2.3 Champ de phase formalisé (rev-FOG) . . . 56 2.4 Comparaison des critères . . . 57
3 Mise en donnée des calculs CA . . . 58
3.1 Propriétés de l’alliage, cinétique et paramètres numériques . . . 59 3.2 Cinétique de croissance . . . 61 3.3 Détermination de l’angle de joint de grains . . . 63
4 Résultats et discussions . . . 64
4.1 Cartes de simulation . . . 64 4.2 Taille de marche δl(φ1,φ2) . . . 66 4.3 Voisinage et localisation de l’estimation de la température . . . 68 4.4 Comparaisons des modèles CA et champ de phase . . . 71
5 Expérience d’Esaka . . . 74
5.1 Objectifs et mise en donnée des calculs CA . . . 74 5.2 Résultats . . . 75 5.3 Cartes de sélection CA adaptatives . . . 82
1 Introduction
La revue bibliographique a montré que la morphologie granulaire dendritique est omniprésente dans les pièces métalliques obtenues par procédé de solidification. L’étude de son développement est ainsi importante pour la production de pièces moulées destinées à des produits technologiques innovants tels que, par exemple, les aubes de turbines en superalliage base nickel pour les moteurs d’avions. Les études théoriques les plus développées se sont principalement focalisées sur la microstructure dendritique interne des grains, c’est-à-dire le rayon de la pointe de dendrite ainsi que les distances interdentritiques primaires et secondaires. La formation et l’orientation des joints de grains résultants de la compétition de croissance dendritique, durant les processus de solidification dirigée, ont cependant été moins investiguées dans la littérature.
La figure III.1 montre deux simulations en champ de phase de compétition de croissance pour un bicristal [Pin18]. Deux configurations divergente (a) et convergente (b) sont représentées et seront plus précisément décrites ultérieurement. Les angles φ1 et φ2, où
−45° ≤ φ1 ≤ 45° et −45° ≤ φ2 ≤ 45°, définissent les orientations des branches primaires
des grains de gauche et droite, respectivement, elles-mêmes alignées dans les directions cristallographiques h1 0i. L’orientation du joint de grains est définie par l’angle θ et résulte de l’interaction des branches primaires et secondaires au niveau du joint de grains.
(a) (b) φ1 g1 φ2 g2 θ φ1 g1 θ φ2 g2 φ1 = 25◦ θ >0◦ φ2 = 5◦ φ1 = −15◦ θ <0◦ φ2 = 0◦ G vL 1
Figure III.1 – Calculs champ de phase modélisant la compétition de croissance dendritique
de deux grains. L’orientation cristallographique φ1 (respectivement φ2) du grain de gauche
noté g1 (respectivement du grain de droite noté g2) définie les directions des branches
dendritiques primaires. L’orientation θ du joint de grains résulte de l’interaction des branchements au joint de grains pour le bicristal. Une distinction est faite entre une configuration (a) divergente et (b) convergente. La valeur des angles d’orientation est mesurée selon la direction du gradient de température, G, ou de la vitesse des isothermes,
vL, dirigées verticalement. Les valeurs de φ1 et φ2, définies dans l’intervalle [−45°, 45°], sont positives dans le sens anti-horaire [Pin18].
Comme précisé dans le chapitre précédent, numériquement, la méthode champ de phase s’est imposée comme une référence pour la modélisation de la croissance dendritique. Elle a
été appliquée à la compétition de croissance entre grains dendritiques en 2D [Tou15 ; Tou17] et 3D [Tak13]. Les résultats numériques obtenus par champ de phase peuvent seulement être comparés qualitativement avec l’expérience. En effet, les mesures expérimentales précises des orientations angulaires obtenues au niveau des joints de grains sont rarement, voire jamais, déterminées. Néanmoins, les simulations champ de phase fournissent une compréhension des mécanismes de compétition entre les branches de dendrites au joint de grains. L’influence du gradient de température a aussi été étudiée [Tak16a ; Tou15].
Dans ce chapitre, nous nous basons premièrement sur une étude menée par Tourret
et al. [Tou17] qui ont modélisé, en 2D, la sélection du joint de grains pour un système
bicristallin en solidification dirigée. Un champ de température unidirectionnel est appliqué, le gradient et la vitesse des isothermes étant alignés selon la direction verticale (figure III.1) du domaine de simulation rectangulaire, de hauteur 2,56 mm et de largeur 2,05 mm. Le gradient de température vaut 3000 K m−1 et la vitesse des isothermes 25 × 10−6m s−1.
L’étude est effectuée pour un alliage de succinonitrile-0,4%pds acétone. Une simulation débute avec deux grains formant un front de solidification dont l’interface solide/liquide est plane et en croissance à la température du liquidus. Les deux grains en compétition sont notés g1 et g2, d’orientations cristallographiques φ1 et φ2, respectivement, et comprises dans
l’intervalle [−45°, 45°] (figure III.1). Pour un couple (φ1, φ2) donné, 10 simulations sont
effectuées et chacune diffère par les évènements de branchements dendritiques aléatoirement générés. Pour chaque simulation, l’angle de joint de grains θ est déterminé et moyenné sur les 10 simulations pour le couple angulaire étudié. Au total, 480 simulations sont produites. Une unique simulation dure 16 heures sur un GPU (Tesla K40c) et 255 jours de simulations ont donc été nécessaires pour couvrir l’intégralité des couples angulaires (φ1, φ2) choisis. Le choix de ces derniers est présenté dans la section 3.
Dans un premier temps, le but de ce chapitre est donc de produire des simulations CA telles que correspondant aux configurations de l’étude champ de phase introduite ci-dessus (paramètres de l’alliage, histoire thermique, cinétique de croissance et couples angulaires utilisés). De manière identique, pour un couple (φ1, φ2) donné, la valeur de
l’angle de joint de grain θ est déterminée et l’intégralité des résultats est présentée sous forme de carte angulaire, donnant les valeurs de θ pour tous les couples angulaires choisis. Ces cartes sont aussi comparées à trois autres cartes associées à trois critères concurrents donnant également une relation θ = f(φ1, φ2). Ces critères sont : (i) Favorably Oriented
Grain(FOG), inspiré du travail de Walton et Chalmers [Wal59] mentionné dans le chapitre
I, (ii) un modèle développé dans ce travail, nommé la Limite Géométrique (LG) et (iii) un modèle de lois phénoménologiques extraites des résultats des simulations champ de phase [Tou15 ; Tou17], nommé revised-Favorably Oriented Grain (rev-FOG). Par la suite, dans la dernière section, le bicristal divergent de l’expérience d’Esaka sera étudié (figure I.3 (a), page 12). Le but sera d’effectuer une étude paramétrique et de déterminer quels paramètres permettent de s’approcher au mieux de la valeur expérimentale de l’angle de joint de grains.
Dans ce chapitre et pour le reste du document, en 2D, les angles d’un bicristal sont définis par φ1 et φ2, tel qu’écrit précédemment. En 3D, les orientations cristallographiques
sont définies par les angles d’Euler selon la convention de Bunge [Bun82] et notés ϕ1, φ, ϕ2
correspondant à la précession, à la nutation et à la rotation propre, respectivement. Pour un bicristal formé par deux grains g1 et g2, leurs orientations cristallographiques sont définies
par les triplets d’angles d’Euler notés (ϕg1
2 Critères de sélection de croissance
2.1 Le critère FOG
Le critère FOG établit simplement que, pour un bicristal, le grain dont la direction de croissance est la mieux alignée avec le gradient de température est favorisé et survit à la compétition de croissance. La valeur de son angle φ définit alors la valeur de θ. En se basant sur la définition des angles donnée figure III.1, le critère FOG est simplement exprimé selon :
θFOG(φ1, φ2) =
(
φ1 si |φ1| < |φ2| (III.1a)
φ2 si |φ2| < |φ1| (III.1b)
La représentation de ce critère sous forme de carte de sélection angulaire est donnée figure III.2. Pour un couple angulaire (φ1, φ2) où φ1 est tracé en abscisses et φ2 en ordonnées,
la valeur de θ correspondante, définie par les équations (III.1a) et (III.1b), se lit directement sur la carte via le code couleur associé. Les principales propriétés du critère FOG sont l’axe de symétrie φ1 = φ2 défini par θFOG(φ1, φ2) = θFOG(φ2, φ1) et l’axe antisymétrique φ1 = −φ2 défini par θFOG(φ1, φ2) = −θFOG(−φ2,−φ1).
φ1(◦) φ2 ( ◦ ) 0 20 40 -20 -40 0 20 40 -20 -40 0 20 40 -20 -40 θ (◦) 1
Figure III.2 – Carte de sélection angulaire donnant les valeurs de l’angle θ de joint de
grains en fonction de φ1 (abscisse) et φ2 (ordonnée) selon le critère FOG. La définition
des angles φ1, φ2 et θ est donnée figure III.1. Les valeurs de φ1 et φ2 sont comprises dans
l’intervalle [−45°, 45°].