4.3 Analyse avant « pool-effect »
4.3.3 Développement de nouvelles corrélations
Nous avons cherché à modéliser nos résultats expérimentaux sous forme d’une cor-rélation pour : déterminer s’il était possible ainsi de mieux représenter nos données,
Grandeur JIMEC-1 JIMEC-2 Re 402 000 ± 69 000 277 000 ± 93 000 P r 0, 064 ± 0, 006 Vf,exp m.s−1 1, 75 · 10−2±0, 05 · 10−2 N uexp 224 ± 32 145 ± 42 Vf,si m.s−1 9, 7 · 10−3±1, 3 · 10−3 12, 5 · 10−3±2, 8 · 10−3 N uSato 242 ± 56 171 ± 66 N uSaito 85 ± 22 59 ± 25 N uF u 132 ± 65 109 ± 63 N uSit 144 ± 15 118 ± 23
Table 4.7 – Comparaison des vitesses de fonte et nombres de Nusselt expérimentaux des essais JIMEC avec les méthodes de la littérature. Vf,si : vitesse de fonte calculée selon le modèle du film fin de Swedish et al. [3] ; NuF u : nombre de Nusselt prévu par Furutani
et al.[18] ; NuSit : nombre de Nusselt calculé à l’aide la corrélation de Sitharamayya et
al.[24] et de la correction d’Epstein [60]. Les nombres de Reynolds – Re – et de Prandtl – P r – sont aussi rapportés à titre indicatif.
aider aux éventuels développements futurs utilisant un système semblable, et finalement effectuer une nouvelle comparaison de nos résultats aux données de la littérature.
Pour la régression en elle-même, nous sommes passés par une représentation logarith-mique de la forme de corrélation étudiée – l’équation (4.8) donne un exemple. Ensuite, nous avons procédé comme pour la détermination de la vitesse de fonte. Nous avons réalisé une régression multi-linéaire avec le module scikit-learn de Python3 [89]. Les in-tervalles de confiance ont été calculés à part, à l’aide d’un test de Student avec α = 5% [90]. Pour le pré-facteur, l’incertitude a été déterminée en utilisant la méthode des bornes [84] à partir de l’incertitude sur son logarithme donné par le test de Student. Les nombres de Reynolds et de Prandtl utilisés sont ceux calculés à la température du jet – rapporté au tableau 3.2.
N u= CRenP rm⇒ ln(Nu) = ln (C) + n · ln (Re) + m · ln (P r) (4.8) Pour réaliser les régressions nous avons utilisé les données présentées plus tôt dans le manuscrit9, sans l’essai 1031. Il a été retiré, car nous avons remarqué que sa pré-sence avait une influence plus grande sur les résultats que les autres points. Aussi, une irrégularité a été constatée sur la courbe donnant la position de l’interface en fonction du temps pour ce test. Les résultats obtenus lors d’essais préliminaires, présentés au sein de l’annexe D, ont aussi été inclus dans l’analyse. Parmi ces résultats, certains ont
9. Les nombres adimensionnels sont calculés à la température du jet. L’utilisation de la température de film T = (Tj− Tparoi)/2 pour les nombres adimensionnels ne change pas les résultats obtenus.
Figure 4.35 – Courbes de parité comparant les nombres de Nusselt obtenus expérimen-talement – en ordonnées – avec ceux obtenus avec les corrélations issues des régressions de nos données expérimentales en fixant l’exposant sur le nombre de Prandtl à 0, 33, sans prendre en compte la correction utilisant le nombre de fonte B – Éq. (4.10) graphe de gauche – et en la prenant en compte – Éq. (4.11) graphe de droite.
été obtenus avec des nombres de Reynolds inférieurs à 4 000, le jet n’était alors pas nécessairement turbulent à l’impact [31]. Donc, ces résultats n’ayant pas été obtenus dans les mêmes conditions ils ont été écartés. Finalement, les essais analysés couvrent les intervalles suivants en nombre de Reynolds, de Prandtl et de fonte :
Re ∈[4 500 − 147 000] ; P r ∈ [2, 52 − 5, 42] ; B ∈ [0, 36 − 0, 89] (4.9) Pour nos expériences, la variation de nombre de Prandtl est trop faible pour pouvoir réellement étudier l’influence de ce nombre adimensionnel. L’exposant sur le nombre de Prandtl est de 1/3 pour la corrélation théorique de Furutani [18] sans fonte – Éq. (2.116) – et de Sitharamayya et al. [24] – Éq. (2.46). Il est typique d’un écoulement laminaire pour des fluides avec un nombre de Prandtl supérieur à l’unité. Nous avons donc postulé une corrélation de la forme Nu = CRenP r0,33 et nous avons obtenu :
N u= 0, 017 · Re0,81P r0,33 (4.10)
∆C = 0, 013 ; ∆n = 0, 07 ; R2 = 0, 93
L’exposant sur le nombre de Reynolds n’est pas cohérent avec les corrélations rappor-tées dans la littérature et s’éloigne de ce qui est attendu pour un écoulement laminaire. De plus, les incertitudes sont grandes sur la constante et l’exposant du nombre de Reynolds. La courbe de parité correspondant à cette régression est disponible au sein du graphe de gauche de la figure 4.35. On remarque une forte dispersion autour de la bissectrice indiquant que la régression ne capture pas correctement la variabilité des données. Nous
avons donc cherché à déterminer si l’utilisation de la correction d’Epstein [58] – Éq. (2.83) – pouvait faire évoluer les résultats et avons postulé une corrélation de la forme
N u= B
ln(1+B)CRenP r0,33 et nous avons obtenus :
N u= 0, 28 · B
ln(1 + B)Re0,58P r0,33 (4.11) ∆C = 0, 09 ; ∆n = 0, 03 ; R2 = 0, 97
L’exposant sur le nombre de Reynolds se rapproche de la valeur de 0, 5 de la loi de Furutani et al. [18]. La courbe de parité correspondante est disponible au sein du graphe de droite de la figure 4.35. Les points sont moins dispersés que pour la régression n’utilisant pas le nombre de fonte B. Cette évolution montre l’importance de l’utilisation du nombre de fonte B, ou d’une méthode de prise en compte de la fonte lors de la recherche d’une corrélation permettant de rendre compte des échanges thermiques lors de l’ablation.
Pour réaliser une dernière comparaison, nous avons déterminé, pour nos expériences, la valeur de N u
Re0,5P r0,33 B
ln(1+B). Le but était de déterminer si l’on obtiendrait une constante similaire à celle de la loi de Furutani et al. [18] avec nos expériences. Nous obtenons
C = 0, 62 ± 0, 11 en prenant la moyenne des valeurs obtenues à partir des données expérimentales, et le double de l’écart-type comme incertitude. La constante pour la loi de Furutani et al. [18] vaut 0, 553√2 ≈ 0, 78. Donc nous pouvons affirmer de nouveau que nos résultats sont cohérents avec ceux de Furutani et al. [18] malgré que nous ayons utilisé une méthode de correction différente pour prendre en compte la fonte. Ainsi, on montre à nouveau l’équivalence des deux approches. Finalement, nous n’avons pas obtenu de corrélation permettant de mieux représenter nos résultats en comparaison de ce qui existe déjà dans la littérature.