τc = h2 πκ ∆T ∆Tδ × Rac Ra 2/3 (3.21) Nous verrons par la suite l’utilit´e d’un raisonnement local dans l’´etude de ces instabilit´es thermoconvectives.
3.2
Couplage avec un cisaillement forc´e
Les raisonnements pr´ec´edents concernent le cas simple d’une convection de Ray- leigh-B´enard (chauffage par le bas, refroidissement par le haut). Mˆeme si on peut expli- quer ainsi la pr´esence de cellules de convection `a grande ´echelle (tectonique des plaques), on peut difficilement pousser l’analogie avec le syst`eme terrestre plus loin. En particu- lier, l’´ecoulement en base de lithosph`ere oc´eanique, qui est celui que nous allons nous at- tacher `a d´ecrire dans la partie I, fait intervenir un param`etre suppl´ementaire : le cisaille- ment. En effet, si l’on se place `a un niveau local, des instabilit´es froides peuvent prendre naissance sous la couche limite thermique sup´erieure froide du manteau terrestre (la lithosph`ere), par le processus expliqu´e ci-dessus. Ces instabilit´es, plus denses car plus froides que le milieu environnant, vont rencontrer en tombant l’´ecoulement `a grande ´
echelle du manteau terrestre, qui g´en`ere un cisaillement localis´e dans l’asth´enosph`ere. On peut donc se poser la question suivante : quelle forme prend la convection lorsqu’un cisaillement est impos´e au fluide qui convecte ? Le cas de la Terre est parti- culi`erement complexe, et nous ne le d´evelopperons que dans le dernier chapitre de la partie I. Dans un premier temps, nous ferons juste un rappel des ´etudes pr´ec´edentes concernant la convection de Rayleigh-B´enard en pr´esence d’un ´ecoulement cisaillant.
temps adimensionné amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0 2 4 6 8 12 10 A1 B4 B3 B2 A2 A3 A4 h Vp Tsup Tinf =Tsup+∆T A B (a) (b)
Fig. 3.3 – Convection de Rayleigh-B´enard en pr´esence d’un cisaillement : r´esolution analytique (d’apr`es Richter, 1973). (a) Configuration du syst`eme et repr´esentation des rouleaux transverses (A) et longitudinaux (B). (b) Amplitude de ces rouleaux en fonc- tion du temps adimensionn´e.
Le syst`eme consid´er´e est celui pr´esent´e dans la figure 3.3a. C’est la configura- tion classique de Rayleigh-B´enard, en imposant une vitesse Vp constante `a la plaque
sup´erieure. Une ´etude analytique men´ee par Richter (1973) montre que, en supposant un cisaillement de la forme Q(z) = cos(πz∗), o`u z∗ est l’altitude normalis´ee dans la cuve, l’´equation (3.16) en r´egime stationnaire s’´ecrit :
0 =−∇p + Raθk + ∇2v + Q(z)i (3.22)
o`u le dernier terme repr´esente le cisaillement horizontal. Les ´equations (3.15) et (3.17) restent quant `a elles inchang´ees. Un d´eveloppement limit´e pour un nombre de Rayleigh l´eg`erement supercritique Ra = Rac + ε2Rac (Malkus & Veronis, 1958; Richter, 1973),
o`u Rac est le nombre de Rayleigh critique de la convection en l’absence de cisaillement :
θ = θ0+ εθ1+ ε2θ2+ ... + εnθn+ ... (3.23)
permet de tracer l’´evolution de l’amplitude des diff´erentes formes possibles de convec- tion (Figure 3.3b). On s’int´eresse en particulier `a l’´evolution des rouleaux longitudinaux (respectivement transverses), dont l’axe est align´e (respectivement perpendiculaire) `a la direction de la vitesse impos´ee. La figure 3.3b montre que si l’on part d’une condi- tion initiale en rouleaux longitudinaux, cette structure reste stable en pr´esence du cisaillement. Si l’on part en revanche d’une condition initiale en rouleaux transverses, l’amplitude de ces rouleaux diminue progressivement au cours du temps, jusqu’`a dis- paraˆıtre, puis les rouleaux longitudinaux se forment dans le syst`eme et constituent la forme de la convection en r´egime stationnaire.
Les ´etudes exp´erimentales de Richter & Parsons (1975) confirment ces pr´edictions (Figure 3.4a) : en pr´esence d’un cisaillement, les rouleaux transverses disparaissent, au profit des rouleaux longitudinaux, qui deviennent ainsi la forme privil´egi´ee de la convec- tion. Il en est de mˆeme pour des nombres de Rayleigh plus ´elev´es, lorsque l’on part d’une condition initiale bimodale (Figure 3.4b) : l’´ecoulement s’organise en rouleaux longitudinaux, dont l’axe est parall`ele `a la direction de la vitesse impos´ee.
(1) (3) (4) (2) (1) (6) (5) (3) (4) (2)
(a)
(b)
Fig. 3.4 – Convection de Rayleigh-B´enard en pr´esence d’un cisaillement : ´etude exp´erimentale (d’apr`es Richter et Parsons, 1975). On impose une vitesse constante `
a la plaque sup´erieure (fl`eche noire) en partant (a) d’une condition initiale en rouleaux transverses (b) d’une condition initiale bimodale.
Aux ´etudes analytiques (Clever & Busse, 1977, 1991) et exp´erimentales (Kincaid et al., 1996) qui ont suivi, se superposent des ´etudes num´eriques. Du fait de la difficult´e de mise en oeuvre, elles se sont souvent limit´es au cas 2D (Skilbeck & McKenzie, 1979; Houseman & McKenzie, 1982; Houseman, 1983), ce qui empˆeche logiquement toute analyse des rouleaux longitudinaux. Ces ´etudes 2D ont cependant eu le m´erite de montrer la suppression des instabilit´es transverses en pr´esence de cisaillement, et par cons´equent la stabilisation de l’´ecoulement `a grande ´echelle. Les r´ecents mod`eles 3D (Hathaway & Sommerville, 1986; Domaradzki & Metcalfe, 1988; Clever & Busse, 1992) confirment l’affirmation suivante : l’effet principal du cisaillement est d’orienter les structures convectives dans la direction de la vitesse moyenne.
Cette introduction, qui a pr´esent´e les mouvements de convection au niveau de la Terre, ainsi que les th´eories physiques existantes expliquant les diff´erents r´egimes convectifs dans la configuration simple de Rayleigh-B´enard (avec ou sans cisaillement), permet de mieux cerner les param`etres et la complexit´e du probl`eme ´etudi´e. La Terre est loin d’ˆetre assimilable `a une cellule de Rayleigh-B´enard, et les mat´eriaux qui la constituent ont de plus des propri´et´es d´ependant fortement de la temp´erature et de la pression. Nous reviendrons sur ces aspects dans la partie I.
La lithosph`ere oc´eanique
Sommaire
4.1 Evolution thermique . . . . 55