Description du milieu

Le milieu d’étude est un milieu granulaire de particules monodisperses, ce qui peut être représenté par un empilement régulier de sphères stockées dans une matrice, où les parois sont rigides, et est baigné dans un fluide qui remplit les pores laissés par les particules. A l’état initial, nous supposons que le milieu est assez disperse, ce qui se traduit par une forte porosité du milieu. La porosité est supposée homogène dans le milieu. Nous supposons que les pores sont remplis exclusivement avec de l’air, cette hypothèse nous ramènera à supposer le milieu biphasique, constitué ainsi d’une phase solide et d’une phase fluide. La phase solide est présentée par un ensemble de particules solides déformables sous l’effet des contraintes mécaniques.

A l’état initial, le milieu est caractérisé par un nombre de contact défini. Sous l’effet des contraintes mécaniques, la surface de contact entre deux particules augmente et sera bien déterminée. En tenant compte de toutes ces descriptions citées plus haut, le milieu d’étude peut être représenté par une cellule élémentaire qui est reproduite de façon identique dans tout le milieu.

3.3.1.1 Cellule élémentaire représentative

Dans la théorie de la mécanique des sols, les mécaniciens supposent que le comportement d’un milieu granulaire, notamment une poudre, peut être assimilé à celui d’un milieu continu dont le comportement est défini, en chaque point, par une loi macroscopique en contraintes-déformations. Pour un milieu contenant un grand nombre de particules, cette approche se justifie à partir des théories d’homogénéisation des milieux hétérogènes. On définit un volume élémentaire représentatif (VER), un volume pour lequel il est possible de déterminer une loi de comportement unique reliant les contraintes aux déformations. Cette définition du VER, implique que le comportement macroscopique d’un échantillon est purement déterministe dès que sa taille est supérieure à celle du VER [29, 90]. L’approche probabiliste du choix du VER semble la plus pertinente pour la formulation de notre modèle. Pour notre choix de la cellule de base, le VER satisfait aux critères suivants :

Il doit être suffisamment petit pour prendre en compte la structure microscopique du milieu, et suffisamment grand pour pouvoir décrire le comportement global du milieu (séparation des échelles).

Ses propriétés thermomécaniques doivent être indépendantes de l’endroit du milieu où il a été prélevé.

Cette deuxième condition est difficile à réaliser, du fait que le comportement du VER peut être affecté par la proximité des parois. Pour le comportement mécanique, l’effet des parois est traduit par une redistribution des forces vers l’intérieur. Par conséquent, la compression n’est plus unidirectionnelle, mais plutôt bidirectionnelle (en fonction de z et r)

Nous supposons que notre milieu est semi-infini, et dans ce cas nous négligeons le rôle des parois pour le choix du modèle afin d’éviter un effet de pompage. Le problème de définition de la cellule de base exige de vérifier simultanément les lois de transfert thermique ainsi que la loi de comportement mécanique. Pour la caractérisation thermique, le VER peut être représenté par un volume contenant deux sphères (demi-sphères) en contact. Nous supposons qu’une cellule contenant deux particules en contact peut décrire le comportement mécanique total du milieu, et ceci est vrai si la position et le type de contact sont bien déterminés. En tenant compte de tout ce qui est décrit plus haut, notre cellule unitaire est formée à partir d’un cylindre qui comporte deux sphères en contact. Pour simplifier le calcul, le volume de la cellule de base peut être réduit à un cylindre avec deux demi-sphères en contact, en raison de la symétrie du système. Le schéma 3.4 illustre bien la cellule de base ainsi définie.

Figure 3.4 : Cellule unitaire du modèle

La longueur de la cellule élémentaire dans la direction du flux de chaleur est de ∆L et la variation de la température est ∆T. Nous signalons que la hauteur du cylindre (cellule unitaire) dépend des contraintes mécaniques appliquées. Pour son calcul, nous nous appuyons sur le calcul du rayon de la surface de contact en fonction de la contrainte mécanique appliquée :

p

L=2r cos

ψ

∆ (3.6)

Le transfert thermique dans une cellule s’effectue à travers 3 zones séparées par deux zones fictives. Les deux paramètres qui régissent la transition du transfert dans les zones frontières sont déterminés par deux angles limites ψ et θ.

Entre la zone 1 et 2, la zone de frontière est définie par l’angle limite θ qui dépend du nombre de particules en contact avec celle considérée. Sur la figure 3.4, nous avons présenté seulement une surface de contact, néanmoins, il existe un nombres n de contacts par particule. Nous supposons que les lignes de flux qui passent par les n surfaces de contacts sont parallèles à la direction du flux total. De plus, le flux qui traverse la cellule élémentaire (existence d’une seule zone de contact) est proportionnel au flux total tel que :

Particule 2 T2 Zone 1 Zone 2 Q2 Q2 Q2 Q1 Q3 Particule 1 T1 θ ψ

Flux thermique Contraintes mécaniques

∆L, ∆T Zone 3

rp rp

tot

Q Q

n

= (3.7)

Qtot est le flux thermique traversant une cellule unitaire composant une particule avec ses n particules voisines.

Par ailleurs, dans la cellule unitaire, les trois lignes de flux sont unidirectionnelles et parallèles à la direction du flux traversant la cellule élémentaire. Il existe une limite où le flux passe à travers la phase fluide. Cette limite est calculée avec un angle limite tel que :

2 2 0 2 sin p z r

π

θ

π

où z0 est le diamètre d’un cylindre fictif composé de deux zones (zone 3 + zone 2) Nous supposons que le rapport (équation 3.8) est égal au même rapport entre le flux passant à travers une cellule élémentaire et le flux total. L’angle θ peut être déterminé à partir de l’équation suivante :

2 1

sin θ =

n (3.9)

Entre les zones 2 et 3, nous pouvons remarquer que l’angle ψ dépend étroitement de la déformation due aux contraintes appliquées. Ce paramètre peut être déterminé à partir de la relation suivante : s p a sinψ = r (3.10)

Où as est le rayon de surface de contact.

3.3.1.2 calcul de la surface de contact

Le contact entre deux corps se fait selon la procédure suivante : dans un premier temps, le contact est représenté par un seul point de contact central. Sous l’effet de la pression, une surface se forme autour de ce point de contact. Pour des particules sphériques, la surface de contact est toujours petite devant la surface des deux corps [91], et le calcul de cette surface dépend de leur géométrie, mais aussi de la pression utilisée.

A l’état initial, le milieu granulaire est assez dispersé, ce qui nous permettra de supposer que le contact est ponctuel au début de la compression. A la fin de la compression,

nous pouvons démontrer par calcul que la surface totale de contact est toujours inférieure à la surface d’une particule.

Dans le modèle, nous avons supposé que les particules sont de forme sphérique, et la surface de contact peut être déterminée par des lois de contacts. Les équations qui décrivent ces lois de contact, sont typiquement déterminées à partir des considérations de la théorie de mécanique de contact, de sorte que sous leurs formes les plus simples, elles incluent un frottement normal (exclusivement Hertzien), et une certaine approximation du frottement tangentiel nul, c’est-à-dire que dans le modèle actuel, les tractions de cisaillement sur des surfaces de particules sont ignorées et seules les composantes normales d'effort à chaque jonction de particules sont prises en compte. Nous basons cette négligence des tractions de cisaillement entre les particules sur l'étude de Fleck (1995), qui a constaté qu'ils jouent seulement un rôle mineur.

Nous supposons connaître la surface de contact entre deux particules. En se basant sur la définition originale du contact (deux particules sont en contact si la distance entre les deux centres est inférieure ou égale à la somme de deux rayons pour des particules sphériques de même diamètre), pour pouvoir positionner les surfaces de contacts. La pression est considérée uniforme en chaque point de contact, et l’accroissement de la surface de contact sera établie par un calcul de contrainte issue d’une pression appliquée par la particule 2 sur la particule 1 au niveau de la jonction.

Dans le modèle développé, nous supposons que les surfaces de contact sont circulaires, et le rayon de cette surface est noté as. La déformation entre deux particules est élastique, et le rayon de la surface circulaire est donné par la formule de Hertz [29, 92]:

1/ 3 2 3 1 8 s p a FD E

µ

Où F est la force qui agit au niveau du contact entre deux particules.

Le calcul des surfaces de contacts est indispensable pour la résolution du problème. Le rayon de la surface de contact (équation 3.4) nécessite le calcul des contraintes mécaniques en chaque point de contact. Les contraintes mécaniques dans un milieu granulaires dépendent de la profondeur du milieu. Si les contraintes mécaniques ne sont pas homogènes dans le milieu, les surfaces de contacts ne seront pas constantes. Ceci présente un problème pour le choix de la cellule unitaire, puisqu’elle dépend étroitement de la surface de contact. Pour limiter la variation des contraintes mécaniques dans le milieu, nous travaillons avec de petits

échantillons où le rapport hauteur/diamètre est égal à l’unité. Cette condition nous permet de supposer que les contraintes mécaniques sont homogènes dans le milieu. Nous négligeons l’effet du coefficient de transmission La contrainte appliquée en chaque point de contact est égale à la contrainte appliquée par la machine à compression. Avant chaque compression, la lubrification des parois, assurera une bonne transmission des forces dans le milieu. Par conséquent, les contraintes mécaniques seront homogènes dans chaque compact.