Chapitre IV Modélisation des cristaux phononiques
IV.1. b Calcul de la structure de bande
Le logiciel de simulation par éléments finis que nous venons d’introduire permet la modélisation de systèmes complexes mettant en jeu différents phénomènes physiques. Dans notre cas, il nous faut pouvoir prendre en compte l’effet piézoélectrique, donc un couplage entre phénomènes électriques et mécaniques, ce qui est possible avec le module piézoélectrique du module MEMS du logiciel.
Pour obtenir la structure de bande d’un cristal phononique infini nous cherchons à obtenir les fréquences propres de la structure en fonction du vecteur d’onde. Pour cela, nous dessinons une maille élémentaire du cristal phononique. Cette maille élémentaire dépend de l’organisation choisie, les géométries des mailles des différentes organisations étudiées sont présentées dans laFigure IV-1.
Figure IV-1 : mailles élémentaires utilisées pour les organisations carrée, triangulaire et en nid d'abeille Afin de modéliser un cristal infini et non juste une maille, nous utilisons des conditions de périodicité appliquées sur les différentes faces. Ces conditions de périodicité, appelées conditions de Bloch, portent sur les déplacements dans chaque direction et sont appliquées comme indiqué sur la Figure IV-2 [116] pour une maille carrée.
Figure IV-2 : conditions périodiques appliquées sur la maille élémentaire pour une organisation carrée On impose donc comme conditions aux limites des relations de phase entre les champs électromécaniques présents sur deux points face-à-face appartenant à deux faces opposées de la maille élémentaire : x j e u u3 = 1 − 2πγ x j e v v3 = 1 − 2πγ x j e w w3 = 1 − 2πγ x j e V V3 = 1 − 2πγ y j e u u4 = 2 − 2πγ y j e v v4 = 2 − 2πγ y j e w w4 = 2 − 2πγ y j e V V4 = 2 − 2πγ (IV-1)
avec u et v les déplacements dans le plan horizontal, w le déplacement vertical et V le potentiel électrique. Les paramètres γx et γx sont des réels correspondant au déphasage, avec un facteur 2π.
Ces conditions de périodicité permettent en particulier de faire varier le vecteur d’onde, que l’on cherche à faire parcourir le pourtour de la première zone de Brillouin. Le lien entre les paramètres γ et le vecteur d’onde est détaillé dans l’Annexe A.
Parmi les conditions physiques nous définissons aussi les paramètres physiques des matériaux utilisés et les conditions aux limites en faisant attention à laisser les surfaces supérieures et inférieures libres mécaniquement et électriquement. On cherche ensuite à mailler la structure, c’est-à-dire à la décomposer en éléments. Plusieurs critères sont à respecter ici : il faut une discrétisation suffisamment fine pour que le résultat approche avec le plus de précision possible la solution physique, mais en conserver un nombre limité pour que les calculs ne soient pas trop longs. Nous utilisons une interpolation par des polynômes de Lagrange de degré 2. Nous souhaitons observer des bandes d’arrêt situées vers le deuxième repliement des modes, donc avec une longueur d’onde de l’ordre du paramètre de maille, nous conserverons au minimum 8 éléments sur chaque côté de la maille élémentaire. Ces remarques seront rediscutées par la suite (paragraphe IV.1.c).
On peut ensuite lancer la simulation en utilisant une résolution aux fréquences propres. Nous utilisons l’algorithme de résolution Spooles [59], proposé par défaut par le logiciel de simulation. Dans ce calcul il est important de noter que la matrice à résoudre n’est plus simplement réelle symétrique comme dans un problème d’élasticité dynamique classique [117], mais complexe hermitienne, en raison de l’utilisation des conditions périodiques complexes sur les frontières.
Ces modélisations nous fournissent un résultat du type de celui présenté dans la Figure IV-3. On a représenté ici le déplacement total au niveau des frontières, révélant une onde se propageant dans la direction x et présentant une demi-longueur d’onde dans la largeur d’une maille du cristal.
Figure IV-3 : résultat de la simulation d'une maille carrée d'AlN, ici amplitude du déplacement total Pour obtenir un diagramme de bandes il nous suffit de déterminer les fréquences propres pour chaque vecteur d’onde. Les paramètres représentant le vecteur d’onde, les paramètres γ, sont utilisés comme des constantes dans notre modélisation. Pour les faire varier nous utilisons donc un programme Matlab. Ce programme réalise une boucle qui incrémente les valeurs des paramètres γ et qui permet de sauvegarder dans un fichier les fréquences propres obtenues avant de relancer la simulation avec les paramètres γ suivants. Ce programme permet de décrire le pourtour de la première zone de Brillouin.
Afin de vérifier la validité de la méthode nous comparons le résultat obtenu avec ce qui est présenté dans [45], obtenu par PWE, méthode auparavant comparée à l’expérimentation. Pour cela, nous modélisons un cristal phononique composé de cylindres de quartz dans une matrice d’époxy, en reprenant les constantes matériaux présentées par les auteurs et rappelées dans le Tableau 2. La Figure IV-4 présente le diagramme de bandes obtenu par notre méthode et le compare aux résultats de la méthode PWE.
Densité (kg/m²) Constantes élastiques (10 10 N/m²) Constantes piézoélectriques (c/m²) Constantes diélectriques (10-11 F/m) matériau ρ c11 c12 c13 c33 c44 c14 e11 e14 εS11 εS33 Quartz 2648 8.674 0.70 1.191 10.72 5.794 -1.791 0.171 -0.0406 3.92 4.103 Epoxy 1142 0.7537 3.8
Tableau 2 : Constantes matériau utilisées pour la comparaison des méthodes de simulation, extraites de [45]. Seules les constantes indépendantes sont présentées ici
Figure IV-4 : diagramme de bandes obtenu pour une maille carrée d'inclusions de quartz dans de l'époxy, a) par PWE [45] et b) par éléments finis
Sur cette figure, on remarque que les deux simulations se superposent correctement, même si on peut noter de faibles différences, qui sont probablement dues à des valeurs légèrement différentes prises pour les constantes élastiques non indiquées par les auteurs pour l’époxy. La méthode développée par éléments finis est donc validée et nous pouvons aller plus loin dans notre étude.