APPLICATIONS DE LA CMG D’ORDRE SUP ´ ERIEUR 123

Fig. 4.9 – Plate–forme d’essais du moteur pas–`a–pas.

L’objectif de commande est de d´eplacer le moteur pas–`a–pas de θ<sub>initial</sub> = 0rad `a θ_{f inal} = 6rad en suivant une trajectoire de r´ef´erence θ_ref(t). Afin de ne pas avoir de discontinuit´e et d’`a–coups en vitesse et en acc´el´eration pour ´eviter des pics d’´energie ´electrique, la trajectoire de r´ef´erence choisie est :

θ_ref(t) = θ_initial+ (θ_{f inal}− θinitial)(10∆³_t − 15∆⁴t + 6∆⁵_t) (4.4.19) avec

∆_t= ^(t−tinitial)

(tf inal−tinitial), t_initial est l’instant initial et t_{f inal}= t_initial+ 0.5s θ_ref(t_initial) = θ_initial, θ_ref(t_{f inal}) = θ_{f inal}

˙θref(t_initial) = 0, ˙θref(t_{f inal}) = 0 ¨

θ_ref(t_initial) = 0, θ^¨_ref(t_{f inal}) = 0

Afin de minimiser les pertes Joules, le courant direct de r´ef´erence est i_d,ref(t) = 0 [Bodson et al., 1993]. Les figures 4.10-4.11 pr´esentent les r´esultats exp´erimentaux en l’absence de perturbations et d’in-certitudes. La figure 4.10 montre que l’´evolution de l’erreur en courant est de l’ordre de 0.03A qui est la pr´ecision des transducteurs de courant. Quant `a la figure 4.11, elle montre que l’erreur de poursuite en position ne d´epasse pas 4.10<sup>−3</sup>rad. On peut ´egalement voir qu’en r´egime permanent les oscillations correspondent `a la pr´ecision du codeur optique (7.10⁻⁴rad). La position oscille entre deux valeurs 6.00013rad et 5.99936rad d´elivr´ees par codeur optique et encadrant la position permanente souhait´ee de 6rad. L’observateur de vitesse donne de tr`es bons r´esultats (erreur de 0.05rad/s). Sur la figure 4.11, on visualise une faible erreur d’estimation sur la vitesse et l’acc´el´eration.

Afin de tester les propri´et´es de robustesse de la loi de commande, des tests ont ´et´e effectu´es en consid´erant une variation de la r´esistance de 25% (simulant par exemple un ´echauffement) ainsi qu’en appliquant un couple de charge C_r = 0.55N m avec le frein `a poudre. Les figures 4.12-4.14 pr´esentent les r´esultats exp´erimentaux en pr´esence du couple de charge et de variations param´etriques. La figure 4.12 montre que l’´evolution de l’erreur en courant reste faible. La figure 4.13 montre que l’erreur de

0 0.5 1 1.5 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Direct current error e₁

(A)

Time (s)

Fig. 4.10 – Erreur en courant - C_r= 0N m.

0 0.5 1 1.5

0 2 4 6

Actual and reference positions

(rad) 0 0.5 1 1.5 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 Position error e 4 (rad) 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20

Estimated and reference speeds

(rad/s) 0 0.5 1 1.5 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 ^{Speed error} (rad/s) 0 0.5 1 1.5 −100 −50 0 50 100

Estimated and reference acceleration

(rad/s²) Time (s) Acc Acc_r Ω Ω_r Θ Θ_r

Fig. 4.11 – Erreur en position angulaire du rotor - Observateur de vitesse et d’acc´el´eration rotorique - C_r= 0N m.

poursuite en position ne d´epasse pas 0.02rad. Enfin, la figure 4.13 repr´esente la tension et le courant appliqu´es sur l’une des phases du moteur.

4.5. CONCLUSION 125 Il convient de noter que ces r´esultats sont meilleurs que ceux obtenus sur la mˆeme plate–forme par une commande par modes glissants d’ordre deux bas´ee sur le “twisting ´echantillonn´e” [Nollet et al., 2006] notamment au niveau de la consommation ´energ´etique.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Direct current error e₁

(A)

Time (s)

Fig. 4.12 – Erreur en courant - Incertitudes param´etriques - C_r6= 0.

4.5 Conclusion

La premi`ere partie de ce chapitre a ´et´e consacr´ee `a une pr´esentation g´en´erale des concepts de base de la commande par modes glissants (conditions d’existence, ph´enom`ene de r´eticence, propri´et´es de robustesse, . . . ). Apr`es avoir rappel´e les principales raisons ayant motiv´e l’apparition de la commande par modes glissants d’ordre sup´erieur, nous avons pr´esent´e son principe. Cette approche contourne les principaux probl`emes rencontr´es avec la commande par modes glissants d’ordre un tout en pr´eservant les propri´et´es de robustesse et de convergence en temps fini. Elle permet ´egalement d’augmenter la pr´ecision. Bien qu’il existe de nombreux algorithmes permettant de construire des commandes par modes glissants d’ordre deux, on en trouve peu capable de g´en´erer des modes glissants d’ordre quelconque.

La seconde partie de ce chapitre a ´et´e vou´ee `a la construction d’un algorithme original de commande par modes glissants d’ordre quelconque qui ne n´ecessite pas de phase d’initialisation et qui garantisse un r´eglage simple et rapide des param`etres de la loi de commande. Cet algorithme, tirant son inspiration de la commande par modes glissants avec action int´egrale [Utkin et Shi, 1996], consiste `a ajouter un terme discontinu afin de rendre robuste vis–`a–vis des perturbations une commande nominale bas´ee sur des fonctions homog`enes.

La troisi`eme partie de ce chapitre a ´et´e destin´ee `a la mise en application de notre algorithme de commande par modes glissants d’ordre sup´erieur pour la commande d’un a´eroglisseur ainsi que d’un moteur pas–`a–pas. Cette commande a ´et´e r´egl´ee de mani`ere `a ˆetre robuste vis–`a–vis des perturbations de type vague pour l’a´eroglisseur. Quant au moteur, elle a ´et´e r´egl´ee de mani`ere `a rejeter l’effet du couple de charge et des incertitudes param´etriques. Les diff´erentes exp´erimentations sur un banc d’essais ont montr´e qu’elle conduit `a d’excellents r´esultats, mˆeme lors de variations param´etriques

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0

2 4 6

Actual and reference positions

(rad) Θ Θ_r 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −0.02 −0.01 0 0.01 Position error e 4 (rad) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 10 20

Estimated and reference speeds

(rad/s) Ω Ω_r 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −1 −0.5 0 0.5 Speed error (rad/s) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −100 0 100

Estimated and reference acceleration

(rad/s²) Acc Acc_r 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.2 0.4

Load torque perturbation

(Nm)

Time (s)

Fig. 4.13 – Erreur en position angulaire du rotor - Observateur de vitesse et d’acc´el´eration rotorique - Incertitudes param´etriques - C_r6= 0.

importantes.

Ceci ach`eve la pr´esentation des techniques robustes de commande par modes glissants sur les-quelles nous avons bas´e notre travail. Dans le chapitre suivant, deux autres commandes, facilement impl´ementables, tirant toujours leur inspiration du principe de la commande par modes glissants avec action int´egrale, seront appliqu´ees `a des robots mobiles de type unicycle (sans et avec prise en compte des dynamiques des actionneurs), avec un objectif `a la fois de stabilisation et de poursuite de trajec-toire. Bien que l’objectif originel du principe de la CMGI soit d’´eliminer l’effet des perturbations d`es l’instant initial [Utkin et Shi, 1996], deux autres finalit´es seront mises en ´evidence dans le chapitre suivant.

4.5. CONCLUSION 127 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −4 −2 0 2 4 Current I_a (A) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −40 −20 0 20 40 Voltage V_a (V) Time (s)

Fig.4.14 – Tension et courant appliqu´es sur l’une des phases du moteur - Incertitudes param´etriques - C_r6= 0.

Chapitre 5

Stabilisation et suivi de trajectoire