d Fréquences de résonance et d’antirésonance

Les fréquences de résonance et d’antirésonance, ou plutôt ici les fréquences série et parallèle, ont des comportements très similaires, avec un écart correspondant au couplage électromécanique. Nous étudierons donc uniquement la résonance série, en sachant que tout ce qu’on en dit est transposable pour la résonance parallèle.

Tout d’abord, on peut remarquer que ces paramètres sont les plus stables, avec une variation due à la dispersion d’environ 0.2%. Ce résultat est assez prometteur pour la réalisation de dispositifs plus complexes par la suite, comme par exemple des filtres, puisque sur une même plaque on aura une bonne homogénéité des fréquences de résonance et d’antirésonance.

Comme on aurait pu s’y attendre, la fréquence de la résonance série dépend principalement de la période. Cela est très compréhensible : on a indiqué dans le paragraphe III.1.a qu’on plaçait les électrodes au-dessus des maxima et des minima de déplacement liés au mode utilisé, la période est donc directement reliée à la fréquence. Cette variation n’est pourtant pas exactement linéaire : c’est l’inverse de la fréquence qui suit une loi linéaire en fonction de la période (Figure III-19), ce qui est cohérent avec la condition de synchronisation : f v p 2 = (III-6)

où p est la période, v la vitesse et f la fréquence.

Figure III-19 : variation de la fréquence de résonance en fonction de la période des peignes

Mais la fréquence de résonance série ne dépend pas uniquement de la période, et d’autres paramètres peuvent l’influencer, comme indiqué sur la Figure III-20. C’est le cas de l’espace entre les doigts et le bord de la membrane. T.T. Yen obtient un résultat similaire [102], qu’il explique par le fait que la valeur idéale de ce paramètre est ¼ de la longueur d’onde, λ. Si, au lieu d’utiliser b = ¼λ on vient prendre une autre dimension, on a alors un décalage entre la fréquence commandée par les peignes interdigités et celle de la membrane. Pour certaines fréquences, c’est la membrane qui impose la fréquence, laissant les peignes légèrement désadaptés à la résonance, ce qui se traduit par une corrélation avec k².

Figure III-20 : variation de la fréquence de résonance série en fonction de l'espace entre les doigts et les trous de libération, et en fonction du nombre de doigts

Enfin, la fréquence de résonance série dépend aussi du nombre de doigts, cependant dans une moindre mesure. En effet, l’augmentation du nombre de doigts diminue la fréquence, probablement parce que, dans notre cas, les membranes comprenant beaucoup de doigts sont beaucoup plus grandes que les autres, cette dimension pouvant modifier légèrement la fréquence de résonance. Les membranes sont aussi plus sensibles aux contraintes internes, aboutissant à des membranes très déformées, et potentiellement à une modification de la fréquence.

A ce point de l’étude nous pouvons nous demander si la fréquence de résonance ne dépend pas de la taille de la membrane comme paramètre principal. Cette hypothèse n’est pas vérifiée avec les données que nous avons, si on trace la fréquence en fonction du paramètre

p(N_a-1)+b on n’observe pas de tendance générale valable.

Les autres paramètres n’influent presque pas sur cette valeur, nous les supprimons de cette étude. L’étude du résultat du plan d’expérience avec Design Expert nous permet d’obtenir une expression de la fréquence de résonance en fonction des paramètres géométriques : b N p f f_s = +α⋅ +β⋅ ^a +χ⋅ 0 1 1 (III-7) avec α = 1.42.10^-4 s/m, β = 6.92.10^-5 µs et χ = 8.73.10^-6 s/m.

La dépendance de la fréquence par rapport à la période explique aussi sa stabilité technologique. En effet, la période est un paramètre géométrique déterminé uniquement par la précision du masque et de la lithographie, qui sont des éléments très bien maitrisés en technologie. Sur un même substrat, et même sur des plaques différentes, on peut obtenir une très bonne reproductibilité de la période des peignes, c’est un grand avantage des résonateurs à ondes de Lamb par rapport aux BAW.

III.4.e Conclusion

Dans ce paragraphe on a vu une première étude de la dépendance des paramètres électriques en fonction des paramètres géométriques. Cette première étude avait pour objectif de déterminer les paramètres géométriques pertinents et d’établir quelques bases de dimensionnement d’un résonateur à ondes de Lamb.

Nous savons maintenant que la période, le nombre de doigts et l’espace entre les doigts et le bord de la membrane sont des paramètres géométriques qui ont un impact sur tous les paramètres électriques. Le rapport de métallisation, lui, n’influence que le couplage électromécanique et, dans une moindre mesure, la capacité basse fréquence. Ce paramètre

La forme des ancrages, gérée ici par le paramètre h qui symbolise la longueur de l’avancée des trous de libération le long de la membrane, n’influe que faiblement sur la capacité basse fréquence du résonateur. Dans la littérature, la plupart des gens cherchent à réaliser des ancrages les plus étroits possibles [91, 98, 103], en se basant sur des connaissances issues des MEMS, probablement afin de laisser la membrane libre de se déformer plus facilement. Notre étude ne confirme pas ce résultat intuitif, mais la plupart des dispositifs présentés ici comportent peu de doigts et les membranes sont donc petites. Afin de conserver un contact électrique peu résistif nous avons conservé une taille de bus importante, le paramètre h ne varie donc pas dans une grande plage de dimensions. Il pourrait être intéressant de confirmer nos résultats en réalisant une étude similaire avec des membranes de plus grande taille sur lesquelles ce paramètre pourrait avoir une vraie influence.

Le dernier paramètre, dont nous n’avons que très peu parlé, est la distance entre les doigts et les bus. Ce paramètre ne semble pas influer beaucoup plus que la dispersion sur les paramètres électriques, nous choisissons donc de l’enlever de l’étude. Nous fixerons ce paramètre à une valeur déterminée par la technologie pour que les dispositifs soient faciles à réaliser, donc à environ 5 µm.

Cette étude nous a tout de même permis d’obtenir des informations sur la variation des fréquences de résonance série et parallèle et du facteur de qualité série. Un approfondissement de cette étude est en cours d’analyse, après réalisation et mesures. Quoi qu’il en soit, il nous est possible de réaliser des transducteurs à ondes de Lamb à une fréquence visée, ce qui nous sera utile pour le véhicule de test des cristaux phononiques.