L’objectif est d’obtenir un modèle mathématique permettant de décrire les transferts réactifs cou- plés de masse et de chaleur. Ce modèle doit intégrer l’ensemble des aspects évoqués en introduction. L’approche la plus commune consiste à obtenir et à résoudre un système d’équations de conservation de masse, de quantité de mouvement et de chaleur décrivant les transferts considérés. Or, ces équations ne sont valables que pour les phases continues. La matrice poreuse constituée de roche peut être hétérogène et est occupée par différentes phases (gaz, huile, eau, etc...). De ce fait, d’un point de vue conceptuel, la distinction des phases continues gaz, liquides et solides ne peut se faire qu’à l’échelle du pore si l’on considère que les différentes phases peuvent être décrites de manière continue.
Partant de ce constat, l’idéal pour décrire ce genre de système est d’écrire les équations de conserva- tions et les différentes relations aux interfaces entre phases à l’échelle du pore et de résoudre le problème mathématique ainsi obtenu.
Cette résolution, complexe, ne peut se faire que par la voie numérique et donc la simulation numé- rique. Malheureusement, ce type de simulation est extrêmement coûteux en terme de ressources infor- matiques car cette approche nécessite la connaissance fine de la structure des différentes phases. Sur un système réel, elle est d’ailleurs le plus souvent impossible par manque de caractérisation complète de la géométrie du milieu.
Dans la littérature, peu d’auteurs ont tenté de faire de la simulation numérique à cette échelle sur des problèmes similaires. En 1985, Ohlemiller et al. [19] donnent une description détaillée des phénomènes physiques et chimiques des processus impliqués dans la combustion en lit fixe d’un combustible solide. Ils proposent un modèle mathématique complet prenant en compte tous les mécanismes de transport et tous les effets chimiques à l’échelle d’un grain. Ils estiment que le problème complet n’est pas traitable. Lu et Yortsos (2000) [20] présentent des simulations numériques où le milieu poreux a été représenté par des réseaux de tubes capillaires. Le travail est effectué à l’échelle du pore pour des solides non connectés avec une approche locale du transport. Cependant, de nombreux couplages et phénomènes sont modélisés à l’échelle supérieure ce qui n’en fait pas de réelles simulations à l’échelle microscopique. En 2002, Redl [21] tend vers cet objectif. Il utilise une approche Lattice-Boltzmann en trois dimensions. Il résout le problème de transport dans chaque phase. En 2005, Debenest et al. [22] adoptent une approche originale qui est basée sur une description tridimensionnelle à la micro-échelle. Ainsi, ils produisent des simulations directes sur des milieux poreux modèles constitués d’empilements de sphères.
Dans tous ces travaux, le milieu poreux est toujours un milieu modèle et le problème beaucoup plus simple que le problème de modélisation de la combustion in-situ ; les simulations numériques très consommatrices de ressources informatiques ne sont faites que sur de très petits domaines de calcul, typiquement quelques diamètres de pores. Notre problème étant plus complexe, et fortement couplé, nous ne pourrons le traiter qu’à l’échelle intermédiaire dite de Darcy. La présentation de cette approche et sa justification est faite dans le section suivante.
1.1.1.2 Échelle de Darcy et milieu poreux effectif
Les méthodes de changement d’échelle sont une voie possible pour apporter une réponse à notre problème. Le but de l’ensemble de ces méthodes de changement d’échelles est d’obtenir un modèle macroscopique à l’échelle dite de Darcy décrivant le comportement moyen du système considéré.
Une telle approche ne peut s’appliquer qu’à des systèmes où les problèmes sont découplés [23, 24]. Sur la figure 1.1, les différentes échelles qui interviennent lors du processus de modélisation sont repré- sentées depuis l’échelle du champ (quelques kilomètres) jusqu’à l’échelle du pore (quelques millimètres), en passant par l’échelle de Darcy (quelques centimètres).
F. 1.1 – Différentes échelles de la combustion in-situ
Dans le cas de la combustion in-situ, il semble possible de définir un volume élémentaire représen- tatif (VER) caractéristique de l’échelle de Darcy et satisfaisant la condition de séparations des échelles. Autrement dit, ce volume doit être suffisamment petit pour prendre en compte la structure microsco- pique du système mais suffisamment grand pour décrire le comportement global à plus grande échelle. La définition précise du VER, notamment en terme de dimension, est difficile.
Différentes techniques de changements d’échelles existent. On citera en premier les méthodes sto- chastiques [25]. Le principe de ces méthodes consiste à considérer les variables physiques comme des va- riables aléatoires. Les propriétés microscopiques du milieu ne sont plus considérées comme des valeurs locales, mais comme un échantillon de la valeur aléatoire associée. En moyennant ces valeurs locales dans l’espace, on obtient des propriétés du milieu poreux effectif homogène soumis aux mêmes condi- tions aux limites. Ce type d’approche est largement utilisé en hydrogéologie [25]. D’autres méthodes de changement d’échelle dérivent des modèles macroscopiques sans utiliser d’approche statistique. Parmi ces méthodes, on peut citer les méthodes d’homogénéisation introduites par Bensoussan et al. en 1978
[26] ou les méthodes de prise de moyenne volumique introduites par Whitaker [27] et Marle [28]. Le principe des méthodes d’homogénéisation consiste à réaliser une analyse asymptotique des variables du problème en utilisant des développements en série par rapport à un petit paramètre caractéristique du facteur d’échelle micro/macro. Ceci revient à supposer qu’il existe deux types de variables de temps et d’espace : le développement des équations de conservation en introduisant ces variables permet d’obtenir un système d’équations pour chacune des deux familles. La fermeture du problème consiste à introduire une relation entre les deux familles de variables. Le principe de la méthode de prise de moyenne volu- mique est similaire. Si l’on considère un système composé de n phases, pour toute variable microscopique Ψγassociée à une phase γ, on peut associer une variable moyennéeDΨγEnommée moyenne superficielle, définie par l’équation suivante :
DΨγE = V1 Z
Vγ
ΨγdV (1.1)
V est le volume d’intégration et Vγ le volume occupé par la phase γ dans le volume d’intégration. On peut définir également la moyenne intrinsèqueDΨγEγpar l’équation suivante :
DΨγEγ = 1 Vγ
Z
Vγ
ΨγdV (1.2)
La moyenne superficielle est reliée à la moyenne intrinsèque de la façon suivante :
DΨγE = φγDΨγEγ (1.3)
φγest la porosité à la phase γ et est définie comme :
φγ = VγV (1.4)
Le travail de prise de moyenne volumique consiste à intégrer les équations du modèle microscopique (cf. équation 1.1 ou 1.2) et à décomposer les variables microscopiques locales en la somme de la valeur moyenne et d’une déviation spatiale [29, 24] de la façon suivante :
Ψγ=DΨγEγ+ ˜Ψγ (1.5)
L’introduction de la déviation spatiale dans les équations de conservation écrites à l’échelle du pore permet d’obtenir un système d’équations pour les variables macroscopiques moyennes et un système d’équations pour les déviations spatiales. La résolution approchée de ce système couplé est obtenue sous la forme d’un problème de fermeture permettant de relier les différentes variables aux différentes échelles.
1.1.2 Le changement d’échelle spécifique à la modélisation de la combustion in-situ