2.3.1
Estimation d’un champ de déplacement 2C
Principe des fenêtres d’interrogations
L’estimation du champ de déplacement entre deux images est une problématique étudiée depuis plusieurs dizaines d’années [51]. Cette problématique dépasse le cadre
2.3 Détermination des champs de vitesse 39 J1 J2 J3 J4 M1 M2 M3 M4 M5 HS-SPIV focale (mm) 105 85 85 50 200 200 200 200 105 85 f# 8 8 8 8 16 11 11 8 8 8 Zc (m) 1.7 2.3 2.4 2.3 1.4 1.7 1.8 2.2 1.8 1.2 dt (µs) 31 50 50 75 6/8 10 10 13 31 60 LN (mm) 2 3 3 3 0.5 1 1 1 2 2.5
Table 2.2 – Principaux réglages des plans PIV de la figure 2.4.ZC est la distance approximative de la caméra jusqu’au plan de mesure, etLN est une estimation de l’épaisseur de la nappe obtenue à l’aide d’un papier thermique.
(a) (b) (c)
Figure 2.5 –Schéma représentant un gros plan sur une paire d’image PIV. la fenêtre d’interrogation Wkcentrée sur le pixelk appliquée aux images I(0) (a) et I(dt) (b) pour calculer la carte de corrélation (c) définie par eq. (2.5).
de la PIV et concerne aussi d’autres types de mesures comme par exemple celle des déformations d’un matériau solide ainsi que d’autres domaines comme celui de la vision par ordinateur. Parmi toutes les techniques développées, nous ne présenterons qu’un seul type de méthode dit à fenêtres d’interrogation, qui domine dans le domaine de la PIV grâce à sa facilité d’implémentation et à sa robustesse. Pour commencer, nous considérons un champ de déplacement 2C d’un motif de particules entre deux images I(0) et I(dt) prises aux instants 0 et dt, comme représenté figures 2.5 (a) et (b). Les images sont divisées en sous-domaines dits “fenêtres d’interrogation” (FI) notés Wk qui sont centrés
sur un pixel k. Le sous-domaineWk est souvent un carré de côté LFI pixels. La fonction
de corrélation en deux points, centrée sur k et réduite au sous-domaineWkentre l’image
I(0) et l’image I(dt) et est définie par
CC(k, ∆x(k)) = X
m∈Wk
I(m, 0)I(m− ∆x(k), dt). (2.5)
Cette fonction est représentée figure 2.5 (c) pour les deux images (a) et (b). Rechercher le déplacement ∆x(k) qui maximise cette fonction revient à déterminer le déplacement
qui, dans le domaine Wk autour du point k, déplace le motif de particules entre l’image
I(0) à l’image I(dt).
Résolution pratique du problème
Pour déterminer ∆x(k) d’après (2.5), une méthode courante adoptée dans la commu- nauté PIV consiste à évaluer cette fonction de corrélation en utilisant des transformations de Fourier rapide (FFT). La position ∆x(k) du maximum, visible en rouge sur la figure 2.5 (c), est alors recherchée de manière exhaustive. Les valeurs de ∆x(k) sont à priori dis- crètes car l’image est échantillonnée sur les pixels du CCD. Un procédé de “peak-fitting” permet alors de déterminer des déplacements sub-pixélliques de l’ordre de 0.1px si le pic de corrélation s’étend sur plusieurs pixels. Dans cette approche, le déplacement doit être suffisamment petit par rapport à la taille de la fenêtre d’interrogation (∆x(k) ≤ LFI
4 )
sinon il y a une dégradation de la corrélation par perte de particules. Cette limite est résolue par l’utilisation de méthodes itératives multi-grilles où l’on utilise une succession de fenêtres d’interrogation de taille décroissante ainsi qu’une déformation itérative des fenêtres d’interrogations. Enfin notons qu’il est trop coûteux de réaliser cette détermina- tion du déplacement ∆x(k) pour chaque pixel k de l’image. On détermine donc souvent le déplacement sur un maillage réduit de telle sorte que les fenêtre ne se recouvrent que partiellement (notion d’overlap).
Récemment, Champagnat et al. [17] ont proposé d’utiliser une autre approche pour déterminer ∆x(k). Ces travaux auxquels nous avons contribué sont présentés en annexe A et sont issus d’une collaboration scientifique enrichissante entre l’équipe métrologie du DAFE, et une équipe du DTIM (Département Traitement de l’Information et Mo- délisation) de l’ONERA. Cette approche est implémentée dans le logiciel FOLKI-SPIV que nous avons utilisé lors des dépouillements PIV de cette thèse. L’approche consiste à minimiser la somme des différences mises au carré
SSD(k, ∆X(k)) = X
m∈Wk
(I(m, 0)− I(m − ∆x(k), dt))2. (2.6) La minimisation s’effectue par une descente de gradient de type Gauss-Newton, ce qui permet de s’affranchir du procédé de peak-fitting. L’approche est résolument multi- résolution grâce à l’utilisation d’une pyramide d’images. Ce point particulier, ainsi que d’autres améliorations et détails sont décrits dans l’annexe A. Un avantage de cette méthode est d’être massivement parallèlisable. Ceci permet une implémentation sur les processeurs des cartes graphiques (GPU) ce qui permet un dépouillement des données très rapide pour un prix modeste. Sur une même configuration, le temps de calcul dimi- nue d’un facteur 50 en utilisant les GPU par rapport à un logiciel de PIV classique qui ne les utilise pas.
Peak-locking
Quelle que soit l’approche de dépouillement, lorsque le diamètre de l’image des par- ticules devient inférieur à 2 px l’estimation des déplacements s’accompagne d’un biais, couramment dénommé peak-locking, qui favorise les déplacements ∆x(k) entiers. Ceci s’explique car le pic de corrélation, voir figure 2.5 (c), devient alors trop fin pour permettre une interpolation subpixellique. Ce biais s’apparente à un phénomène de repliement spec- tral qui apparaît lors de l’échantillonnage par le capteur CCD/CMOS d’images contenant des fréquences spatiales trop élevées. Pour éviter cette limitation, il faut s’assurer que le diamètre de l’image des particules soit supérieur à 1 px.
2.3 Détermination des champs de vitesse 41
(a) (b)
Figure 2.6 –Principe de la reconstruction stéréoscopique pour la PIV. Le déplacement d’une particule se déplaçant hors de la nappe (a) se distingue de celui d’une particule se déplaçant dans la nappe (b).
2.3.2
Estimation d’un champ de déplacement 3C
Principe
La PIV stéréoscopique (SPIV) imite la vision binoculaire en faisant appel à deux points de vue pour reconstruire la composante hors-plan du mouvement. La figure 2.6 est un schéma illustrant la possibilité de distinguer un déplacement hors-plan d’un dé- placement horizontal dans la nappe à l’aide de ce principe. L’approche algorithmique classique consiste à déterminer d’abord le champ de déplacement 2C noté ∆xi(k) pour chaque caméra i avant de reconstruire un champ de déplacement 3C noté ∆X(k) dans le plan de mesure. Pour chaque vecteur vitesse, ceci implique de résoudre un système surdéterminé de 4 équations à 3 inconnues. Sa résolution par la méthode des moindres carrés permet de définir une erreur de reconstruction.
Méthode FOLKI-SPIV
La méthode que nous utilisons pour la reconstruction stéréoscopique généralise la minimisation de la fonction définie par (2.6) et se déroule en une seule étape. Tout d’abord, il est nécessaire d’établir une relation entre le plan image de chaque caméra et le plan de mesure. Il existe une transformation non-linéaire projective qui permet de relier la position d’un point objet noté X = (X, Y, Z)T et situé dans le repère attaché au
plan de mesure et la position noté xi = (xi, yi)T de son image dans le repère attaché au
plan image de la caméra i. Pour chaque caméra i, cette relation s’écrit :
xi = Fi(X), (2.7)
comme nous l’avons schématisé sur la figure 2.7. La détermination de cette fonction Fi correspond à une opération d’étalonnage réalisée à l’aide d’une mire étalon placée dans le plan de mesure (plan de la nappe laser). Fi est recherchée sous la forme d’une loi de calibration de type pin-hole qui modélise la vision du plan de mesure par chaque caméra [33]. Une méthode de détermination de la loi de calibration à partir des images de la mire est implémentée dans le logiciel AFIX [67].
Pour de faibles déplacements, la linéarisation de la relation (2.7) permet de relier un déplacement ∆xi dans le plan du capteur CCD/CMOS au déplacement ∆X du plan de
Figure 2.7 – Schéma de principe simplifié représentant la correspondance entre le plan de mesure (plan objet) et le plan du capteur CCD/CMOS (plan image) pour deux caméras (exposants i = 1 et 2) en configuration stéréoscopique. Un maillage régulier de points Xk, indexé par k = [k, l] ∈ G = {0, ..., K − 1} × {0, ..., L − 1}, est défini directement dans le plan de mesure. La calibration de la caméra permet d’obtenir la fonction Fi, (voir le texte pour plus de détails). Le sous-domaineWk représente une fenêtre d’interrogation dans le plan de mesure.
mesure :
∇Fi∆X = ∆xi. (2.8)
Le déplacement 3C ∆X(k) autour du point k est alors celui qui minimise
SSD3C(k, ∆X(k)) = 2 X i=1 X k0∈Wk Ii(xik0, 0)− Ii(xik0 − ∇Fi∆X(k), dt) 2 . (2.9)
La première des deux sommes de l’eq. (2.9) porte sur les images des deux caméras, cette méthode permet donc de combiner les deux déterminations 2C ainsi que la reconstruc- tion stéréoscopique de l’approche classique en une seule étape. La recherche rapide du minimum de (2.9) qui permet de déterminer ∆X(k) est la même que celle utilisée pour la relation (2.6), et permet aussi de gagner un temps important lors du dépouillement. Pour plus de détails, on pourra consulter Leclaire et al. [71].
Self-calibration
La calibration des caméras implique qu’il faille positionner la mire dans le plan de la nappe pour définir le plan de mesure. Si cette opération n’est pas réalisée parfaitement, des erreurs de reconstruction stéréoscopique importantes peuvent apparaitre [118]. Nous avons utilisé la procédure de self-calibration qui permet de rectifier ces erreurs [120]. Une scène de particules éclairées par la nappe laser photographiée par caméra 1, à un instant 0, est rectifiée dans le plan de mesure pour donner (F1)−1[I1(0)]. La même scène
photographiée au même instant par la caméra 2 donne l’image rectifiée (F2)−1[I2(0)].
Si la mire de calibration a été parfaitement alignée avec la nappe, ces deux images doivent être identiques. La procédure de self-calibration permet d’obtenir des fonctions d’étalonnage F1 et F2 qui vérifient cette condition.
Paramètres de dépouillement
Comme décrit dans l’annexe A, FOLKI-SPIV possède un nombre réduit de para- mètres de dépouillement, ce qui est un avantage par rapport au côté arbitraire de cer- taines “recettes” existant dans les algorithmes classiques. Les principaux paramètres sont