2 Une d ´efinition pour les sc `enes compos ´ees de poly `edres et d’objets courbes
2.3 Complexit ´e probabiliste
Dans bien des cas, les bornes th´eoriques ne donne que tr`es peu d’indications sur la complexit´e pratique d’un probl`eme ou d’une m´ethode pour des sc`enes “normales”. Des ´etudes probabilistes utilisant un mod`ele de sc`ene “raisonnable” dans l’esprit de de Berg et al. [dBKvdSV97] sont souhaitables.
Comme premier pas, nous proposons d’´etudier le nombre de droites critiques T+T+T dans une sc`ene.
La borne en O(n3)est fond´ee sur des objets potentiellement infiniment fins, et n’est pas r´ealiste comme nous
le verrons dans le chapitre suivant. Dans une sc`ene typique, la taille des objets est born´ee, et la complexit´e augmente en ajoutant de plus petits d´etails ou en plac¸ant plusieurs objets les uns `a cˆot´e des autres, et non en ajoutant des lignes infinies entrelac´ees. Nous proposons un mod`ele simplifi´e probabiliste pour ces sc`enes
“normales”, et nous montrons que sous ces hypoth`eses le nombre d’´ev´enements T+T+T est O
n73
. Cette borne donne une meilleure intuition de la complexit´e r´eelle des sc`enes normales.
Nous consid´erons un mod`ele de sc`ene o`u les objets ont une taille born´ee r et sont uniform´ement distribu´es
`a l’int´erieur d’une sph`ere de diam`etre fini, R. La densit´e des objets est constante lorsque leur nombre varie. Si n est le nombre d’objets, on a R=Θ(p3n). Nous ´etudions le nombre moyen d’´ev´enement T+T+T . Pour cela, nous ´etudions la probabilit´e, ´etant donn´es deux objets, qu’un troisi`eme engendre un ´ev´enement T+T+T avec eux. Nous montrerons que cela peut ˆetre exprim´e comme un rapport de volumes. Nous int´egrerons ensuite sur tous les objets pour obtenir une borne sur le nombre total moyen d’´ev´enements T+T+T . Pour simplifier nos calculs, nous utiliserons des sph`eres englobant les objets.
Probabilit ´e pour deux objets donn ´es
Consid´erons deux objets A et B distants de x. Nous voulons obtenir une borne sur la probabilit´e PAB;x
qu’un troisi`eme objet C engendre un ´ev´enement T+T+T avec A et B. Cela se produira uniquement si la sph`ere englobant C intersecte un volume en forme de sablier form´e de deux cˆones et d’un cylindre tangents aux sph`eres englobant A et B (figure 2.13(a)). La probabilit´e qu’une sph`ere de rayon r intersecte ce volume est
´egale `a la probabilit´e que son centre soit `a l’int´erieur du sablier dilat´e de r. Puisque par hypoth`ese les centres de ces sph`eres sont uniform´ement distribu´es, cette probabilit´e est ´egale au rapport entre le volume du sablier dilat´e et le volume de la sph`ere bornant la sc`ene.
A B
FIG. 2.13:Complexit´e probabiliste des ´ev´enements T+T+T . (a) Volume en forme de sablier. (b) Construction d’un des cˆones du sablier dilat´e.
Calculons maintenant le volume du sablier dilat´e. Rappelons que x est la distance entre les centres des sph`eres englobant A et B. Nous distinguons le cas o `u x2r et le cas x>2r. Dans le premier cas, nous bornons trivialement le volume par celui de la sph`ere, i.e PAB;x2r=1. Nous verrons que ce cas est asymptotiquement n´egligeable.
Dans le second cas, nous bornons le volume du sablier dilat´e par la somme du volume d’un cylindre de longueur x et de diam`etre 2r, et et du volume de deux cˆones de hauteur R d´efinis figures 2.13(b). Le volume du cylindre est volcylindre=πr2x.
Bornons maintenant le volume d’un des cˆones. De simples relations de trigonom´etrie donnent : r0=x tan(arcsinr
x)
r0est une fonction d´ecroissante de x, nous la bornons par sa valeur pour x=2r, qui est inf´erieure `a 1:16r. Le
volume du cˆone est alors : Le volume total du sablier dilat´e est born´e par :
volsablier 2volcone+volcylindre
21:35πr2R3 3x2 +πr2x
Nous divisons par le volume de la sph`ere englobant la sc`ene pour obtenir la probabilit´e : PAB;x volsablier
Nous avons maintenant une borne sur la probabilit´e, ´etant donn´es une paire d’objets `a une distance x, qu’un troisi`eme objet C engendrent avec eux un ´ev´enement T+T+T . Nous devons calculer le nombre total d’´ev´enements T+T+T , c’est-`a-dire consid´erer tous les C et toutes les paires A;B `a toutes les distances x possibles.
Nous multiplions par n pour obtenir le nombre moyen d’´ev´enements T+T+T engendr´e par une paire A;B donn´ee avec tous les objets :
MAB;x(T+T+T)=nPAB;x
Jusqu’`a maintenant nous avons consid´er´e la distance x entre A et B fix´ee. Consid´erons maintenant une paire al´eatoire d’objets A;B. Nous devons prendre en compte la probabilit´e qu’ils soient distants d’un x donn´e. Nous utilisons un r´esultat de g´eom´etrie int´egrale ([San76] page 212) qui donne la distribution de probabilit´e de la distance entre paires de points dans une sph`ere. On a
µ(x)=12λ2(1,λ)2(2+λ)
o `uλ= Rx (c’est-`a-dire que la probabilit´e que deux points al´eatoires dans une sph`ere soient `a une distance comprise entre x et x+dx est µ(x)dx).
Pour avoir une intuition de cette formule, consid´erons qu’un point est choisi. Le second point est `a une distance entre x et x+dx s’il se trouve entre les deux sph`eres correspondantes (figure 2.14). La surface d’une telle sph`ere explique le terme enλ2. Cependant, cette sph`ere doit ˆetre intersect´ee avec la sph`ere bornant la sc`ene, ce qui explique le terme polynomial suivant.
Pour obtenir le nombre moyen d’´ev´enements T+T+T , nous int´egrons sur x et multiplions par le nombre de paires d’objets n2. Rappelons que nous avons distingu´e le cas x2r o `u la probabilit´e est born´ee par 1 et le cas x>2r o `u elle est donn´ee par un rapport de volumes.
M(T+T+T)<n3
Nous d´erivons maintenant des bornes sur les deux int´egrales de l’in´equation. 2.1. La premi`ere int´egrale est :
2r
La seconde int´egrale de l’in´equation 2.1 est born´ee par :
R
R
x x+dx
FIG. 2.14: Distribution de probabilit´e de distance entre paires de points dans une sph`ere.
Nous d´eveloppons le premier terme `a l’int´erieur de l’int´egrale :
1
Le second terme de l’in´equation 2.3 donne :
R
En combinant les r´esultats des ´equations 2.1, 2.2, 2.4 et 2.5 nous obtenons : M(T+T+T) = O de O(n3)lorsque des objets de tailles non born´ee sont consid´er´es. Nous verrons dans le chapitre suivant que sur les sc`enes sur lesquelles nous avons effectu´e nos tests, le nombre d’ ´ev´enements T+T+T est `a peu pr`es quadratique, ce qui confirme notre borne probabiliste.
Des arguments similaires montrent que le nombre de 0-faces T+T+T+T est O