APPROCHE UNIFI ´ EE POUR LA POURSUITE DE TRAJECTOIRE 149 L’acquisition des mesures et le calcul de la commande se font `a une p´eriode d’´echantillonage de

τ = 0.1s (grandeur limit´ee par l’horloge principale du robot Pekee). Les exp´erimentations ont ´et´e r´ealis´ees avec les r´eglages suivants :

m₁ = 1, m₂ = 1, m₃= 2, m₄ = 1, Θ(Z) = ¹₂Z², ǫ = 0.1, λ_m= 1, λ_M = 5 Stabilisation d’une trajectoire r´eduite `a un point fixe

La configuration initiale du robot Pekee est : x(0) = 1m, y(0) = 1m et θ(0) = 0.1rad. De plus, initialement, sa vitesse est nulle. L’objectif est la stabilisation pratique de ce robot `a l’origine. Sa position et son orientation ainsi que les vitesses lin´eaire et angulaire appliqu´ees sont repr´esent´ees dans la figure 5.8(a) et (b) respectivement. Nous visualisons la trajectoire du syst`eme sur la figure 5.8(c). On peut remarquer que le robot se gare en 8.4s en effectuant des manœuvres de type cr´eneau.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.5 1

Erreur position abscisse

[m]

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.5

1 ^{Erreur position ordonnée}

[m] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −0.8 0 0.8 Erreur orientation t [s] [rad] (a) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −0.5 0 0.5 1 Vitesse linéaire [m/s] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −0.5 0 0.5 1 Vitesse angulaire [rad/s] t [s] (b) −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.5 0.6 0.8 1

Stabilisation pratique du robot

x [m]

y [m]

(c)

Stabilisation d’une trajectoire non stationnaire

Dans cette exp´erimentation, les vitesses lin´eaire et angulaire de r´ef´erence sont :

v_ref = 0.3(1− exp(−t))

w_ref = 0.1 sin(0.5t)

Par cons´equent, la trajectoire planifi´ee est une courbe repr´esent´ee dans la figure 5.9(c). La configuration initiale du robot Pekee est x(0) = 0.05 m, y(0) = 0 m et θ(0) = 0.1 rad et sa vitesse initiale est nulle. L’objectif est ici la stabilisation pratique des erreurs de suivi de trajectoire. La position et l’orientation du v´ehicule ainsi que les vitesses lin´eaire et angulaire appliqu´ees sont repr´esent´ees dans la figure 5.9(a) et (b) respectivement. Nous visualisons les trajectoires r´eelle et planifi´ee sur la figure 5.9(c). Nous observons bien que les erreurs de suivi de trajectoire sont pratiquement stables.

0 5 10 15 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 Erreur position x [m] 0 5 10 15 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 Erreur position y [m] 0 5 10 15 −0.8 0 0.8 Erreur orientation t [s] [rad] (a) 0 5 10 15 0 0.2 0.4 Vitesse linéaire [m/s] 0 5 10 15 −0.2 0 0.2 Vitesse angulaire [rad/s] t [s] (b) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 x [m] y [m]

Stabilisation pratique des erreurs de suivi trajectoire réelle trajectoire de référence

(c)

5.4. CONCLUSION 151 Remarque 5.14 Les vid´eos associ´ees aux r´esultats exp´erimentaux obtenus sur le robot Pekee sont disponibles sur le site :

http ://syner.ec-lille.fr/robocoop/course/view.php ?id=14

5.4 Conclusion

Sur la base de m´ethodes originales, deux algorithmes de commande ont ´et´e synth´etis´es et impl´emen-t´es afin de garantir la stabilisation et/ou le suivi de trajectoire malgr´e la pr´esence d’incertitudes et de perturbations.

La premi`ere m´ethode consiste `a ajouter un terme discontinu `a une commande continue qui sta-bilise les erreurs de suivi de trajectoire en l’absence de perturbations (voir le th´eor`eme 5.1). Cette m´ethodologie permet de mettre en lumi`ere un des rˆoles de la CMGI qui consiste en l’am´elioration des r´esultats obtenus `a partir d’une commande nominale.

En ce qui concerne la seconde m´ethode, afin de synth´etiser la loi de commande, le mod`ele du robot mobile est mis sous la forme du “syst`eme de Heisenberg”. Puis, une formulation sp´ecifique de la surface de glissement est introduite pour de tels syst`emes. Enfin, apr`es avoir g´en´eralis´e le principe de la CMGI, une CMGI d’ordre deux est synth´etis´ee. Il est montr´e qu’en relˆachant l’objectif de stabilisation asymptotique en un objectif de stabilisation pratique, cette technique permet d’apporter une solution unifi´ee `a de nombreux probl`emes de poursuite de trajectoires (e.g. configuration fixe, trajectoires non stationnaires) en pr´esence de perturbations ne v´erifiant pas n´ecessairement la condition de recouvrement (voir le th´eor`eme 5.3). Cette m´ethodologie nous permet de mettre en lumi`ere un autre avantage de la CMGI qui consiste, par un choix appropri´e de la surface de glissement, en l’´elimination de singularit´es de la commande nominale.

Pour chacune de ces commandes, nous avons pr´esent´e des r´esultats exp´erimentaux corroborant nos r´esultats th´eoriques.

Il convient de noter que les diff´erents algorithmes propos´es dans ce chapitre n´ecessitent la connais-sance de la configuration des robots mobiles par rapport `a un rep`ere fixe. Dans le chapitre suivant, on relˆache cette contrainte en tirant avantage de la possibilit´e d’une localisation relative entre les robots. L’id´ee sera de d´evelopper, dans le cadre du suivi de trajectoire, un m´ecanisme d´ecentralis´e de coordination entre les v´ehicules.

Chapitre 6

Suivi coordonn´e de trajectoire pour la

flottille

6.1 Introduction

En ce qui concerne la fonctionnalit´e de poursuite de trajectoire pour une flottille de robots mobiles, plusieurs strat´egies peuvent ˆetre mises en place. La plus simple est d’´etendre l’architecture de poursuite de trajectoire mono-robot dans un cadre multi-robots. Dans ce cas, l’algorithme de commande propos´e dans le chapitre pr´ec´edent est implant´e sur chaque robot mobile. Ainsi, seule la fonctionnalit´e de planification int`egre des m´ecanismes de coordination entre robots.

L’id´ee de ce chapitre est de d´evelopper, dans le cadre du suivi de trajectoire, un m´ecanisme d´ecentralis´e de coordination de type “meneur / suiveur”, o`u une relation hi´erarchique existe entre les v´ehicules. Pour chaque v´ehicule, la r`egle de d´ecision est de suivre le v´ehicule le plus proche de lui (meneur local). Cette architecture est li´ee `a la pr´esence de capteurs (cam´era omni-directionnelle, t´el´em`etres, . . . ) et d’algorithme de vision permettant de d´eterminer les positions relatives entre robots. Par rapport aux strat´egies non coop´eratives de poursuite de trajectoire, elle pr´esente l’avantage de s’af-franchir de la connaissance de la position des robots par rapport `a un rep`ere fixe. Deux cons´equences directes peuvent ˆetre ´enum´er´ees :

⋆ des commandes peuvent facilement ˆetre construites de mani`ere `a assurer l’´evitement de collisions malgr´e la pr´esence d’erreurs et de perturbations en utilisant les coordonn´ees relatives entre robots,

⋆ dans le cadre du maintien d’une forme g´eom´etrique fixe pour la flottille (i.e. positions relatives inter-robots constantes), seul les robots meneurs de la flottille planifient leur trajectoire. Deux points tr`es importants sont `a noter :

– Les strat´egies coop´eratives de poursuite de trajectoire ne peuvent ˆetre utilis´ees pour l’ensemble de la flottille. En effet, pour l’un au moins des robots, elle doit ˆetre non coop´erative afin de

pouvoir localiser la flottille par rapport `a un rep`ere fixe.

– Une attention particuli`ere doit ˆetre port´ee aux propri´et´es de robustesse des commandes stabili-santes. En effet, une erreur sur l’un des robots se r´epercute automatiquement sur les autres. Apr`es avoir formul´e le probl`eme de stabilisation des erreurs de suivi de trajectoire dans le cadre d’un m´ecanisme de coordination “meneur / suiveur” pour une flottille de robots mobiles de type unicycle, nous proposerons une solution bas´ee sur le principe de modes glissants avec action int´egrale, qui permet ´egalement de garantir l’´evitement de collisions entre robots malgr´e la pr´esence de perturbations sur le mod`ele.

En guise de conclusion, nous illustrerons l’efficacit´e de notre algorithme par le biais de r´esultats exp´erimentaux sur la plate–forme de robots Miabot.

6.2 Formulation du probl`eme de commande collaborative

6.2.1 Positionnement “meneur / suiveur”

Consid´erons une flottille de N_a robots mobiles de type unicycle, identifi´es par l’indice i∈ N , dont la dynamique r´eelle est r´egie par les ´equations diff´erentielles suivantes :

(

˙qi = f (qi)ui+ pi(qi, t)

˙u_i = T_i+ p_i(q_i, u_i, t) ^(6.2.1)

o`u

– q_i= [x_i, y_i, θ_i]^T ∈ R³ est la configuration r´eelle du robot, – u_i= [v_i, w_i]^T ∈ R2 est le vecteur vitesse du robot,

– T_i= [T_1,i, T_2,i]^T ∈ R2 est l’entr´ee de commande (des int´egrateurs ont ´et´e ajout´es dans la chaˆıne des entr´ees de telle sorte que la partie discontinue de la commande agisse non pas directement sur les vitesses, mais sur leurs d´eriv´ees¹),

– f (q_i) =     cos θ_i 0 sin θ_i 0 0 1    ,

– pi : R³× R+→ R3 et p_i : R³× R2× R+→ R2 repr´esentent les perturbations sur le mod`ele, les incertitudes param´etriques et ´eventuellement les dynamiques non mod´elis´ees.

La strat´egie de commande d´ecentralis´ee est bas´ee sur le mod`ele “meneur / suiveur” (voir figure 6.1). On suppose que chaque robot dispose d’une cam´era positionn´ee devant celui–ci. Au d´ebut de la mission l’un des v´ehicules est choisi arbitrairement comme meneur global de la flottille (robot not´e avec l’indice m). Les autres v´ehicules sont les suiveurs. Par cons´equent, la configuration du meneur de la flottille est d´efinie par rapport au rep`ere fixe. Quant aux positions des suiveurs, elles sont d´efinies 1Il est raisonnable de penser que l’utilisation d’un mod`ele plus pr´ecis de la dynamique des actionneurs conduirait `a de meilleurs r´esultats.

6.2. FORMULATION DU PROBL `EME DE COMMANDE COLLABORATIVE 155