Description et formulation - Techniques d'optimisation en traitement d'image et vision par ordi

résultats numériques sont rapportés dans la cinquième section. Nous présentons finalement quelques commentaires de conclusion dans la dernière section.

2.2 Description et formulation

2.2.1 Description

Le mod`ele que nous consid´erons (voir [107, 108]) est compos´e de ϕ op´erations (not´es E1,

E2,..., Eϕ) pour fabriquer le produit. Une opération est exécutée à chaque étape en choissisant un partenaire potentiel. Chaque partenaire potentiel a un coût d’activité unitaire et un coût de stockage. Il y a un coût de transport entre deux partenaires potentiels successifs situés dans deux étapes successives et un coût fixe pour faire une colaboration entre eux. Ces coûts peuvent changer dans chaque étape, dans chaque période et par chaque partenaire. Le problème est représenté par un réseau G=(N, A), où N comme ensemble de sommets et A comme ensemble d’arrêts. Chaque sommet représente une location du partenaire potentiel et chaque arrêt représente une connexion entre deux étapes successives. L’objectif du problème est de rechercher la ”meilleure” chaˆıne reliée d’un sommet dans la première étape à un sommet dans la dernière étape. L’objectif est de sélectionner un partenaire à chaque étape de la chaˆıne d’approvisionnement pour satisfaire les demandes sur toutes les périodes, bien entendu, le coût est le plus bas.

Fig. 2.2 – Le mod`ele de la chaˆıne d’approvisionnement du probl`eme

La formulation du problème est considérée dans [107, 108] avec les principales caractéristiques du système :

• Il s’agit de satisfaire une opportunit´e du march´e.

• La demande est connue sur l’horizon, mais peut varier d’une période à la suivante. • La rupture de stock est interdite à la dernière étape. En d’autre termes, le client final doit

ˆetre satisfait tout au long de l’horizon donn´e.

• La capacité disponible de chaque sommet est connue sur l’horizon de l’étude, mais peut varier d’une période élémentaire à l’autre.

• La somme du temps opératoire à une étape et du temps de transport de cette étape à la suivante est égale à une période élémentaire.

• Il n’y a pas de limite de capacité sur le transport d’une étape à la suivante.

2.2.2 Formulation math´ematique ([107, 108])

Les param`etres utilis´ees :

• P =< 1, ..., ϕ > : l’ensemble des ´etapes requises pour r´ealiser le projet. • T : le nombre de p´eriodes sur lesquelles se fait l’optimisation.

• dt avec t ∈ T : la demande de la p´eriode t.

• M : une valeur sup´erieure `a la somme des demandes.

• Nα avec α ∈ P : le nombre de partenaires potentiels `a l’´etape α.

• Fi,α,j,α+1 avec α = 1, 2, ..., ϕ − 1, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et j ∈ {1, 2, ..., Nα+1} : le coˆut fixe d’´etablissement d’une connection entre le nœud i de l’´etape α et le nœud j de l’´etape

α + 1.

• Ci,α,j,α+1,t avec α = 1, 2, ..., ϕ − 1, i ∈ {1, 2, ..., Nα}, j ∈ {1, 2, ..., Nα+1} et t ∈ T : le coût de transport unitaire du nœud i de l’étape α au nœud j de l’étape α + 1 dans la période t. • H_i,α,t^f avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : le coˆut de stockage `a la sortie du nœud i `a

l’´etape α dans la p´eriode t.

• H_i,α,t^r avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : le coˆut de stockage `a l’entr´ee du nœud i `a l’´etape α dans la p´eriode t.

• Ui,α,t avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : le coˆut unitaire de réalisation de l’operation par le nœud i de l’étape α durant la période t.

• Φi,α,t avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : la capacit´e disponible chez le nœud i de l’´etape α durant la p´eriode t.

Variables :

• h^f_i,α,t avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : le nombre d’unit´es en attente `a la sortie du nœud i `a l’´etape α durant la p´eriode t.

• hr

i,α,t avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : le nombre d’unit´es en attente à l’entrée du nœud i `a l’´etape α durant la période t.

• zi,α,t avec α ∈ P, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et t ∈ T : le quantit´e produite par le nœud i dans l’´etape α durant la p´eriode t.

• xi,α,j,α+1,t avec α = 1, 2, ..., ϕ − 1, i ∈ {1, 2, ..., Nα}, j ∈ {1, 2, ..., Nα+1} et t ∈ T : la quan-tit´e du stock de sortie du nœud i de l’´etape α vers le stock d’entr´ee du nœud j de l’´etape

37 2.2. Description et formulation

• Wi,α : (

1 si le nœud i dans l’´etape α est inclus dans la chaˆıne 0 sinon.

Ici, α ∈ P et i ∈ {1, 2, ..., Nα}. • Yi,α,j,α+1 :

(

1 si tous les deux nœuds sont inclus dans la chaˆıne 0 sinon.

Ici, α = 1, 2, ..., ϕ − 1, i ∈ {1, 2, ..., Nα} et j ∈ {1, 2, ..., Nα+1}.

Formulation de programmation lin´eaire en variables mixtes 0-1 :

(M IP ) min ϕ−1 X α=1 Nα X i=1 N_α+1 X j=1 Fi,α,j,α+1Yi,α,j,α+1 + ϕ−1 X α=1 T X t=1 N_α X i=1 N_α+1 X j=1 Ci,α,j,α+1,txi,α,j,α+1,t + ϕ X α=1 T X t=1 Nα X i=1

(H_i,α,t^f h^f_i,α,t+ H_i,α,t^r h^r_i,α,t+ Ui,α,tzi,α,t) Tels que : Nα X i=1 Wi,α = 1 ∀α ∈ P (2.1) Yi,α,j,α+1≥ Wi,α+ Wj,α+1− 1 (2.2) α = 1, 2, ..., ϕ − 1 i = 1, ..., Nα j = 1, ..., Nα+1

zi,α,t ≤ Φi,α,tWi,α ∀α ∈ P i = 1, ..., Nα t = 1, ..., T (2.3)

T X t=1 N_α+1 X j=1 xi,α,j,α+1,t≤ Wi,αM α = 1, 2, ..., ϕ − 1 i = 1, 2, ..., Nα (2.4) T X t=1 Nα X i=1 xi,α,j,α+1,t≤ Wj,α+1M α = 1, 2, ..., ϕ − 1 j = 1, 2, ..., Nα+1 (2.5)

h^f_i,α,t = h^f_i,α,t−1+ zi,α,t−

N_α+1

j=1

xi,α,j,α+1,t (2.6)

h^f_i,ϕ,t = h^f_i,ϕ,t−1+ zi,ϕ,t− dtWi,ϕ i = 1, 2, ..., Nϕ t = 1, 2, ..., T (2.7) h^r_j,α+1,t= h^r_j,α+1,t−1− zj,α+1,t+ N_α X i=1 xi,α,j,α+1,t (2.8) α = 1, 2, ..., ϕ − 1 j = 1, 2, ..., Nα+1 t = 1, 2, ..., T h^f_i,α,0= 0 i = 1, 2, ..., Nα ∀α ∈ P (2.9) h^r_i,α,0= 0 i = 1, 2, ..., Nα ∀α ∈ P (2.10)

h^f_i,α,t, h^f_i,α,t, zi,α,t ≥ 0 i = 1, 2, ..., Nα ∀α ∈ P t = 1, 2, ..., T (2.11)

xi,α,j,α+1,t, Yi,α,j,α+1≥ 0 (2.12)

i = 1, 2, ..., Nα j = 1, 2, ..., Nα+1 α = 1, 2, ..., ϕ − 1 t = 1, 2, ..., T

Wi,α∈ {0, 1} i = 1, 2, ..., Nα α = 1, 2, ..., ϕ (2.13) L’objectif du problème est de minimiser le minimum de la somme intégrée du coût d’´ etablisse-ment des connexions, du coût de transport, des coûts de stokage à l’entrée et à la sortie et du coût de production. Les contraintes (2.1) et (2.2) assurent qu’à chaque étape, un parte-naire et un seul est choisi dans la chaˆıne d’appovisionnement. La contrainte (2.3) assure une capacité de production de chaque partenaire. Pour obtenir la collaboration entre deux partenaires à deux étapes successives, nous déduisons les contraintes (2.4) et (2.5). Pour assurer une relation entre le transport, la production et le stockage, les contraintes de (2.6) `

a (2.8) sont nécessaires. Les contraintes (2.9) et (2.10) spécifient les conditions initiales des partenaires au lancement de la chaˆıne d’appovisionnement. Les contraintes (2.11) et (2.12) indiquent que les quantités de production, de transport, et de stockage sont non négatives. La derni`ere contrainte (2.13) signifie que les variables Wi sont binaires. Dans ce modèle, nous considérons que toutes les variables en dehors de la production sont nulles.

Ce problème est une programmation linéaire en variables mixtes 0-1 et ainsi une program-mation non convexe. La difficulté de ce problème dépend du nombre d’étapes, du nombre de partenaires(i.e. les nœuds) dans chaque étape et du nombre de périodes. Par exemple, si nous considérons un projet qui contient de 10 étapes avec 10 nœuds à chaque étape et 6 périodes, donc il y a 9400 variables, 100 variables binaires et 3030 contraintes. Le nombre de variables, le nombre de variables binaires et le nombre de contraintes sont calculés par des formules suivantes.

Dans le document Techniques d'optimisation en traitement d'image et vision par ordinateur et en transport logistique (Page 43-47)