DESCRIPTION DU PROBL ` EME 45 De plus, les obstacles pr´esents dans l’environnement et suppos´es stationnaires apportent le volet

g´eom´etrique du probl`eme. Ainsi, l’espace des configurationsQi est divis´e en deux :

– l’espace occup´eQi,occupe caract´erisant les r´egions o`u un risque de collision existe,

– l’espace libre Qi,libre caract´erisant les r´egions dans lesquelles le robot peut se d´eplacer en toute s´ecurit´e.

N´eanmoins, il convient de noter que lorsque l’environnement est explor´e en ligne, seule une zone autour du robot, correspondant `a ses possibilit´es de d´etection et de localisation des obstacles avec pr´ecision, est prise en compte lors de la g´en´eration de trajectoire.

D´efinition 2.2 ∀ tk ∈ [tinitial, t_{f inal}], on d´efinit la zone de d´etection Di(t_k) ⊂ Qi comme l’espace autour du robot d’indice i dans lequel l’environnement est parfaitement connu `a l’instant t_k.

D´efinition 2.3 ∀ tk∈ [tinitial, t_{f inal}], on d´efinit la zone obstacle Oi(t_k) par : Oi(t_k) =Di(t_k)\

Qi,occupe

Notons que l’espace Oi(t_k) d´epend du temps et ´evolue lorsque le robot se d´eplace et d´ecouvre de nouveaux obstacles. Les ´el´ements de l’environnement non d´etect´es ne sont pas pris en compte `a l’instant t_k (voir figure 2.2-2.3).

yi(0) xi(0) −→_i − →_j O zone obstacleOi(0)

zone de d´etection du robot

Fig. 2.2 – Zone obstacle `a l’instant t_k = 0s.

yi(1s) xi(1s) −→_i − →_j O zone obstacleOi(1s)

zone de d´etection du robot

Fig. 2.3 – Zone obstacle `a l’instant t_k= 1s.

Remarque 2.3 Comme il est fait couramment en pratique, les obstacles sont augment´es par les di-mensions du robot de mani`ere `a ce que le v´ehicule puisse ˆetre consid´er´e comme un point dans l’espace des configurations [Latombe, 1991].

Afin de mod´eliser simplement l’ensembleOi(t_k) et de simplifier l’expression des contraintes d’´evite-ment d’obstacles, on utilise un recouvred’´evite-ment de M_i disques¹. Par cons´equent, l’ensemble Oi(t_k) se 1Notons ´egalement que ce recouvrement de disques permet de mod´eliser les obstacles de forme quelconque ainsi que les zones inconnues (faces cach´ees, . . . ) assimil´ees `a des r´egions de l’environnement o`u un risque de collision existe.

d´ecompose de la fa¸con suivante :

Mi [ mi=1

Omi ≈ Oi(t_k) (2.2.7)

Chaque disque O_mi est d´efini par les coordonn´ees de son centre (X_mi, Y_mi) et son rayon r_mi (1≤ mi ≤ M_i).

Pour ´eviter les collisions, la distance entre le robot et les obstacles d´etect´es O_mi `a l’instant t, i.e. d_i,Omi(t) =q

(x_i(t)− Xmi)2+ (y_i(t)− Ymi)2 doit satisfaire :

d_i,Omi(t)≥ ρi+ r_mi, ∀ t ∈ [tk, t_k+ T_p] , ∀ Omi ∈ Oi(t_k) (2.2.8) o`u Tp∈ R+ est l’horizon de planification.

2.3 Algorithme hors ligne de g´en´eration de trajectoire

2.3.1 Mise sous forme d’un probl`eme de commande optimale

Dans le cadre d’une planification hors ligne, la carte de l’environnement est enti`erement connue. L’horizon de planification T<sub>p</sub>∈ R<sup>+</sup>, qui correspond `a la longueur de l’intervalle de temps sur lequel la fonction crit`ere est ´evalu´ee, est :

T_p = t_{f inal}− tinitial (2.3.1)

Le probl`eme de planification de trajectoire peut ˆetre mis sous la forme du probl`eme de commande optimale suivant : d´eterminer la trajectoire optimale q_i,ref(t) et la commande associ´ee u_i,ref(t) dans l’intervalle de temps [t_initial, t_{f inal}] qui minimise la fonction crit`ere :

J =

Z tf inal

tinitial

Li(qi, ui, t)dt (2.3.2)

sous les contraintes : ∀ t ∈ [tinitial, t_{f inal}] :

˙q_i(t) = f_i(q_i(t), u_i(t)) (2.3.3)

q_i(t_initial) = q_i,initial (2.3.4)

q_i(t_{f inal}) = q_{i,f inal} (2.3.5)

u_i(t_initial) = u_i,initial (2.3.6)

ui(t_{f inal}) = u_{i,f inal} (2.3.7)

ui(t) ∈ Ui (2.3.8)

di,O_mi(t) ≥ ρi+ rmi, ∀ Omi ∈ Qi,occupe (2.3.9)

2.3. ALGORITHME HORS LIGNE DE G ´EN ´ERATION DE TRAJECTOIRE 47 Dans la litt´erature, des conditions n´ecessaires d’optimalit´e ont ´et´e introduites pour le probl`eme d’optimisation sous contraintes (voir les ouvrages [Pontryagin et al., 1962, Bryson et Ho, 1975]). Ce-pendant, les solutions analytiques du probl`eme g´en´eral d’optimisation sont difficiles `a d´eterminer (voire impossibles). Dans ce m´emoire, on utilisera une alternative qui consiste `a utiliser des m´ethodes num´eriques directes afin de r´esoudre le probl`eme.

2.3.2 Platitude et planification de trajectoire

Nous allons voir que dans le cas des syst`emes plats, le probl`eme de commande optimale peut ˆetre r´esolu tr`es simplement sans avoir `a int´egrer les ´equations du syst`eme.

Les conditions de platitude reviennent `a dire qu’il existe une sortie plate z<sub>i</sub> telle que toutes les variables du syst`eme puissent s’exprimer en fonction de la sortie plate et d’un nombre fini de ses d´eriv´ees et que les ´equations diff´erentielles du syst`eme sont identiquement v´erifi´ees. Il en r´esulte que si l’on veut construire des trajectoires dont les conditions initiales et finales sont sp´ecifi´ees, il suffit de calculer la trajectoire de la sortie plate correspondante. Ceci ´evite d’int´egrer les ´equations diff´erentielles du syst`eme (voir figure 2.4). Plus pr´ecis´ement, supposons que

(

q_i = ϕ₁(z_i, ˙z_i, . . . , z^(li−1)

i )

u_i = ϕ₂(z_i, ˙z_i, . . . , z^(li)

i ) ^(2.3.10)

Puisque les valeurs initiales et finales de q_i et u_i sont donn´ees, la surjectivit´e de ϕ₁ et ϕ₂ permet de d´eterminer des valeurs initiales et finales de z_i, ˙z_i, . . . , z^(li)

i . Il suffit ensuite de trouver une trajectoire z_i(t) au moins l_ifois d´erivable qui satisfait ces conditions initiales et finales puisque q_iet u_ise d´eduisent de zi et de ses d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre li en utilisant (2.3.10).

Une fois que les contraintes ainsi que la fonctionnelle `a minimiser sont ´ecrites en fonction de la sortie plate et de ses d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre li, la probl`eme de commande optimale se r´eduit `a trouver la trajectoire optimale des sorties plates minimisant :

J = Z tf inal tinitial L_i(ϕ₁(z_i, ˙z_i, . . . , z^(li−1) i ), ϕ₂(z_i, ˙z_i, . . . , z^(li) i ), t)dt (2.3.11)

sous les contraintes :∀ t ∈ [tinitial, t_{f inal}] :                        ϕ1(zi(t_initial), . . . , z^(li−1) i (t_initial)) = q_i,initial ϕ₁(z_i(t_{f inal}), . . . , z^(li−1)

i (t_{f inal})) = q_{i,f inal} ϕ₂(z_i(t_initial), . . . , z^(li)

i (t_initial)) = u_i,initial ϕ₂(z_i(t_{f inal}), . . . , z^(li)

i (t_{f inal})) = u_{i,f inal} ϕ₂(z_i(t), . . . , z^(li)

i (t)) ∈ Ui

d_i,Omi(t) ≥ ρi+ r_mi, ∀ Omi ∈ Qi,occupe

(2.3.12)

Par construction, les trajectoires q_i(t) et u_i(t) obtenues en rempla¸cant z_i et ses d´eriv´ees par leur valeur en fonction du temps dans (2.3.10) satisfont identiquement, par d´efinition des syst`emes plats,

Espace d’´etat et commande Espace plat z_i(t_initial), . . . , z^(li) i (t_initial) z_i(t_{f inal}), . . . , z^(li) i (t_{f inal}) qi(t_initial), ui(t_initial) q_i(t_{f inal}), u_i(t_{f inal})

Fig. 2.4 – Platitude et planification de trajectoire.

les ´equations diff´erentielles du syst`eme. En cons´equence, le nombre de variables dans le probl`eme de commande optimale est r´eduit. Ceci permet de diminuer le temps de calcul.

2.3.3 Sp´ecification de la sortie plate par une fonction spline

Afin de transformer le probl`eme de commande optimale en un probl`eme de programmation non lin´eaire, il est n´ecessaire de param´etriser la sortie plate.

Choix des fonctions B-splines

De nombreuses courbes peuvent ˆetre utilis´ees pour sp´ecifier la sortie plate (s´erie de Fourier, po-lynˆomes, . . . ). En plus de repr´esenter pr´ecis´ement une base de la solution du probl`eme de g´en´eration de trajectoire avec un nombre raisonnable de param`etres, il est n´ecessaire de pouvoir facilement choisir le degr´e de continuit´e de la courbe (classe C^li), sans ajouter de nouvelles contraintes, puisque q_i et u_i se d´eduisent de z_i et de ses d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre l_i.

Les polynˆomes peuvent r´esoudre en partie ces probl`emes puisqu’ils sont facilement ´evaluables et diff´erentiables. Cependant, se pose le probl`eme de l’utilisation d’un nombre ´elev´e de param`etres si l’horizon de planification est grand. Un autre probl`eme vient de la d´ependance globale des param`etres. C’est–`a–dire que si un ajustement est mauvais localement alors il sera mauvais pour l’ensemble de la courbe [Boor, 1978]. Ces difficult´es entraˆınent un temps de calcul tr`es important pour d´eterminer le

2.3. ALGORITHME HORS LIGNE DE G ´EN ´ERATION DE TRAJECTOIRE 49