Lagrangian-Eulerian (ALE).
Certains travaux ont d´ej`a ´et´e r´ealis´es dans ce domaine et on d´ecrit plus bas leur cadre
d’´etude. Cependant, ils s’appuient tous sur une hypoth`ese d’´equilibre thermodynamique
local dans le domaine entier.
Les auteurs de [75, 76] ont travaill´e sur un couplage de mod`eles axisym´etriques en
deux dimensions. Le plasma d’arc et les ´electrodes (cathode et bain de fusion) sont pr´
e-sents dans un mˆeme domaine de calcul. Ils ont montr´e qu’il ´etait impossible d’estimer
pr´ecis´ement le transfert thermique via des conditions aux limites sans prendre en compte
le plasma d’arc. D’une part, la composition du gaz de protection influence fortement les
propri´et´es thermophysiques de l’arc. De plus grandes valeurs de la viscosit´e, de la chaleur
sp´ecifique et de la densit´e du plasma augmentent l’´echange thermique et la profondeur
du bain de fusion. D’autre part, l’´evaporation des esp`eces m´etalliques fait augmenter la
conductivit´e ´electrique et thermique `a une temp´erature donn´ee. Les r´esultats ont montr´e
que la g´eom´etrie et la profondeur du bain de fusion d´ependent grandement des propri´et´es
du plasma d’arc. Par contre, le mod`ele utilis´e ne prend pas en compte la chute de
poten-tiel cathodique, le rayonnement du plasma ainsi que la d´eformation de la surface qu’ils
consid`erent importante.
Dans [43], une description monophasique unifi´ee est propos´ee en deux dimensions.
Des termes sources sont introduits dans l’´equation de conservation de l’´energie afin de
d´ecrire le transfert thermique `a l’interface plasma - ´electrode. Dans ce travail, les chutes
de potentiel sont calcul´ees en utilisant la temp´erature du plasma, la densit´e de courant
total, les flux ionique et ´electronique et l’´equation de Richardson (pour la cathode). Dans
l’anode, on prend en compte les forces thermocapillaires d´ependant de l’effet Marangoni.
La d´eformation de l’interface plasma - anode est mod´elis´ee par la m´ethode VOF qui n’est
fonctionnelle que dans l’anode et les mailles proches de l’interface. Le suivi d’interface
permet de prendre en compte l’influence des forces de cisaillement, de la pression d’arc
et de la tension de surface `a la surface du bain de fusion. Les r´esultats montrent que la
tension calcul´ee est de 14.9V avec des chutes anodique de 3.1V et cathodique de 1V. Il a
´
et´e aussi montr´e que la chute de potentiel cathodique influence les propri´et´es de l’arc. La
d´eformation de l’interface a mis en ´evidence une surface concave du bain de fusion. Parmi
les perspectives, on note la n´ecessit´e de s´eparer les temp´eratures ´electronique et ionique
ainsi que la prise en compte de l’´evaporation des esp`eces.
Dans [91], une description unifi´ee en deux dimensions est ´etudi´ee. Les auteurs mod´
e-lisent le soudage en configuration spot avec le bain de fusion dans l’anode. L’effet
Maran-goni est mod´elis´e par un thermo-coefficient constant en n´egligeant le chimio-coefficient. La
surface est suppos´ee ind´eformable et les vapeurs m´etalliques ne sont pas prises en compte.
Concernant le mod`ele de plasma, on suit l’hypoth`ese d’ETL dans tout le domaine sans
prendre en compte les gaines ´electrostatiques. Des termes sources sp´ecifiques d´ecrivent
les transferts aux ´electrodes. A la cathode, le terme de transfert radiatif et la chute de
potentiel sont n´eglig´es. A l’anode, les termes d’´echauffement ´electronique, de transfert
radiatif et d’acc´el´eration des ´electrons comprenant la chute de potentiel anodique ne sont
pas pris en compte. Les auteurs supposent la pr´esence de collisions dans les gaines. Ils
2.4. Couplage de mod`eles plasma / bain de fusion 29
affirment que la chute de potentiel anodique implique une surestimation du flux d’´energie
transf´er´e `a l’anode. Ainsi, le terme d’acc´el´eration des ´electrons est calcul´e intrins`equement
dans l’´equation de conservation de l’´energie. Par contre, si l’intensit´e de soudage est faible
(<100A), le plasma ´etant hors ETL et la chute anodique ´etant positive, le terme d’´
echauf-fement ´electronique devient important et un mod`ele bi-temp´erature est n´ecessaire pour
prendre en compte cette contribution. Les r´esultats ont montr´e des profils de temp´erature
du plasma et du bain en ad´equation avec les exp´eriences. Cependant, le volume total
du bain de fusion n’est pas conforme. Les auteurs supposent que cela pourrait ˆetre dˆu
`
a l’´evaporation des ´el´ements tensio-actifs (Soufre, Oxyg`ene). L’effet Marangoni, d´
epen-dant des concentrations en esp`eces tensio-actifs, influence la g´eom´etrie finale du bain. De
plus, l’´evaporation a lieu dans le plasma d’arc et modifie les propri´et´es thermophysiques
du plasma. Comme perspectives, on met en avant la n´ecessit´e de prendre en compte la
d´eformation de la surface du bain afin de d´ecrire l’effet de la pression d’arc qui augmente
la profondeur du bain de fusion.
Dans la th`ese [93], un couplage de codes plasma 2D / bain 3D est impl´ement´e. D’une
part, le mod`ele de plasma repose sur l’hypoth`ese d’ETL. Afin de mod´eliser les effets hors
ETL dans les gaines ´electrostatiques, la m´ethode des gaines conductrices est utilis´ee : les
zones cathodique et anodique ´etant des conducteurs ohmiques permettent la transition
entre le plasma et les ´electrodes. Dans ces gaines, on garde la conductivit´e ´electrique des
´
electrodes mais on pr´eserve la viscosit´e dynamique, la conductivit´e thermique, la chaleur
sp´ecifique du gaz. La chute de potentiel anodique est prise comme param`etre d’entr´ee mais
celle `a la cathode est jug´ee n´egligeable. D’autre part, pour le bain de fusion, le mod`ele
de Sahoo est utilis´e pour mod´eliser la force de tension de surface. Concernant l’interface
plasma-bain, les forces prises en compte sont la tension de surface et la pression d’arc.
La d´eformation de la surface est simul´ee en utilisant la m´ethode ALE quasi-statique. Par
contre, l’approche quasi-statique ne permet pas de calculer la dynamique de la surface.
Parmi les r´esultats, l’auteur a observ´e que pour une haute teneur en soufre (600 ppm),
la surface ne se d´eforme pas `a l’inverse de la configuration `a faible teneur en soufre (10
ppm). Cela est dˆu `a une plus grande surface de bain fondu avec une faible teneur en Soufre.
Concernant le couplage, l’auteur a effectu´e un couplage de codes de plasma 2D et de bain
de fusion 3D o`u le plasma est dans une configuration axisym´etrique. Le transfert des flux se
fait via des conditions aux limites au mod`ele de bain de fusion. En outre, il a ´et´e remarqu´e
que l’arc se stabilise au bout de 15ms. Le flux thermique et la densit´e de courant `a l’anode
ne sont pas sensibles `a son ´epaisseur mais plutˆot `a sa composition. En position verticale,
une asym´etrie est observ´ee surtout `a forte intensit´e (200A). L’asym´etrie au sein du bain est
probablement due `a la flottabilit´e et la d´eformation de la surface avec un d´ecentrement vers
les zones `a faible teneur en soufre. Les perspectives concernent notamment un couplage
tri-dimensionnel ainsi que la prise en compte des vapeurs m´etalliques.
L’auteur de la th`ese [74] propose une description monophasique unifi´ee 3D [5]. Pour le
plasma, les hypoth`eses d’ETL et de quasi-neutralit´e sont admises pour tout le domaine.
La cathode n’est pas prise en compte et est repr´esent´ee par une condition aux limites.
Pour cela, la densit´e de courant `a la sortie de la cathode est d´efinie par un profil exp´
eri-mental. Au niveau des interfaces plasma-´electrodes, des termes sources thermiques sont
impl´ement´es. L’absorption des ´electrons et l’´energie thermique des ´electrons sont prises
en compte mais pas le transport d’enthalpie par les ´electrons et les ions ; et les pertes par
rayonnement. Par contre, les chutes de potentiel anodique et cathodique sont n´eglig´ees
dues `a une surestimation num´erique de transfert thermique vers la pi`ece. Pour le bain de
fusion, la plus-value provient de l’effet Marangoni qui, suivant la loi de Sahoo, d´epend de
la temp´erature et de la concentration en ´el´ements tensioactifs i.e. Soufre. Il a ´et´e montr´e
que la pr´esence des vapeurs m´etalliques diminue la temp´erature du plasma impliquant
un flux thermique plus faible vers la pi`ece et sans mouvement du bain, la production de
vapeurs est surestim´ee. La prise en compte de la chute de potentiel anodique implique
une surestimation des dimensions du bain. A 200A, la concentration des vapeurs est de
34%au bout de 2s. Comme perspectives, l’auteur met en avant la prise en compte d’une
surface d´eformable, des pertes par rayonnement, d’une configuration prenant en compte
le d´eplacement de la torche et la prise en compte de la cathode dans le domaine de calcul.
Le travail de th`ese [59] traite du couplage multi-instance compos´e de l’arc, la cathode,
l’anode, les couches cathodique et anodique en 2D axisym´etrique. Chaque mod`ele est
discr´etis´e s´epar´ement et ils sont coupl´es par des conditions aux limites. Dans l’arc, on
suppose l’ETL et les ´equations de la MHD y sont r´esolues. Dans la couche cathodique,
un mod`ele bi-temp´erature avec une ´equation de transport de la temp´erature pour les
ions et une pour les ´electrons est impl´ement´e. Des bilans ´energ´etiques sont calcul´es avec
prise en compte des pertes par rayonnement. Avec l’hypoth`ese de quasi-neutralit´e, la
loi de Saha et la loi de Dalton, on d´efinit les densit´es et temp´eratures ´electronique et
ionique. Dans la couche anodique, on pr´eserve l’hypoth`ese d’ETL. Malgr´e que cette zone
pr´esente de forts gradients de temp´eratures et de densit´es, l’auteur assume que les termes
de convection et de diffusion dans les directions autres que la normale sont n´egligeables.
Ainsi, les couches anodique et cathodique sont mod´elis´ees en une dimension. Dans les
´
electrodes, on r´esout les ´equations de conservation de la temp´erature et de la densit´e de
courant. Ainsi, le couplage est ferm´e et ne n´ecessite pas d’hypoth`eses sur les distributions
de densit´e. A l’initialisation, on ne consid`ere que le couplage des ´electrodes avec l’arc. On
impose juste une condition sur les flux thermiques `a la paroi. Cela permet de pr´echauffer les
mat´eriaux avant de coupler les cinq domaines. Il a ´et´e montr´e que les temp´eratures ionique
et ´electronique, la densit´e ´electronique et de la densit´e de courant totale augmentent
en fonction de la chute de potentiel cathodique. Cela implique aussi une plus grande
vitesse maximale axiale au sein de l’arc. Dans la couche anodique, la temp´erature est
plus faible due `a une diminution de la densit´e de courant et `a l’augmentation des pertes
par rayonnement provenant des vapeurs. De plus, la pr´esence de vapeurs implique une
augmentation de la conductivit´e ´electrique `a la p´eriph´erie de l’arc o`u la temp´erature est
plus faible. Cela am`ene une baisse de la densit´e de courant moyenne. Ainsi, la pi`ece est
moins chauff´ee. De plus, la tension d’arc calcul´ee est sous-estim´ee avec la pr´esence de
vapeurs. Les perspectives concernent la prise en compte des vapeurs m´etalliques dans
le mod`ele bi-temp´erature et le passage en 3D afin d’´eviter la sym´etrie forc´ee pouvant
empˆecher l’observation des instabilit´es provenant d’un d´ecentrement de l’arc.
2.5. Synth`ese 31
2.5 Synth`ese
Ce chapitre permet de faire le point sur l’´etat de l’art en simulation num´erique du
soudage. Dans le domaine du soudage, les ´etudes exp´erimentales sur l’´ecoulement du bain
de fusion pr´esentent des contraintes non n´egligeables justifiant ainsi le d´eveloppement de
mod`ele num´erique qui permet d’acc´eder `a des informations suppl´ementaires concernant la
physique du soudage. Selon les retours d’exp´erience provenant des unit´es op´erationnelles,
il existe des incertitudes sur la qualit´e des cordons de soudure obtenus dus aux manques
de fusion des bords entraˆınant ainsi des fuites. Ainsi, on s’int´eresse `a la mod´elisation
num´erique du proc´ed´e de soudage `a l’arc TIG utilis´e lors des r´eparations. Dans ce cadre,
on tente de d´ecrire avec pr´ecision le transfert thermique entre le plasma d’arc et la pi`ece
m´etallique en fusion au cours du soudage ainsi que la formation du cordon sous l’effet de
l’apport de chaleur.
Plusieurs th`eses ont ´et´e men´ees au sein d’EDF R&D portant sur la mod´elisation du
bain de fusion [63] et sur les transferts thermiques dans un plasma d’arc [13].
L’objectif principal est de mettre en œuvre un mod`ele tridimensionnel instationnaire
permettant une simulation num´erique int´egrale du soudage avec Code Saturne [1]. Les
points importants de cette th`ese sont dans un premier temps d’am´eliorer la mod´elisation
des mod`eles de plasma puis de bain de fusion. Pour ce faire, des ´etudes de stabilit´e
et de sensibilit´es aux param`etres num´eriques et physiques seront entreprises. Puis, on
impl´ementera une m´ethode de suivi d’interface (issue de l’approche Arbitrary Lagrangian
Eulerian) [34, 81] afin de mod´eliser la d´eformation des surfaces libres du bain de fusion.
Finalement, on envisage de proposer un couplage instationnaire mono-instance entre le
plasma et le bain de fusion via une paroi mince [77] avec la prise en compte de la cathode,
du plasma et de la pi`ece dans le mˆeme domaine de calcul. Le but ´etant de remplacer
les conditions aux limites param´etriques de type ”source thermique ´equivalente” dans les
simulations du bain de fusion par un mod`ele de plasma et ainsi obtenir une meilleure
description du transfert thermique. Cette d´emarche permettra de simuler le proc´ed´e de
soudage dans son ensemble et de pr´edire de fa¸con optimale la g´eom´etrie finale des cordons
de soudure.
Chapitre 3
Etude de sensibilit´e pour le mod`ele
de plasma
Sommaire
3.1 Introduction . . . . 34
3.2 Syst`eme d’´equations. . . . 35
3.2.1 Mod´elisation des gaines ´electrostatiques . . . . 35
3.3 Cas de v´erification : Equations de Maxwell stationnaires . . 36
3.3.1 Solutions analytiques. . . . 38
3.3.2 Equations r´esolues . . . . 38
3.3.3 Cas tridimensionnel . . . . 38
3.3.4 Cas axisym´etrique . . . . 42
3.3.5 Conclusions . . . . 44
3.4 Sensibilit´e aux param`etres num´eriques pour le mod`ele de
plasma . . . . 47
3.4.1 G´eom´etrie . . . . 47
3.4.2 Conditions initiales . . . . 47
3.4.3 Conditions aux limites . . . . 48
3.4.4 Sensibilit´e aux param`etres num´eriques . . . . 49
3.5 Sensibilit´e aux param`etres physiques pour le mod`ele de plasma 53
3.5.1 Recalage des param`etres ´electriques . . . . 53
3.5.2 Chutes de potentiel. . . . 57
3.5.3 Termes sources de rayonnement et d’enthalpie d’´evaporation . 60
3.5.4 Traitement num´erique des gaines ´electrostatiques : Recalage de
la conductivit´e ´electrique . . . . 63
3.6 Conclusions . . . . 65
3.1 Introduction
Afin de pouvoir mod´eliser les ph´enom`enes physiques `a travers les diff´erentes
applica-tions industrielles, EDF a d´evelopp´e un certain nombre de codes de simulation permettant
de les prendre en compte. Parmi cette panoplie, il existe un code de calcul open-source
nomm´e Code Saturne [1] qui permet de traiter les probl`emes li´es `a la Dynamique des
fluides pour simuler des ´ecoulements monophasiques. Il calcule les solutions approch´ees
des ´equations de Navier-Stokes par la m´ethode des volumes finis sur des maillages non
structur´es et/ou non conformes. Les ´ecoulements tridimensionnels mod´elis´es peuvent ˆetre
stationnaires ou instationnaires, compressibles ou incompressibles et de nature laminaire
ou turbulente. De plus, il est possible de prendre en compte les transferts thermiques ainsi
que le transport scalaire. On se focalise sur le module Arc ´electrique o`u les ´equations de
la magn´etohydrodynamique, du transfert thermique et de transport scalaire sont r´esolues
de fa¸con coupl´ee, ce qui permet de faire des simulations de plasma d’arc et de bain de
fusion.
En soudage, le transfert thermique se fait de prime abord depuis l’arc plasma vers la
pi`ece `a souder afin d’obtenir un bain de fusion. De ce fait, il est n´ecessaire d’´etudier la
stabilit´e de ces deux mod`eles. Dans ce chapitre, on introduit les ´etudes de sensibilit´e et de
stabilit´e du mod`ele de plasma. Afin d’acc´el´erer l’ex´ecution des calculs, le code s’effectue `a
l’aide d’un cluster. On pr´esente dans cette section une ´etude de sensibilit´e aux param`etres
num´eriques et physiques du mod`ele de plasma. Pour rappel, ce mod`ele tient compte des
´
electrodes dans le domaine de calcul. Or, dans les zones de transition plasma-´electrode,
des termes sources sont impl´ement´es dans l’´equation de l’enthalpie afin de prendre en
compte les contributions ´electrostatiques dans le transfert thermique entre le plasma et
les ´electrodes. De plus, le mod`ele d´ecrit l’´evaporation des vapeurs m´etalliques de Fer dans
le plasma et le rayonnement des ´electrodes.
Dans un premier temps, une ´etude de sensibilit´e aux param`etres physiques est
effec-tu´ee sur les diff´erents modes de recalage du courant, les chutes de potentiel anodique et
cathodique, l’´evaporation du Fer, le rayonnement du plasma, le refroidissement par ´
emis-sivit´e et la prise en compte du recalage de la conductivit´e ´electrique dans l’hypoth`ese de
la couche limite.
3.2. Syst`eme d’´equations 35
3.2 Syst`eme d’´equations
Le syst`eme d’´equations `a la base du mod`ele actuel se pr´esente comme suit :
div(ρu) = 0,
∂
∂t(ρu) +div(ρu⊗u) =−∇p+div
µ
∇u+∇u
T−2
3tr(∇u)I
+j×B+ρ(T)g +S
u,
∂
∂t(ρh) +div(ρuh) =div
λ
C
p∇h
!+j·E −S
ray+ S
h,
∂
∂t(ρX
i) +div(ρuX
i) =
L
aX
i−1ρD
F e∇X
i,
div(σ∇P
R) = 0
div(σ∇P
R) = 0,
∆A=−µ
0j,
E=−∇P
R,
(Su : terme source d’annulation des vitesses dans le solide)B=rot(A),
(Sh : terme source thermique aux interfaces plasma-´electrodes)j=σE.
(3.1)
o`u u est la vitesse, p la pression et h l’enthalpie massique. Puis s’ensuivent les variables
´
electromagn´etiques i.e. potentiel ´electrique P
R, potentiel magn´etique A et la densit´e de
courant j. Les propri´et´es thermophysiques incluent la masse volumiqueρ, la viscosit´e
dy-namiqueµ, la chaleur sp´ecifique ´equivalenteC
P, la conductivit´e thermiqueλet la
conduc-tivit´e ´electriqueσ. On introduit aussi l’´equation de transport de la fraction massique X
ides vapeurs m´etalliques de fer avecL
ala chaleur latente de vaporisation du fer [36] et D
F ele cœfficient de diffusivit´e du fer dans l’argon. Les termes sources dans l’´equation de
conser-vation de la quantit´e de mouvement correspondent aux forces de Lorentz (j×B) ainsi
qu’aux termes sources volumiques externes tels que le terme de p´enalisation des vitesses
S
uet la gravit´eg. Dans l’´equation de conservation de l’enthalpie, les termes sources sont
le terme de rayonnement du plasma S
ray[13], les flux thermiques plasma - ´electrodesS
het l’effet Joule (j·E) qui tient compte du chauffage par r´esistance ´electrique. Le plasma est
suppos´e macroscopiquement neutre et les champs ´electromagn´etiques quasi-stationnaires,
permettant ainsi d’utiliser la loi d’Ohm simplifi´ee :
j=σE. (3.2)
3.2.1 Mod´elisation des gaines ´electrostatiques
Actuellement, la pr´esence des ´electrodes dans le domaine de calcul s’effectue via des
termes sources suppl´ementaires dans l’´equation de l’enthalpie dans les zones proches des
´
electrodes (A.112) [32] :
• le flux thermique du plasma `a la cathode [32] :
−λ
c∂T
c∂n = −λ
p∂T
p∂n +q(j
i) +q(j
e) +χ
cq
ray−
cσ
BT
c4, (3.3)
avec le terme de chauffage ionique d´efini par :
q(j
i) = j
i5k
B2e T
c+∆V
c+V
i!
, (3.4)
o`u k
B= 1,38.10
−23J K
−1est la constante de Boltzmann, V
iest le potentiel d’ionisation,
∆V
cest la chute de potentiel cathodique et j
i= j − j
e. Le terme de refroidissement
´
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Modélisation numérique instationnaire pour la simulation du soudage TIG avec couplage plasma / bain de fusion
(Page 33-41)