Cristaux photoniques 2D

ω

−2 2 /a

= vk

k

π /a π

Fig. 2.3 – Relation de dispersion pour un cristal photonique unidimensionnel. Les limites de la

premi`ere zone de Brillouin sont indiqu´ees par les deux traits verticaux, et les droites de dispersion

d’un mat´eriau uniforme sont en pointill´es.

milieu forme alors un r´eflecteur parfait. Bien entendu, le r´eflecteur ne serait parfait que dans le

cas id´eal d’un mat´eriau non absorbant r´ep´et´e `a l’infini, ce qui n’est jamais le cas en pratique.

Un autre fa¸con de voir les choses est de consid´erer le champ associ´e aux deux modesω

₊

et

ω

₋

. On peut montrer que le mode de haute fr´equence poss`ede des maxima de champ ´electrique

localis´es dans le mat´eriau de bas indice, tandis que le mode basse fr´equence est plutˆot localis´e

dans les zones o`u la constante di´electrique est importante. Ces deux distributions de champ de

sym´etries oppos´ees ne pouvant exister simultan´ement `a la mˆeme fr´equence, elles sont s´epar´ees

par une bande interdite (voir par exemple [Joannopouloset al. 95]).

2.2 Cristaux photoniques 2D

Afin d’obtenir une bande interdite compl`ete, c’est-`a-dire un domaine spectral interdisant

la propagation des photons dans les trois directions de l’espace, un cristal photonique 3D est

n´ecessaire. Pourtant, dans le domaine optique, les cristaux photoniques bidimensionnels restent

les plus r´ealis´es et ´etudi´es en pratique. En effet, mˆeme si de grands progr`es ont ´et´e r´ealis´es ces

derni`eres ann´ees, la fabrication de cristaux 3D reste un d´efi technologique que peu de laboratoires

sont encore en mesure d’affronter. De plus, la fabrication des cristaux 2D sur semi-conducteurs

III-V ou silicium tire profit des techniques issues de la micro´electronique, permettant l’obtention

de structures de taille submicronique avec une bonne fiabilit´e.

2.2.1 Diagramme de bandes

Commen¸cons par consid´erer le cas imaginaire d’un cristal v´eritablement 2D (c’est-`a-dire

poss´edant une extension infinie dans la troisi`eme direction de l’espace), comme par exemple le

Cristaux photoniques 2D 33

Fig.2.4 –Structure de bandes pour un cristal bidimensionnel constitu´e d’un r´eseau triangulaire

de trous d’air dans une matrice di´electrique (ε = 12) avec un facteur de remplissage en air de

63% (r/a= 0,43). Les bandes pour la polarisation TE sont en traits pleins et en pointill´es pour

la polarisation TM.λest la longueur d’onde dans le vide, r le rayon des trous etale param`etre

de maille du r´eseau (d’apr`es [Zelsmann 03]).

r´eseau de trous d’air de la Fig. 2.1a. Dans ce cas, on peut d´ecomposer le champ ´electrique en

deux polarisations ind´ependantes, TE (le champ ´electrique est perpendiculaire aux cylindres

d’air) et TM (le champ ´electrique est parall`ele `a l’axe des cylindres). Le r´esultat du calcul de la

structure de bandes obtenu par la m´ethode des ondes planes

¹

est report´e sur la Fig. 2.4.

On voit apparaˆıtre une bande interdite assez large pour la lumi`ere polaris´ee TE, tandis

que la bande interdite se r´eduit fortement pour les modes polaris´es TM. Par cons´equent, la

bande interdite compl`ete du cristal, qui correspond `a l’intersection des bandes interdites pour

les deux polarisations, est ´etroite. C’est pourquoi bien souvent les cristaux photoniques r´ealis´es

en pratique ne poss`edent pas de bande interdite compl`ete, mais une bande interdite valable pour

une seule polarisation.

2.2.2 Le probl`eme de la troisi`eme direction

En pratique, pour r´ealiser un cristal 2D, le premier probl`eme auquel il faut r´epondre est

celui de la troisi`eme direction de l’espace : il faut trouver un moyen d’empˆecher les photons

de fuir hors du plan du cristal photonique. Pour cela, la r´eponse g´en´eralement employ´ee est le

cristal photonique en g´eom´etrie de guide d’onde : la lumi`ere est confin´ee dans le plan du cristal

photonique par guidage r´efractif. En d’autres termes, le cristal est inscrit dans une couche d’un

1

La m´ethode des ondes planes est un mod`ele num´erique bas´e sur un d´eveloppement de Fourier du champ magn´etique et de la constante di´electrique dans l’eq. (2.6). C’est le mod`ele le plus employ´e pour calculer les

ε

n−

n

ε

n−

n

n=1

n=1

Fig. 2.5 –G´eom´etrie des deux grandes approches pour r´ealiser le confinement dans la troisi`eme

direction : approche substrat, ou confinement faible (`a gauche) et approche membrane, ou

confi-nement fort (`a droite).

mat´eriau d’indice de r´efraction ´elev´e qui confine la lumi`ere en son sein par r´eflexion totale.

Pour ce faire, deux grandes approches ont ´et´e d´evelopp´ees. Dans l’approche dite ”substrat”, le

constraste d’indice entre la couche guidante et le mat´eriau qui l’entoure est faible. Cela signifie

que l’extension spatiale du mode guid´e dans le substrat est importante, et que par cons´equent

il sera n´ecessaire de graver le cristal assez profond´ement dans le substrat. Dans l’approche

dite membrane, le contraste est au contraire le plus grand possible, par exemple en faisant en

sorte que la couche guidante soit environn´ee d’air. Le confinement est alors tr`es fort. Les deux

approches ont leurs avantages et leurs inconv´enients, que nous ne d´etaillerons pas ici. En effet,

dans l’approche substrat le mode guid´e se propageant en profondeur, il apparait que son ´etude

par microscopie en champ proche ne sera pas ais´ee. C’est pourquoi nous allons maintenant

d´etailler le cas de l’approche membrane, qui correspond au cas des ´echantillons que nous avons

´etudi´es au cours de ce travail de th`ese.

2.2.3 Cristaux photoniques sur membrane

Au sein de l’approche membrane, on peut distinguer deux cas. La membrane suspendue

correspond au cas o`u la couche guidante est effectivement entour´ee d’air : le contraste d’indice

est alors maximal, au prix d’une relative fragilit´e. La membrane report´ee correspond au cas

o`u la couche guidante est report´ee par collage mol´eculaire sur un substrat d’indice peu ´elev´e,

en g´en´eral de la silice. Cette technologie permet d’obtenir des cristaux plus r´esistants, tant

m´ecaniquement que thermiquement.

Un autre point important est que le diagramme de bandes que nous avions pr´esent´e pour un

cristal 2D n’est plus exact pour le cristal en g´eom´etrie de guide d’onde ([Johnson et al.99]). Un

diagramme de bandes tenant compte de la g´eom´etrie de guide est pr´esent´e sur la Fig. 2.6. La

modification essentielle est l’apparition sur le diagramme de bandes du cˆone de lumi`ere (tirets

sur la Fig. 2.6) . Les modes situ´es sous le cˆone de lumi`ere sont les modes guid´es, confin´es dans le

guide d’onde (leur vecteur d’onde dans la direction perpendiculaire au guide est imaginaire pur)

et ne pouvant en th´eorie se coupler avec les modes rayonn´es. Les modes situ´es dans le cˆone de

lumi`ere comprennent les modes quasi-guid´es (ou modes `a pertes), qui sont fortement localis´es

dans le guide d’onde mais poss`edent une composante radiative non nulle dans la direction

per-pendiculaire au guide, et le continuum des modes radiatifs, qui sont des modes compl`etement

d´elocalis´es. Le confinement ´etant fort dans une membrane, les modes auxquels on a g´en´eralement

affaire sont des modes guid´es. C’est d’ailleurs l’un de ses avantages par rapport `a l’approche

sub-strat, qui oblige `a travailler avec des modes `a pertes. En revanche, les modes fortement guid´es

Modes de d´efaut 35

Fig. 2.6 – Structure de bandes pour un cristal bidimensionnel semblable `a celui de la Fig. 2.4,

mais en g´eom´etrie de guide d’onde. Le cˆone de lumi`ere est indiqu´e.

de la configuration membranaire souffrent de pertes hors-plan par diffraction importantes.

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