Puisque le laser qui sera utilisé en laboratoire est muni d’une cavité en anneau, ceci facilite la conception du code de simulation puisque l’on pourra appliquer l’effet de chaque partie l’une après l’autre. Lorsque l’impulsion aura complété un tour de cavité, elle va recirculer dans la cavité par le moyen d’un boucle numérique jusqu’à l’obtention d’une impulsion stable. Pour bien représenter ce qui se passe dans le laser lorsque l’impulsion est en train
de se former, nous avons choisi de débuter avec une représentation du bruit optique. Nous avons défini une fonction aléatoire de la phase dans le domaine spectral avec une puissance uniformément distribuée sur 5.39 THz ou 40 nm. Dans le domaine temporel, ceci représente les fluctuations de puissance dues au bruit optique. Ainsi, en introduisant le bruit dans le laser muni d’une cavité en anneau, il y aura amplification de ce bruit et aucune impulsion stable ne sera formée en l’absence de modulation. La figure 4.2 représente le bruit optique.
FIGURE4.2 – a) Intensité du bruit initial dans le laser dans le domaine temporel. b) Densité spectrale de puissance du bruit initial. Noter que la phase des composantes spectrales est aléatoire.
Après plusieurs passages complets dans la cavité, ce bruit devrait évoluer vers une impul- sion optique de forme gaussienne selon le modèle de Kuizenga-Siegman. La formation de cette impulsion est grandement affectée par la durée et la forme de la fenêtre de modulation ; cet effet sera discuté plus tard dans ce chapitre.
Ensuite, on considère l’effet de la paire de réseaux de diffraction, qui créera la dispersion de la cavité. Cet élément sera implanté dans la simulation en ajoutant une dispersion loca- lisée. Elle influencera le champ incident de la façon décrite au chapitre 2 ; nous allons donc considérer son effet dans le domaine spectral selon l’équation suivante :
e E2(ω) =Ee1(ω)exp −j(B1ω+ 1 2B2ω 2) (4.1) où le terme eE1(ω)représente le champ incident et eE2(ω)le champ transmis, B1est le temps
que prend la fréquence centrale pour effectuer un tour de cavité, le paramètre B2 représent
la dispersion d’ordre 2 induite par la paire de réseaux pour la fréquence centrale (ω =0) et
ωreprésente la différence relative de fréquence optique. La durée d’un trajet dans la cavité
expérimentale s’élève à B1 ≈ 57 ns. Après avoir mesuré la dispersion interne de la cavité,
nous avons obtenu une valeur de dispersion interne totale B2 = −15.4 ps2.
Selon le cas étudié, nous pouvons ajouter un interféromètre de Gires-Tournois qui crée une modulation du délai qui dépend de la fréquence optique. Son effet sera implanté dans la
simulation en même temps que la dispersion due aux réseaux. Les équations décrivant le phénomène seront les mêmes que dans la partie théorique du chapitre 2 sur les composantes interférométriques. Voici comment on l’ajoute au code numérique, en considérant son effet sur la phase de chaque fréquence :
e
E3(ω) =Ee2(ω)exp[−jφGT I] (4.2) où φIGT est le déphasage périodique dû à l’interféromètre de Gires-Tournois. Après avoir
traversé les réseaux et l’interféromètre, il faut tenir compte des pertes introduites par chaque réflexion sur les réseaux, par l’impulsion sortant de la fibre et de son injection dans la fibre. Nous avons estimé la perte par injection et par l’impulsion sortant de la fibre à 20 % en puissance et une perte de 12 % en puissance pour chaque réflexion sur la paire de réseaux. Comme on considère l’évolution du champ, il faut prendre la racine carrée de la puissance qui traverse la composante ou p1−pertes pour pouvoir les intégrer à la simulation. Le champ eE4(ω)qui tient compte des pertes diverses est donné par :
e
E4(ω) =Ee3(ω) q
(0.884×0.8) (4.3)
Par la suite, l’impulsion retourne dans la fibre pour une distance d’environ 2 mètres où les effets non-linéaires (NL) et dispersifs de la fibre doivent être considérés. Plus tard dans la simulation, il y aura d’autres parties fibrées dont les effets NL et dispersifs sont importants ; le même code sera alors utilisé, mais avec une longueur de fibre différente. Pour simuler les effets NL, nous tenons compte de la puissance incidente de l’impulsion et du facteur de non-linéarité γ de la fibre utilisée. Premièrement, il faut évaluer γ qui dépend de l’indice de réfraction non linéaire (n2≈2.77∗10−20m2/W pour la silice), de l’aire effective du mode
(Ae f f) et de la longueur d’onde (λ) du faisceau qui s’y propage.
γ= 2πn2
λAe f f (4.4)
où Ae f f de la fibre à l’erbium est de 28.3 µm2 et celle de la fibre SMF-28 est de 78µm2. On
obtiendra donc, pour la fibre SMF-28, γf ibre = 1.43∗10−3(Wm)−1 et pour la fibre dopée
erbium, γerbium = 4∗10−3(Wm)−1. Pour les effets dispersifs, nous allons considérer que les
deux fibres ont la même dispersion, soit β2 = −0.012ps2/m. En fait la dispersion de la fibre
a peu d’effet en comparaison à celle de la paire de réseaux. Pour simuler les effets NL et dispersifs de la fibre, nous allons diviser la distance parcourue dans la fibre en plusieurs segments de même longueur.
Il faut exprimer le champ incident dans le domaine spectral pour tenir compte des effets de la dispersion et dans le domaine temporel pour tenir compte des effets NL. Premièrement, il faut avoir l’information sur l’impulsion incidente au premier segment où les effets dispersifs sont pris en considération. Ensuite, quand l’impulsion a parcouru ce segment, l’information
FIGURE4.3 – Représentation schématique de la méthode ”Split-Step Fourier” pour la propa- gation dans une fibre optique.
sur l’impulsion est conservée et transformée dans le domaine temporel pour qu’elle se pro- page sur un autre segment où les effets NL sont considérés. Cette boucle se répète jusqu’à ce que l’impulsion ait parcouru toute la fibre. Il est important de diviser la fibre en suffi- samment de segments pour bien représenter tous les effets. Il faut porter attention à ne pas mettre trop de segments car, au-delà d’un certain nombre de segments, on n’obtient pas plus de précision sur l’impulsion finale ; cela rallonge considérablement la durée des simulations. Ce type de simulation à pas alternés est appelé ”Split-Step Fourier”. Voici comment on pro- cède pour le premier segment :
E5(ω) =E4(ω)exp −jβ2(ω) 2 ω 2∆z (4.5a) E6(t) =E5(t)exp h −jγ∆z|E5(t)|2 i (4.5b) où E4(ω)est le champ incident dans le domaine spectral, E5(ω)est le champ résultant te-
nant compte des effets dispersifs, E6(t)est le champ résultant après les effets non-linéaires,
|E5(t)|2 est la puissance dans le domaine temporel, γ est le facteur NL et ∆z = z/N est la
longueur du segment parcouru dans une étape de la boucle ; cette procédure est répétée ’N’ fois.
Après avoir parcouru une distance de 2 mètres dans de la fibre SMF-28, l’impulsion traver- sera le modulateur en amplitude qui fixera la forme de l’impulsion selon la durée et la forme de la fenêtre de modulation. Il faut que l’effet du modulateur soit implanté dans le domaine temporel. Pour représenter le modulateur nous allons prendre une approche différente de celle présentée dans la théorie (chapitre 2) où on fait une approximation de la fenêtre de mo- dulation comme une gaussienne. Pour la simulation, nous ne ferons pas d’approximation et nous allons utiliser une représentation mathématique connue pour le modulateur que nous avons explicitement appliquée pour la cavité (voir en annexe pour le développement) :
E7(t) =E6(t)cos π 2 1−V(t) Vπ exp −j0.1 1+ V(t) Vπ (4.6)
où E6(t) est le champ incident, V(t) est le signal de modulation transmis au modulateur
normalisé par rapport à Vπ et l’exponentielle avec un argument imaginaire représente le
glissement en fréquence causé par le modulateur.
La signal de modulation possède un sommet avec deux lobes. Voici une image du signal de modulation prise avec un oscilloscope à échantillonnage dont la bande passante est de 50 GHz.
FIGURE4.4 – Signal de modulation mesuré avec un oscilloscope de 50 GHz.
Après avoir traversé le modulateur, l’impulsion va passer par la fibre amplificatrice. Pour simplifier la simulation, nous avons choisi de mettre un gain localisé à l’entrée de la fibre, lequel sera suivi de l’application des effets NL et dispersifs pour la longueur de la fibre dopée erbium. Comme le spectre des impulsions est étroit par rapport à la bande de gain de l’erbium, nous avons négligé tout filtrage spectral dû au gain. Pour reproduire ce que l’on a obtenu dans le laboratoire, nous avons défini un gain saturé, basé sur l’énergie disponible dans le milieu amplificateur, les pertes dans la cavité et la puissance pompe seuil (voir en annexe). Nous avons utilisé l’expression suivante pour le facteur de gain saturé agissant sur le champ du signal : G=exp g0 1+E/Esat (4.7) où g0 = gseuil∗Ppompe/Pseuilest le coefficient de gain non saturé qui agit sur l’amplitude du
champ électrique (variant selon la puissance de la pompe), E est l’énergie de l’impulsion qui sera évaluée après chaque tour dans la cavité et Esatest l’énergie de saturation qui dépend
de l’énergie disponible dans le milieu. Ce dernier terme a été évalué selon l’intensité de saturation de la fibre dopée à l’erbium pour une longueur d’onde de 1550 nm. Après cette amplification, l’on considère encore des effets NL et dispersifs de la façon décrite à la figure 4.3, mais pour 7 mètres de fibre SMF-28.
Pour terminer, il faut tenir compte des pertes sur le coupleur de sortie ; celles-ci sont évaluées à 10 % de la puissance incidente.
E8(t) =
√
0.9E7(t) (4.8)
Ceci complète le cycle d’opérations représentant un trajet dans la cavité laser. Pour obte- nir une impulsion stable, il faut que l’impulsion effectue un nombre de tours de cavité qui s’élève entre 5×102à 5×103, dépendamment des conditions.