillon (210,60) -250 -247.9 -5 Tourbillon (50,50) 200 205.3 10.6 Tourbillon (100,180) 150 149.8 5.8

TABLEAU7.9 – Comparaison de l’estimation de la force des structures associées aux singular- ités détectées par la méthode proposée dans [Corpetti 03] et par notre méthode

7.5. Résultats de nos méthodes de détection et de classification de singularités 157 domaine de linéarité des structures détectées. Bien que moins précise que la méthode présentée dans [Corpetti 03], notre méthode permet de détecter les points de selles qui ne peuvent pas être détectés avec les fonctions de potentiels.

(a)

FIGURE7.18 – Zoom sur la structure détectée à la position (97, 172) ; Le carré bleu superposé au champ représente le centre ; Le carré vert superposé au champ représente le puits ;