Le couplage des transferts de chaleur

Pour le couplage des équations de transfert de chaleur, une technique particulière est mise en œuvre pour chaque type de modèle détaillé.

• Approche {nodale + zonale}

Ces deux approches étant très proches l’une de l’autre de par la nature de leurs modèles, leur couplage est alors naturel. Seul subsiste une complication au niveau de la géométrie. Considérons une paroi du bâtiment séparant la zone détaillée d’une zone uniforme du modèle nodal. Cette

Elément de paroi Cellule Elément de couplage

Zone de l’approche nodale

FIG. 3.19 – Couplage énergétique entre les approches zonales et nodales au niveau d’une paroi

paroi est liée d’un côté avec différentes cellules du modèle zonal, et donc différents nœuds de température, alors qu’un seul nœud caractérise la totalité de l’ambiance située dans le modèle nodal. Du fait de la facilité d’intégration des modèles à partir de la librairie de SPARK et du faible surcoût de calcul, nous pouvons détailler les transferts dans la paroi selon la densité des cellules de l’approche zonale, c’est-à-dire que chacune des cellules adjacente à la paroi se verra attribuer un élément de paroi de mêmes dimensions. Du côté opposé de la paroi, la moyenne des températures de surface et la somme des flux de chaleur sur l’ensemble des éléments de paroi sont alors transmis à la surface de la zone de l’approche nodale.

La figure 3.19 présente le détail des connexions des modèles au niveau de cette paroi. Dans cette vue en deux dimensions la paroi sépare quatre cellules de l’approche zonale de la zone voisine décrite par l’approche nodale. Le détail de la paroi montre la discrétisation des éléments de transfert en accord avec la densité de cellules. Puis, un élément placé en aval de ces derniers permet de calculer la moyenne des températures de surface ainsi que la somme des flux à la surface. Ce type de couplage sera présenté dans la deuxième application du chapitre 4.

• Approche {nodale +RANSk−ǫ}

Comme nous l’avons proposé auparavant, le modèle RANSk−ǫ va se limiter à déterminer

les transferts dans l’ambiance. Le couplage avec le modèle nodal de l’enveloppe s’effectue au travers du flux de convection, et plus précisément dans le bilan d’énergie à la surface de la paroi en contact avec le modèleRANSk−ǫ.

Paroi rayGLO φ conv φ rayCLO φ cond φ n

FIG. 3.20 – Bilan d’énergie à la surface d’une paroi

La figure 3.20 présente les termes intervenant dans ce bilan qui s’exprime de la façon sui-vante :

Φ_cond+ Φ_rayCLO = Φ_conv+ Φ_rayGLO (3.12)

Le flux convectif Φconv joue un rôle central dans les différentes manières de coupler le modèle de l’ambiance RANS k−ǫ et celui de son enveloppe décrit avec le reste du bâtiment

dans l’approche nodale. Dans cette dernière, le flux convectif perdu par la paroi est déterminé à l’aide d’un coefficient de transfert convectifh_cu et d’une relation liant le flux à la différence de température entre la surface de la paroi et l’ambiance :

Φ_conv= h_cuS (T_surf − Tair) (3.13)

avec:

Φ_conv le flux convectif

S l’aire de la surface de paroi

T_air la température d’air proche de la paroi

T_surf la température de la surface de paroi

La plupart des codes d’analyse des performances énergétiques des bâtiments utilisent des lois empiriques pour déterminer la valeur du coefficient en fonction du régime de l’écoulement et de l’orientation de la paroi (voir par exemple le tableau 2.1 page 38). Il faut noter que dans cette relationTair représente la température de l’air proche de la paroi, qui dans le cas de l’approche nodale est la même dans toute la zone du fait de l’hypothèse d’uniformité.

L’approche RANS k−ǫ peut en revanche déterminer la température de l’air proche de la

paroi et également déterminer un coefficient de transfert convectif moyen sur toute la surface de la paroi. Le coefficient de convection est déterminé à partir du flux intégré le long de la paroi et tel que :

Φconv = Z

S−λ^−→∇T · ~n dS (3.14)

de déterminer le coefficient de convection tel que :

h_cu= ^Φconv

S (T_surf − Tair) ^(3.15)

Nous pouvons envisager différentes possibilités de couplage entre le modèle d’ambiance RANSk−ǫ et l’enveloppe représentée par l’approche nodale. En général, deux types de conditions

aux limites thermiques peuvent être imposées au niveau des parois lorsque les transferts au travers de la paroi sont exclus de l’étude. Il s’agit soit de la température de surfaceT_surf, soit directement d’un flux convectif φconv. Quant à la méthode nodale, les conditions aux limites thermiques peuvent être soit le flux convectif soit le couple température de surface et coefficient de transfert convectif, soit(Tsurf, hconv). De ces conditions aux limites nous pouvons envisager différentes

combinaisons d’échanges de données entre les deux modèles.

TAB. 3.3 – Méthodes de propagation des résultats entre les deux modèles

Méthodes d’échange de données Du nodal vers le RANSk−ǫ Du RANS k−ǫ vers le nodal 1 T_surf h_cu 2 T_surf Φconv 3 Φ_conv h_cu 4 Φ_conv Φ_conv

Le tableau 3.3 présente quatre méthodes d’échange de données entre le modèle nodal et le modèleRANSk−ǫ. Sachant que la procédure de couplage induit un processus itératif de

résolu-tion les échanges de données doivent être prévus dans les deux direcrésolu-tions, c’est-à-dire d’une part du modèle nodal vers le modèleRANSk−ǫ et vice versa.

La première méthode consiste à imposer les températures de surface calculées par le modèle nodal comme conditions aux limites du modèleRANSk−ǫ. Celui-ci détermine alors l’écoulement

et le champ des températures puis les coefficients de transfert convectif moyens pour chacune des surfaces à l’aide des équations 3.14 et 3.15 qui deviennent les nouvelles conditions aux limites du modèle nodal. Si l’on considère que le premier modèle à être évalué est le modèle nodal, celui-ci pourra utiliser les lois empiriques habituelles comme prédicteur des coefficients de convection lors du premier calcul.

La deuxième méthode d’échange de données consiste, comme précédemment, à imposer les températures de surface comme conditions aux limites du modèleRANSk−ǫ. Mais dans ce cas

ce sont les flux convectifs intégrés sur chaque surface qui sont utilisés comme conditions aux limites du modèle nodal. Ce terme de flux vient donc remplacer l’équation 3.13 dans le modèle nodal.

La troisième méthode consiste à imposer maintenant le flux convectif déterminé par le mo-dèle nodal à l’aide de coefficients de convection et de la relation 3.13 comme conditions aux limites du modèleRANS k−ǫ. Celui-ci évalue alors les nouveaux coefficients de convection que

l’on utilise pour le calcul suivant du modèle nodal.

Enfin, la dernière méthode d’échange de données consiste à échanger les flux de convection entre les deux modèles. Mais on voit que cette méthode, bien que possible en théorie ne peut être réalisable en pratique. Car dans ce cas le modèleRANS k−ǫ n’apporterait aucune connaissance

au modèle nodal, dans la mesure où il se contenterait de propager un résultat qui lui a été donné comme condition aux limites.

Discutons maintenant l’intérêt d’utilisation des trois premières méthodes proposées. Tout d’abord nous pouvons remarquer que les méthodes n^os1 et 3 consistent à déterminer un coeffi-cient de convection à l’aide du modèleRANSk−ǫ pour injecter cette valeur dans le modèle nodal

en remplacement des lois empiriques usuelles. Comme nous l’avons souligné, la détermination des coefficients impose de se fixer une température d’air caractéristique soit de la zone proche de la paroi, soit de la zone toute entière si l’on souhaite se rapprocher de l’hypothèse d’unifor-mité spatiale de l’approche nodale. Dans les deux cas, le fait de se fixer une température biaise la caractérisation des transferts convectifs. Par conséquent, il semble que de ce point de vue, la méthode de couplage n^o2 soit plus acceptable car elle transmet directement au modèle nodal, le flux convectif échangé au niveau de chacune des surfaces. Et de ce fait, nous imposons au modèle nodal de respecter le bilan d’énergie en fonction de ces transferts ainsi que de l’hétérogénéité des températures dans l’ambiance. C’est donc cette dernière méthode que nous avons retenue pour le couplage énergétique entre les approches nodales etRANSk−ǫ. Néanmoins, la méthode no1, qui consiste à déterminer les coefficients de convection à l’aide du modèleRANS k−ǫ pourrait

être intéressante afin de limiter le nombre d’appels de la résolution du modèle RANS k−ǫ en

constituant une base de données des coefficients de convection pour la cavité étudiée. Ainsi la résolution du modèleRANSk−ǫ pourrait se limiter aux cas non encore présents dans cette base.

Mais dans tous les cas ceci constitue une manière approchée d’accéder au résultat. La méthode de couplage n^o2 se révélant la plus fiable en terme du respect du bilan énergétique de la pièce avec les deux modèles, elle sera présentée au travers d’une application du chapitre 4.

Cependant, pour les différents couplages proposés, nous avons mis en évidence le caractère itératif de la procédure de résolution. Ceci signifie en principe que l’obtention d’une solution compatible pour les deux modèles à un instant donné requiert la résolution des modèles à plu-sieurs reprises. Or comme nous l’avons indiqué dans la présentation des différentes méthodes de modélisation que nous avons retenues, la méthodeRANSk−ǫ est de loin la plus coûteuse en

temps de calcul. Les méthodes nodales et zonales nécessitent quant à elles des temps de calcul raisonnables et du même ordre de grandeur pour les deux méthodes, si l’on compare un bâtiment

complet décrit par l’approche nodale et une zone particulière de celui-ci maillée par l’approche zonale. Par conséquent, différentes techniques numériques peuvent être envisagées pour résoudre un problème intégrant différentes méthodes de modélisation, surtout si celles-ci offrent un dés-équilibre en terme de temps de calcul. Ces techniques sont présentées dans la partie suivante.

3.4.2 Les techniques numériques de couplage

Différentes méthodes de couplage numérique sont envisageables. D’un point de vue dy-namique, l’étude des performances des bâtiments est généralement faite avec un pas de temps horaire. Ce pas de temps sera donc celui du modèle nodal et nous l’appellerons le pas de temps principal. Chacun de ces pas constitue en fait un point de rencontre entre les différents modèles détaillés couplés au modèle nodal. En fonction de la dynamique de l’évolution des caractéris-tiques des zones détaillées, nous pouvons envisager de déterminer soit des solutions stationnaires à chaque pas de temps principal, soit l’évolution dynamique au cours de chaque pas de temps. Il apparaît évident que la deuxième option sera extrêmement coûteuse en temps de calcul avec un modèle RANS k−ǫ, mais pourra en même temps se révéler indispensable pour l’étude par

exemple de la dynamique de dispersion de polluant au voisinage d’une source. Pour le cas du couplage avec un modèle zonal, nous pouvons envisager une autre option. En effet les temps de calcul sont sensiblement du même ordre de grandeur entre les deux modèles. Ceux-ci peuvent donc tous deux être formulés de manière dynamique. On tentera alors de procéder à la rencontre des solutions sur le pas de temps principal.

D’une manière générale, les différentes méthodes de couplage numérique peuvent être clas-sées en deux grandes familles : les méthodes asynchrones et les méthodes synchrones.