En combinant les résultats du § 3.B et du § 3.C, nous sommes maintenant en mesure de donner des conditions suffisantes pour qu’une fonction ϕ ∈ Dom L′
e
X appartienne aussi à Dom L′ X. Pour cela, introduisons l’application Bϕ : E × R+× Ω → R définie par
Bϕ(y, t, ·) = ϕ(y) − ϕ(Xt−) ,
qui est E ⊗ P-mesurable7, et décomposons-la sous la forme Bϕ = B0ϕ + BBϕ, avec B0ϕ(y, t, ·) = Bϕ(y, t, ·) 1X−
t ∈E0, BBϕ(y, t, ·) = Bϕ(y, t, ·) 1X−
t ∈EB.
Nous aurons besoin dans la suite de la fonction Kϕ : x 7→ RE0ϕ(y)K(x, dy), qui n’est pas définie pour toutes les fonctions ϕ mesurables. La proposition suivante nous assurera qu’elle est bien définie sauf peut être sur un ensemble « exceptionnel » (en un sens que nous allons préciser). (3.22)Proposition.
i) Si B0ϕ ∈ Lloc
1 (ν), alors l’ensemble Γ0 = n
x ∈ E0tel que K|ϕ|(x) = +∞o ∈ E
est de potentiel nul pour la fonctionnelle additive H0, ce qui signifie que
Ex Z +∞ 0 λ(Xs) 1Xs∈Γ0ds = 0, pour tout x ∈ E. ii) Si BBϕ ∈ Lloc 1 (ν), alors l’ensemble ΓB = n x ∈ EBtel que K|ϕ|(x) = +∞o ∈ E
n’est pas visité par (X− τB
k
)k≥1, Px-presque sûrement pour tout x ∈ E.
Démonstration. Nous établissons seulement l’assertion 3.22.i, la preuve de 3.22.ii étant tout à fait similaire. Soit ϕ une fonction borélienne telle que B0ϕ ∈ Lloc
1 (ν). D’après la proposition 3.16.ii, ceci entraine que B0ϕ ∈ Lloc
1 (ν). En notant κϕ la fonction définie par κϕ(x) =
Z
E0
ϕ(y) − ϕ(x) K(x, dy) ,
cela signifie qu’il existe une suite croissante Tn ↑ ∞ de FX-temps d’arrêt, telle que
Ex (Z Tn∧t 0 κϕ(X− s) dH0 s ) < +∞ et donc Ex (Z Tn∧t 0 1X− s∈Γ0dH0 s ) = 0,
pour tous t ≥ 0 et n ≥ 0. On obtient le résultat annoncé en faisant tendre t et n vers l’infini.
7Voir la preuve du corollaire 3.17. La justification donnée par Davis (1984, p. 367) est que t 7→ Bϕ(y, t, ω) est continu à gauche, ce qui est faux en général pour ϕ seulement mesurable.
Le théorème suivant fournit des conditions suffisantes pour qu’une fonction ϕ ∈ Dom L′ e X soit dans le domaine du deuxième générateur étendu de X, et permet de calculer lorsque c’est le cas un élément h ∈ L′
Xϕ. Il semble plus délicat de trouver des conditions suffisantes (utilisables) d’appartenance à Dom LX : nous nous contenterons de remarquer que c’est le cas si, en plus des hypothèses du théorème 3.23, on suppose que ϕ et h sont des fonctions bornées.
(3.23)Théorème. Soit ϕ une fonction E → R borélienne, telle que
i) ϕ ∈ Dom L′ e X, ii) Bϕ ∈ Lloc 1 (ν), iii) Γ∗=
x ∈ EB\ ΓB, ϕ(x) 6= Kϕ(x) n’est pas visité par (X− τB k )k≥1, Px-ps pour tout x ∈ E. Alors ϕ ∈ Dom L′ X et h = hc |E0+ hd∈ L′
Xϕ, où hdest la fonction définie sur E0 par
hd(x) = λ(x) (Kϕ − ϕ) (x) si x ∈ E0\ Γ0 0 sinon,
et hc n’importe quel élément de L′ e
Xϕ. (Les ensembles ΓB et Γ0 sont définis comme dans la propo-sition 3.22.)
(3.24)Remarques. Il existe plusieurs résultats similaires dans la littérature.
a) Nous avons déjà évoqué celui de Davis (1984, 1993) : il porte sur une classe plus restreinte de processus, les processus déterministes par morceaux, mais il s’agit d’une caractérisation de L′
X en fonction de L′ e
X (voir plus loin).
b) Un autre résultat du même type est présenté par Sawyer (1970), mais il concerne le gé-nérateur faible – notion intermédiaire entre le gégé-nérateur fort et le gégé-nérateur étendu – et s’applique seulement en l’absence de sauts forcés car la fonction de survie F est supposée ne pas s’annuler. Il s’agit de plus d’un résultat assez abstrait qui ne permet que très rarement d’expliciter vraiment les domaines des opérateurs impliqués.
c) Bujorianu et Lygeros (2004c) énoncent caractérisation du générateur étendu d’un système hybride stochastique (du même type, à quelques détails près, que ceux considérés dans ce chapitre). Bien que l’expression soit correcte si la fonction ϕ est par exemple de classe C2, il est facile de se convaincre – en considérant par exemple le mouvement brownien – que les conditions énoncées ne sont ni nécessaires ni suffisantes.
Démonstration.
⊲ Commençons par remarquer que hd(Xs−) = λ(X− s)R E0 B0ϕ(y, s) K(X− s, dy) si X− s ∈ Γ/ 0, 0 sinon. On a doncR0t hd(Xs) ds ≤RRE0×]0;t] B0ϕ
dν(dy, ds) < +∞ ps puisque Bϕ est dans Lloc 1 (ν). De plus, le processus t 7→ Z t 0 hd(Xs) ds − ZZ E0×]0;t] B0ϕ dν
est évanescent car l’ensemble Γ0 est de potentiel nul pour H0 d’après la proposition 3.22.i. Ceci entraine que M0: t 7→ X 0<τ0 k≤t ϕ(Xτ0 k) − ϕ(Xτ−0 k) − Z t 0 hd(Xs) ds est une FX-martingale locale d’après la proposition 3.16.ii.
⊲ Par ailleurs, le processus MB: t 7→ X 0<τB k≤t h ϕ(XτB k) − ϕ(Xτ−B k)i − X 0<τB k≤t (Kϕ − ϕ) (Xτ−B k)
est une FX-martingale locale d’après la proposition 3.16, et la deuxième somme est en fait nulle ps puisque (X−
τB
k)ne visite presque jamais l’ensemble Γ∗∪ ΓB. ⊲ Finalement, rappelons que•Mϕ,hc
est aussi une FX-martingale locale d’après le thorème 3.19. Ceci achève la démonstration, puisque Mϕ,h est indistinguable de•Mϕ,hc+ M0+ MB.
Générateur du processus de base et comparaison avec Davis (1984)
Tous ces résultats ne seraient guère utiles si l’on ne connaissait aucune fonction appartenant au générateur étendu du processus de base. Fort heureusement, la formule d’Itô fournit une large classe de telles fonctions – les fonctions de classe C2 – et l’on peut même être plus précis dans le cas déterministe par morceaux :
(3.25)Proposition.
i) C2(E) ⊂ Dom L′ e
X, et pour toute fonction ϕ ∈ C2(E) on a Lcϕ 1E0 ∈ L′ e
Xϕ (où Lc désigne le générateur différentiel associé à l’EDS, défini dans la proposition 2.28).
ii) Supposons que eX est déterministe, et notons (Υt)t≥0le flot correspondant (i.e. le semigroupe d’applications E → E tel que eXt = Υt( eX0) ps). On a alors la caractérisation suivante : (ϕ, h) ∈ L′
e
X si et seulement si pour tout x ∈ E0, la fonction t 7→ ϕ Υt(x) est absolument
continue, de dérivée t 7→ h Υt(x)
presque partout sur R+.
Reformulons maintenant le théorème 5.5 de Davis (1984) à la lumière de cette proposition, de façon à pouvoir le comparer à notre théorème 3.23. Introduisons pour cela le sous-ensemble Γout
de EB défini par Γout = n y ∈ EBtel que ∃x ∈ E0, ΥτB(x) = yet Z τ B(x) 0 λ Υs(x) ds < +∞o. Le résultat de Davis est le suivant :
(3.26)Théorème. Soit ϕ une fonction E → R borélienne. Alors ϕ ∈ Dom L′
X si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
i) ϕ ∈ Dom L′ e X, ii) Bϕ ∈ Lloc
1 (ν), et
iii) pour tout x ∈ Γout, K|ϕ|(x) < +∞ et ϕ(x) = Kϕ(x). Lorsque c’est le cas, h = hc
|E0+ hd ∈ L′
Xϕ, où hd est la fonction définie dans le théorème 3.23 et hc n’importe quel élément de L′
e Xϕ. (3.27)Remarques.
a) La condition 3.26.iii de ce théorème est en fait équivalente à la condition 3.23.iii de notre théorème : en effet, l’ensemble Γ∗ n’est pas visité par (X−
τB
k)k≥1, Px-ps pour tout x ∈ E, si et seulement si Γ∗⊂ Γ \ Γout.
b) La principale différence entre ce théorème et 3.23 réside bien sûr dans le fait que les conditions sont non seulement suffisantes mais aussi nécessaires dans le cas déterministe par morceaux. Nous n’avons pas réussi à prouver l’analogue dans le cas des systèmes hybrides stochastiques8. Cela serait de toutes façons assez peu utile, dans le mesure où l’on connait seulement un sous-ensemble de Dom L′
e
X (cf. proposition 3.25.i).
c) Nous avons corrigé quelques petites imprécisions dans l’énoncé original du théorème de Davis : 1) l’action fϕ du champ de vecteur f sur la fonction ϕ n’est pas bien définie lorsque ϕ n’est pas de classe C1 (l’interprétation correcte fait intervenir le générateur du processus déterministe de base, cf. proposition 3.25.ii) ; et 2) la fonction λ (Kϕ − ϕ) n’est pas non plus bien définie sur tout E0, mais on a vu qu’elle l’est sur un sous-ensemble Γ0« suffisamment grand » pour que cela ne pose pas de problème (cf. proposition 3.22.i).