Chapitre 2 : Méthodes et matériaux
4. La sédimentation
4.2. Détermination de la vitesse de sédimentation pour une particule dans un liquide visqueux
4.2.1. Bilan des forces
L’objectif de cette partie est de calculer la vitesse de sédimentation théorique d’une unique particule de rayon Rp considérée parfaitement sphérique de masse volumique ρp avec une vitesse initiale v(0) nulle et totalement immergée à l’instant t=0 dans un liquide visqueux de masse volumique ρl et de viscosité ηl. Le mouvement de la particule est descendant, dans le même sens que le vecteur unitaire 𝑒𝑧
⃗⃗⃗ . Le bilan des forces est représenté en Figure 50.
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Figure 50 : Schéma du bilan des forces d'une particule dans un fluide
La particule est soumise à plusieurs forces : - Poids représenté par l’équation 6 :
𝑚𝑝× 𝑔 = 𝜌𝑝× 𝑉𝑝× 𝑔 Avec : mp = la masse de la particule ;
Vp = le volume de la particule ; g = l’accélération de la pesanteur ; ρp = la masse volumique de la particule.
Équation 34 : La force du poids
- Poussée d’Archimède représenté par l’équation 7 : 𝜌𝑙× 𝑉𝑝× 𝑔 Avec : ρl = la masse volumique du liquide.
Équation 35 : La force de la poussée d’Archimède
La poussée d’Archimède est exprimée en fonction du volume déplacé. Dans ce cas le volume déplacé est égal au volume de la particule car nous considérons que la particule est entièrement immergée à l’état initial.
- Force de Stockes (force de frottement) donné par l’équation 8 : 𝑘 × 𝑣 avec 𝑘 = 6 × 𝜋 × 𝜂𝑙× 𝑅𝑝 Avec : v = la vitesse ;
ηl = la viscosité du liquide ; Rp = le rayon de la particule.
Équation 36 : La force de Stockes
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4.2.2. Principe fondamental de la statique
D’après le principe fondamental de la dynamique, exprimé par l’équation 9 on obtient : 𝜌𝑝× 𝑉𝑝×𝑑𝑣
𝑑𝑡 = (𝜌𝑝× 𝑉𝑝× 𝑔) − (𝜌𝑙× 𝑉𝑝× 𝑔) − (𝑘 × 𝑣 )
Équation 37 : Expression du principe fondamental de la dynamique
La poussée d’Archimède ainsi que la force de stockes deviennent négatives car elles s’opposent au mouvement.
La simplification de l’expression donne l’équation différentielle : 𝑑𝑣
𝑑𝑡 +𝑣
𝜏 = 𝑔(1 − 𝛼) Avec : 𝛼 =𝜌𝜌𝑙
𝑝 et 𝜏 =𝜌𝑝×𝑉𝑘 𝑝
Équation 38 : Equation différentielle d’après le principe fondamental de la dynamique
La résolution de l’équation différentielle est explicitée en détail en annexe 1 et donne l’expression suivante :
𝑣(𝑡) = 𝑔 × 𝜏(1 − 𝛼)(1 − 𝑒−𝑡𝜏)
Équation 39 : Résolution de l’équation différentielle
4.2.3. Application de la vitesse de sédimentation au cas d’étude
Prenons pour exemple, la vitesse de sédimentation du système DER332_PEEK 5%. L’étude se fera sans ajout de durcisseur pour empêcher toute réticulation du système qui s’oppose à ce phénomène de sédimentation.
Les données d’entrée sont récapitulées dans le Tableau 7 :
Tableau 7 : Récapitulatif des données d'entrée du système DER332_PEEK
La viscosité de la DER332 avec différentes proportions de PEEK notée 𝜂𝑙 dépend de la température.
Elle a été étudiée par rhéomètre et les résultats sont exposés dans le Tableau 8 :
Symbole Unité Valeurs
Masse volumique DER 332 ρl kg/m3 1,16E+03
Masse volumique PEEK 330 pf ρp kg/m3 1,30E+03
Rayon particule Rp m 2,50E-05
Accélération de pesanteur g m/s2 9,81E+00
Volume particule Vp m3 6,54E-14
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DER332_PEEK
0%
DER332_PEEK 5%
DER332_PEEK 10%
DER332_PEEK 15%
Température
(°C) ηl (mPa.s) ηl (mPa.s) ηl (mPa.s) ηl (mPa.s)
25 6332 ± 85 7110 ± 32 8840 ± 66 9550 ± 54
50 465 ± 5 464 ± 4 587 ± 7 641 ± 3
75 84,0 ± 1 88,1 ± 3 96,8 ± 1 118 ± 1
100 28,6 ± 1 27,6 ± 2 34,2 ± 1 42,7 ± 1
125 15,2 ± 1 16,1 ± 1 17,9 ± 1 23,7 ± 2
140 13,1 ± 2 10,8 ± 1 15,2 ± 2 18,5 ± 2
180 9,9 ± 2 7,22 ± 2 10,2 ± 1 11,9 ± 1
Tableau 8 : La viscosité en fonction de la température de la DER332
La température réduit logiquement la viscosité d’une résine époxyde. Dans notre cas théorique, il s’agit d’une étude avec une seule particule la viscosité qui nous intéresse est donc celle de la résine pure.
Les viscosités utiles sont celles inférieures à 75°C car c’est la température où les modules de perte et de stockage du système thermodurcissable commencent à augmenter.
Le facteur variant avec le temps est exprimé par : (1 − 𝑒−𝑡𝜏)
Équation 40
A l’aide des données des Tableau 7 et Tableau 8, il est possible de définir une valeur τ qui est une constante exprimée en fonction de la viscosité. Celle-ci variant avec la température, la constante τ prend une valeur comprise entre 3,61x10-8 et 1,82x10-5.
A l’état initial (t=1s), le rapport (-t/τ) varie entre -2,77x107 et -5,5x104 s.kg-1 et est donc toujours négatif.
Ainsi, l’exponentielle de ce rapport est très proche de 0 déjà à l’état initial. Avec l’augmentation de la variable t, le rapport tend de plus en plus vers 0.
Cela permet de conclure que dans ce cas, la vitesse de sédimentation est quasi-constante au cours du temps et s’exprime de cette manière :
𝑣 = 𝑔 × 𝜏(1 − 𝛼)
Équation 41
Les paramètres agissants sur cette vitesse sont donc :
- Le rayon de la particule Rp ; si Rp augmente alors v diminue - La viscosité du liquide ηl ; si ηl augmente alors v diminue
- La masse volumique du liquide ou de la particule ρl et ρp ; Si ρl ou ρp augmente alors v augmente.
La vitesse de sédimentation est représentée sur la Figure 51 en fonction de la température.
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Figure 51 : représentation de la vitesse de sédimentation en fonction de la température du système DER332_oPEEK0%
Le graphique montre que la vitesse de sédimentation augmente fortement lorsque la température passe les 75°C puisque la viscosité chute énormément. Les vitesses de sédimentation ainsi qu’un temps de sédimentation pour une distance de 2 mm représentant l’épaisseur totale d’une éprouvette de torsion rectangulaire ou la moitié d’une éprouvette de choc Charpy sont exprimés dans le Tableau 9.
Température (°C)
Vitesse de sédimentation (µm/s)
Temps sédimentation pour d=2mm (min)
25 0,038 874
50 0,41 81
75 2,26 15
100 6,66 5
125 12,6 2,7
140 14,5 2,3
180 19,2 1,7
Tableau 9 : Vitesse et temps de sédimentation pour une particule dans le prépolymère
Ces résultats montrent que la vitesse de sédimentation à 25°C est proche de 0. L’augmentation de la température augmente très rapidement la vitesse de sédimentation. En prenant en compte la gélification du système commençant à 75°C, on peut conclure que le mouvement d’une particule dans le prépolymère est quasiment nul.
Dans le cas réel, il n’y a pas une particule mais plusieurs qui peuvent entrer en collision. C’est pourquoi nous allons réaliser une étude par turbiscan. A contrario, l’ajout de durcisseur abaisse la viscosité du mélange et augmentera donc la vitesse de sédimentation jusqu’à atteindre le point de gélification qui figera le phénomène de sédimentation.
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