Courbes de tangence

Visibilit ´e selon les droites

La visibilit´e change quand une droite devient tangente `a un objet. C’est-`a-dire qu’une droite tangente `a un objet constitue la limite entre des droites qui l’intersectent et des droites qui ne l’intersectent pas.

L’ensemble des droites tangentes `a un objet est un ensemble 3D dans l’espace dual 4D. Cela signifie plus intuitivement qu’une droite a 3 degr´es de libert´e pour rester tangente `a un objet (cf. figure 2.2). Nous appellerons le dual de l’ensemble des droites tangentes `a un objet, le volume de tangence de cet objet.

La figure 2.1(b) est une repr´esentation du volume de tangence d’une sph`ere. Pour chaqueϕ-tranche, le volume de tangence est une sorte de “tube” 2D, ce qui constitue un ensemble 3D dans l’espace dual 4D. Si l’on consid`ere uneθϕ-tranche (tranche 2D horizontale dans la figure 2.1(b)), l’ensemble des tangentes qui partagent cette direction est un cercle. Ceci est g´en´eral : de par la d´efinition de u et v, l’ensemble des tangentes d’un objet dans une direction est la silhouette de cet objet dans cette direction.

Si une droite a son dual sur le volume de tangence, elle est tangente `a l’objet. Si son dual est `a l’int´erieur de l’ensemble 4D born´e par le volume de tangence, alors il intersecte l’objet, comme la ligne D de la figure 2.1(b).

Visibilit ´e selon les segments

Int´eressons-nous maintenant `a la visibilit´e avec occultation. Une droite qui intersecte un objet est colin´eaire

`a au moins deux segments : un devant et un derri`ere l’objet.

Consid´erons une θϕ-tranche comme celle repr´esent´ee en bas `a gauche de la figure 2.3. Les ensembles de droites qui intersectent et qui n’intersectent pas l’objet sont s´epar´es par la silhouette de l’objet. Pour la visibilit´e selon les segments, nous devons diff´erencier les segments qui voient l’avant et l’arri`ere de l’objet.

Puisque de tels segments sont colin´eaires `a une mˆeme droite, ils sont projet´es sur le mˆeme point dans l’espace dual 4D. En cons´equence, l’ensemble des segments qui voient l’arri`ere et ceux qui voient l’avant de l’objet ont la mˆeme position dans l’espace dual 4D, comme cela est montr´e sur la droite de la figure 2.3. La silhouette, qui correspond `a l’ensemble des segments tangents `a l’objet pour la direction⁽θ^;ϕ⁾choisie, est incidente `a trois ensembles de segments (avant, arri`ere et pas d’intersection). Cela signifie qu’un segment tangent `a l’objet a dans son voisinage topologique des segments qui n’intersectent pas l’objet, des segments qui voient l’arri`ere, et des segments qui voient l’avant.

Pour diff´erencier ces segments, nous ajoutons une pseudo-dimension. Il ne s’agit pas d’une v´eritable di-mension continue, nous devons juste diff´erencier les segments colin´eaires. Si nous imposonsθ⁼cst,ϕ⁼cst et v⁼cst, l’ensemble des segments peut ˆetre repr´esent´e par le graphe en bas `a droite de la figure 2.3 (il s’agit en fait de la repr´esentation d’un graphe puisque les points des arˆetes ont aussi une signification). Chaque tan-gente correspond `a un sommet du graphe. Ce graphe est une structure 1D plong´ee en 2D. De mˆeme, pour une θϕ-tranche, l’ensemble des segments est repr´esent´e par une structure 2D plong´ee en 3D. Nous appelons la par-tition des segments ayant pour direction⁽θ^;ϕ⁾selon leur visibilit´e le complexe auxiliaire pour⁽θ^;ϕ⁾(voir aussi la figure 2.5). Le complexe auxiliaire peut ˆetre vu comme une vue orthographique g´en´eralis´ee o`u les objets visibles comme cach´es sont organis´es en couches.

De la mˆeme fac¸on, uneϕ-tranche est une structure 3D plong´ee en 4D, et l’ensemble des segments est une vari´et´e²4D plong´ee en 5D.

Le complexe de visibilit´e 3D est l’´equivalent de l’arrangement dual pour la visibilit´e selon les segments. Il partitionne les segments en fonction des objets `a leurs extr´emit´es.

1.3 Bitangentes

Visibilit ´e selon les droites

Consid´erons maintenant deux objets. Si une droite a son point dual `a l’int´erieur des deux volumes de tangence des objets, alors elle intersecte les deux objets. Les volumes de tangence induisent une partition de l’espace dual des droites 3D en fonction des objets qu’elles intersectent. Nous appelons cette partition l’arrangement dual. Ses faces topologiques sont des ensembles 4D de droites qui intersectent les mˆemes objets.

Leurs fronti`eres sont des portions de volume de tangence qui sont 3D. L’intersection de deux volumes de tangence correspond `a des droites tangentes aux deux objets (bitangentes). Une bitangente correspond `a un sommet-t (t-vertex) dans une image (c’est-`a-dire `a l’intersection visuelle de deux contours d’objets).

Dans uneϕ-tranche l’ensemble des bitangentes forme une courbe dans l’espace (repr´esent´ee en pointill´es sur la figure 2.4 pour les deux tranches `a droite). Il correspond `a l’intersection de deux “tubes” qui sont les ϕ-tranches des volumes de tangence. Laϕ-tranche d’une face 4D est un volume, qui correspond `a l’intersection de l’int´erieur de deux tubes.

Visibilit ´e selon les segments

Un complexe auxiliaire pour deux objets est repr´esent´e figure 2.5 pour une direction donn´ee. Il est toujours d´elimit´e par les silhouettes des objets, mais par exemple la silhouette de la sph`ere du haut n’a aucune influence sur l’ensemble B des segments qui voient l’arri`ere de la sph`ere du bas. Les deux bitangentes (en gras) sont incidentes `a toutes les faces.

La figure 2.6 est uneϕ-tranche pourϕ⁼0 de toutes les faces du complexe de visibilit´e 3D pour la sc`ene compos´ee de deux sph`ere montr´ee figure 2.4. La vue dans une direction donn´ee est repr´esent´ee `a gauche des tubes, et nous consid´erons le complexe auxiliaire associ´e qui est dessin´e six fois en haut du sch´ema. Chaque

2Une n-vari´et´e est un ensemble pour lequel le voisinage de chaque point est hom´eomorphique `a IR<sup>n</sup>. L’espace des segments est en fait non-vari´et´e `a cause des branchements aux volumes de tangence, mais les non-vari´et´es sont souvent appel´ees vari´et´es par abus de langage.

front

back do not intersect

intersect do not intersect

front

back

front

back

scene

dual θϕ-slice

slice for v=ct of the θϕ-slice

line visibility segment visibility

FIG. 2.3:Visibilit´e pourθ⁼cst etϕ⁼cst. Si l’on consid`ere les droites (`a gauche), la visibilit´e peut ˆetre d´ecrite par une structure planaire (en dessous). Par contre si l’on consid`ere les segments (`a droite), il y a plusieurs niveaux sur ce plan, en fonction du cˆot´e de l’objet vu. L’ensemble des segments qui n’intersectent pas l’objet, ceux qui en voient l’avant et ceux qui en voient l’arri`ere partagent une fronti`ere commune : les tangentes `a l’objet qui correspondent `a sa silhouette. Rappelons que le complexe auxiliaire repr´esent´e en bas `a droite est une vari´et´e 2D plong´ee en 3D, i.e., il est “vide” puisque les points en dehors de la surface repr´esent´ee n’ont aucune signification.

fois, une face est hachur´ee et un volume est repr´esent´e en dessous qui correspond `a laϕ-tranche d’une face du complexe de visibilit´e pourϕ⁼0. L’union de ces volumes repr´esente plus que la tranche 3D en entier, puisqu’uneϕ-tranche de l’espace des segments est une 3-vari´et´e plong´ee en 4D qui a des branchements aux volumes de tangence.

1.4 Tritangentes

Consid´erons maintenant une sc`ene avec trois objets. Une ligne tangente aux trois objets a son point dual

`a l’intersection de leurs trois volumes de tangence. Un ensemble connexe de tritangentes est un ensemble 1D dans l’espace dual. Dans uneϕ-tranche, c’est un point. L’ensemble des tritangentes peut aussi ˆetre interpr´et´e comme l’intersection de trois ensembles de bitangentes.

La figure 2.7 montre une partie du complexe de visibilit´e d’une sc`ene compos´ee de trois sph`eres. Sur la ϕ-trancheϕ⁼0 sont dessin´ees deux vues orthographiques en face de la valeur correspondante deθ:θ⁼0 (vue 0) etθ⁼θ2(vue 2).

L’ensemble F des segments qui voient les deux sph`eres R et B est repr´esent´e pour deux tranches F<sub>0</sub>et F<sub>ϕ1</sub>. Il s’agit de l’intersection des volumes de tangence de R et B, moins le volume de tangence de G. Les tritangentes sont les points en blanc dans lesϕ-tranches. `A cause de l’occultation due `a G, certaines droites bitangentes `a R et B ne correspondent `a aucun segment bitangent. Ceci est illustr´e figure 2.8 qui est un agrandissement de la ϕ-trancheϕ<sup>=</sup>0. L’ensemble des bitangentes B0est coup´e car des droites bitangentes telles que D coupent G et ne correspondent `a aucun segment bitangent. On peut voir que les tritangentes T0et T₀⁰sont les intersections desϕ-tranches des trois volumes de tangence, et sont aussi incidentes aux trois ensembles de bitangentes B₀, B⁰₀et B⁰⁰₀.

Les tritangentes sont un exemple d’´ev´enement visuel. Les ´ev´enements visuels d´ecrivent les changements qualitatifs (topologiques) de visibilit´e. Consid´erons l’exemple de la figure 2.9. Quand le point de vue descend, la sph`ere A devient cach´ee par la conjonction de B et C. Cela se produit lorsque le point de vue se trouve sur une tritangente.

ϕ=π/2

v θ u

ϕ=0

ϕ ϕ=π/2

ϕ=0 ϕ1 ϕ2

ϕ1

ϕ2

L R

L R

L R

L R

L R

bitangents

D

D

FIG. 2.4: Arrangement dual pour deux sph`eres.

Dans le cas g´en´eral, une sc`ene peut ne comporter aucune tritangente (c’est par exemple le cas figure 2.12(a)).