c Amélioration de la méthode de simulation

Comme on vient de le montrer, cette méthode de simulation fournit des diagrammes de bandes plausibles la plupart du temps, mais elle fournit parfois des résultats qui ne sont pas physiques, comme indiqué sur la Figure IV-5. On repère ces erreurs parce que les trois bandes les plus basses en fréquence ne présentent pas des fréquences nulles en γ = 0, alors que les modes correspondants doivent nécessairement avoir une fréquence de coupure nulle, correspondant aux translations de la structure dans les trois directions de l’espace. Généralement, ces erreurs disparaissent si on améliore la qualité du maillage. Nous avons donc identifié deux pistes d’amélioration de la méthode de simulation. La première consiste à modifier le maillage pour qu’il épouse mieux la géométrie, et qu’il soit plus symétrique. La deuxième consiste à modifier légèrement la maille élémentaire pour faciliter son maillage.

IV.1.c.1 Ajustement du maillage

Dans la méthode décrite ci-dessus (paragraphe IV.1.b) on utilise le maillage automatique de Comsol Multiphysics qui utilise des mailles triangulaires qui ne sont pas régulières (leur

densité du maillage (d’extrêmement grossier à extrêmement fin, 7 niveaux de densité). Il est assez légitime de mettre en cause ce maillage automatique, j’ai donc réalisé quelques tests avec des maillages plus élaborés.

Figure IV-5 : résultat de simulation pour une maille avec un remplissage d’environ 30.8 % a) résultat non physique avec un maillage "grossier", b) résultat physique avec un maillage "plus grossier"

Dans un premier temps, j’ai essayé de modifier le type d’éléments en utilisant un maillage de type quadrangle. Pour cela, il nous faut découper la maille élémentaire en 4 parties. On maille ensuite une face avec des mailles quadrangles, puis on étend ce maillage au volume en l’extrudant pour obtenir le résultat de la Figure IV-6. Pour cette étude la Figure IV-6 présente le minimum de mailles utilisées, on réalise aussi des calculs avec un nombre de mailles plus important.

Figure IV-6 : maillage de type quadrangle extrudé

Ce type de maillage ne modifie pas (ou très peu) les résultats obtenus, et il est plus long à mettre en place. Nous avons donc abandonné l’idée de modifier le type d’éléments. Nous nous sommes alors intéressés à la taille des éléments. On a vu en effet qu’avec des densités

différentes on obtenait parfois des résultats différents. Nous avons donc modifié le nombre d’éléments sur chacune des arêtes, mais les résultats ne sont pas plus probants que ceux obtenus par maillage quadrangle.

La conclusion de cette étude est que la solution à notre problème de résultats non physiques ne se trouve pas réellement dans le type d’éléments utilisés. Cela est appuyé par le fait que souvent on n’obtient pas de meilleurs résultats en ajoutant des éléments, mais plutôt en en enlevant.

IV.1.c.2 Modification de la maille élémentaire

Dans un deuxième temps, Guilhem Teissier, stagiaire travaillant sur la modélisation des cristaux phononiques, et que j’ai encadré, a remarqué que les problèmes observés arrivaient principalement lorsque la maille élémentaire contenait une inclusion d’air d’un grand diamètre [118]. Lorsque le trou au centre de la maille présente un grand diamètre d par rapport au paramètre de maille a, l’espace entre deux trous a-d est petit. Dans la représentation de la maille élémentaire que nous utilisons, cette distance correspond à la plus petite dimension et elle est divisée par 2 puisqu’elle est à cheval sur deux mailles élémentaires. Le maillage automatique ne présente, à cet endroit, qu’un seul élément.

Les résultats montrés dans la section IV.1.c.1 nous amènent à penser que le nombre d’éléments n’est pas la seule cause des résultats non physiques. En effet, avec un maillage plus grossier on arrive parfois à retrouver un résultat physique. Nous attribuons ce phénomène à un problème de rapport d’aspect des éléments. En effet, dans la zone de plus petite dimension, les éléments sont souvent distordus, avec un rapport d’aspect bien supérieur à 4. Cela explique notamment que notre méthode de maillage quadrangle n’ait pas donné de meilleurs résultats : on a, dans ce cas, le même nombre d’éléments à l’endroit le plus large qu’à l’endroit le plus étroit, favorisant l’augmentation du rapport d’aspect.

Pour éviter une partie des problèmes, il suffit de revoir la maille élémentaire de façon à ce que cette plus petite dimension ne soit pas à cheval sur deux mailles, comme représenté sur la Figure IV-7. Au lieu d’isoler une inclusion et donc de la centrer au milieu de la maille, on vient maintenant placer les inclusions dans les coins de la maille élémentaire. Notre plus petite distance se retrouve donc au centre des faces de notre maille, et on augmente ainsi cette plus petite dimension, ce qui relâche les contraintes de génération du maillage à cet endroit. De plus, dans le cas d’inclusions prenant la forme de trous, il nous parait plus intéressant d’observer la zone dans laquelle les ondes se propagent plutôt que les zones dépourvues de vibration.

La Figure IV-7 présente les nouvelles mailles utilisées. L’utilisation de ces mailles rend la modélisation plus tolérante vis-à-vis des dimensions, même si le problème énoncé finit par réapparaître à des facteurs de remplissage véritablement très élevés.

A présent que nous sommes en mesure de déterminer le diagramme de bandes d’un cristal phononique, connaissant ses dimensions et les matériaux qui le composent, nous allons étudier son dimensionnement.